Reglerteknik, TSIU61. Föreläsning 2: Laplacetransformen

Transkript

1 Reglerteknik, TSIU61 Föreläsning 2: Laplacetransformen Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet

2 Innehåll 2(13) 1. Sammanfattning av föreläsning 1 2. Hur löser man differentialekvationer på ett arbetsbesparande sätt: Laplacetransformen

3 Sammanfattning av föreläsning 1: exempel 3(13) u insignal, y utsignal, v störsignal Tre tillämpningar: ẏ = ay + bu + fv Sladdande bil. u selektiv bromsning, y rotationshastighet, a > 0 Tanknivå. u pumphastighet, y vätskenivå (avvikelser från nominellt värde) Gripen. u höjdroder, y anfallsvinkel, a < 0

4 1. Sammanfattning av föreläsning 1: styrprinciper 4(13) Två olika principer för reglering: 1. Öppen styrning, framkoppling: Bestäm en styrsignal ur 1. referenssignal (vad vill man) 2. mätning av störning 3. kunskap om processen utan att mäta utsignalen 2. Återkoppling: Räkna ut styrsignalen ur 1. referenssignal (vad vill man) 2. mätsignal(vad händer) Störningar undertrycks utan att man behöver mäta dem Enklaste återkopplingen: proportionell regulator (P-regulator) u = K(r y)

5 Den älsta bevarade P-regulatorn 5(13) Boulton och Watt konstruerade en sk centrifugalregulator (finns på Science Museum i London)

6 Modern P-regulator 6(13) Programkod som körs i dator, signalprocessor, PLC (programmable logic controller) osv Principkod för P-regulator... input(port1,r) input(port2,y) u = K*(r-y) output(port3,u)... Regulatorimplementering: Industriella styrsystem

7 Laplacetransformens idé 7(13) Våra modeller är linjära differentialekvationer Derivering, integrering och differentialekvationslösning viktiga Dessa operationer blir ofta komplicerade Idé: ersätt y(t) (t tiden) med en funktion Y(s) (s komplext), så att derivation, integration och differentialekvationslösning blir mycket lättare för Y(s) än för y(t)

8 Laplacetransformen 8(13) Definition: Y(s) = 0 y(t)e st dt Några transformer: y(t) = 1 Y(s) = 1 s y(t) = t Y(s) = 1 s 2 y(t) = e at Y(s) = 1 s + a y(t) = sin ω o t Y(s) = ω o s 2 + ω 2 o

9 Derivator 9(13) Om y(t) har Laplacetransformen Y(s) så gäller att ẏ(t) = dy dt har Laplacetransformen sy(s) y(0) ÿ(t) = d2 y dt 2 osv. har Laplacetransformen s 2 Y(s) sy(0) ẏ(0) Begynnelsevärdena y(0), ẏ(0) är oftast noll i reglertekniska tillämpningar.

10 Begynnelse- och slutvärden 10(13) Om man vet att y(t) har ett gränsvärde när t kan man räkna ut det med slutvärdessatsen: lim y(t) = lim sy(s) t s 0 Omvändningen är begynnelsevärdessatsen: lim y(t) = lim sy(s) t 0 s

11 Laplacetransformen i Matlab 11(13)» syms t s» laplace(exp(-2*t)) ans = 1/(s + 2)» ilaplace(1/((s+1)*(s+2))) ans = 1/exp(t) - 1/exp(2*t)

12 Från Y(s) till y(t) 12(13) I våra tillämpningar är Y(s) alltid en kvot mellan polynom, med högst gradtal i nämnaren. Y(s) kan då alltid skrivas Y(s) = B(s) (s p 1 ) (s p n ) = A 1 s p A n s p n där B(s) är ett polynom och A 1,..,A n konstanter (formeln modifieras något om samma faktor förekommer flera gånger i nämnaren) Talen p 1,..,p n kallas poler. För en pol p j gäller Y(p j ) =. Motsvarande tidsfunktion är y(t) = A 1 e p 1t + + A n e p nt Polerna blir alltså exponenter i tidsfunktionen.

13 Komplexa exponentialfunktioner 13(13) Observera att polerna p j kan vara komplexa. Om p j = σ + iω så är motsvarande exponentialfunktion e (σ+iω)t = e σt e iωt = e σt (cos ωt + i sin ωt) I uttrycket y(t) = A 1 e p 1t + + A n e p nt kan alltså både exponentialfunktionerna och talen A j vara komplexa. Vid additionen tar imaginärdelarna ut varandra så att y(t) blir reell.