Övningar i Reglerteknik

Transkript

1 Övningar i Reglerteknik Stabilitet hos återkopplade system Ett system är stabilt om utsignalen alltid är begränsad om insignalen är begränsad. Linjära tidsinvarianta system är stabila precis då alla poler ligger i den vänstra halvan av det komplexa talplanet (dvs alla poler har negativ realdel). Ett typiskt reglersystem med återkoppling visas i följande blockschema: Det återkopplade (slutna) systemet med r(t) som insignal R(s) E(s) U(s) Y(s) + Σ Regulator G (s) R Givare H(s) Process G (s) P Figur : Typiskt reglersystem med återkoppling och y(t) som utsignal har följande överföringsfunktion: Y (s) R(s) = G ry(s) = G R (s)g P (s) + G R (s)g P (s)h(s) Polerna till detta system är nollställena till +L(s) där L(s) = G R (s)g P (s)h(s) är slingförstärkningen (loop gain). Stabilitetsproblemet kan därför formuleras som att slutna systemet är stabilt precis då samtliga nollställen till + L(s) har negativ realdel. Två populära metoder för att avgöra detta är dels Routh- Hurwitz metod och dels Nyquists kriterium. Routh-Hurwitz fungerar bara om L(s) är en rationell funktion så att + L(s) = kan formuleras om till en polynomekvation. Nyquistkriteriet är däremot inte beroende av att L(s) är rationell utan klarar en betydligt bredare klass av system. 5. Avgör vilka av följande system som är stabila G (s) = s + s 2 + 2s + 2, G 2(s) = s 2 2s + 2, G 3(s) = s + s 2 + s 2, G 4(s) = s s 2 s 2

2 5. Bestäm med hjälp av Routh-Hurwitz metod vilka av följande polynom som har alla sina rötter (nollställen) i vänstra halvplanet. a. s 3 + 3s 2 + 2s + 4 b. s 4 + 6s 3 + s 2 + 6s + c. s 4 + 6s 3 + 2s 2 + 2s Avgör för vilka värden på a som följande system är stabilt: G(s) = s 3 + 2as 2 + 2s + a Låt de överföringsfunktionerna i de olika blocken i Fig. vara definierade enligt 2 G P (s) = s(s + 4), G R(s) = K, H(s) = s + Bestäm för vilka värden på förstärkningen K som det slutna systemet är stabilt. 54. Systemet d 3 y dt + y 3 2d2 dt + 3dy 2 dt + y = u du dt skall regleras med en proportionell regulator med förstärkning K. a. Bestäm med hjälp av Routh-Hurwitz metod för vilka värden på K som det återkopplade systemet är stabilt. 2

3 b. Nyquistkurvan för systemet (då K = ) visas i följande figur: Bestäm med hjälp av denna kurva för vilka K som det återkopplade systemet är stabilt. c. Avläs motsvarande bodediagram för att utröna vilka K som resulterar i ett stabilt system vid återkoppling:

4 55. Ett reglersystem enligt Fig. med G P (s) = 2s + 6 s 2 (s + 3) 2, G R(s) = K, H(s) = är stabilt för vissa värden på förstärkningen K. a. Bestäm dessa värden genom att använda Routh-Hurwitz metod. b. Bestäm dessa värden på K genom att istället använda Nyquistkriteriet om nyquistkurvan för L(s) med K = är given av c. Bestäm inställningarna för en P-regulator vid användning av Ziegler- Nichols självsvängningsmetod. 4

5 d. Avläs ur nedanstående bodediagram värden på amplitudmarginal och fasmarginal för systemet (K = ) e. Bestäm ett värde på K så att amplitudmarginalen blir 2. f. Bestäm ett värde på K så att fasmarginalen blir så stor som möjligt. Ange också värdet på den maximala fasmarginalen. g. Bestäm med hjälp av bodediagrammet ovan inställningarna för en PIDregulator då Ziegler-Nichols metod utnyttjas. 5

6 56. Vid reglering av papperstjockleken vid valsning av papper används en ultraljudsgivare enligt följande figur. Tjockleken varieras genom att styra valstrycket. Reglersystemet visas i blockschemat i Fig. där G R (s) = K (I-regulator), H(s) = (ultraljudsgivaren) och G P (s) = 2 +T s e Ls (tryckvalsens dynamik och fördröjningen på s +T gs grund av avståndet mellan tryckvals och givare). a. Utgå till att börja med från det förenklade antagandet att båda tidskonstanterna kan försummas dvs T g = och T =. Antag vidare att tidsfördröjningen är L =.2 s. Bestäm vilka värden på K som ger ett stabilt slutet system. b. Utgå från situationen i (a) men antag nu att L kan variera. Bestäm för varje fixt värde på L vad förstärkningen högst får vara för att få stabilitet i det slutna systemet. 6

7 c. Låt tidskonstanterna fortfarande vara men antag nu att L =.4 s Bestäm amplitudmarginalen A m och fasmarginalen ϕ m. För säkerhets skull visas nyquistkurvan för detta fall nedan (för K = ) d. Denna gång försummas inte de båda tidskonstanterna utan T =. s och T g =.5 s. Tidsfördröjningen är, liksom i förra deluppgiften L =.4 s. Nyquistkurvan för detta fall visas nedan (för K = )

8 Bestäm amplitudmarginalen och fasmarginalen för systemet. Avgör också hur stort K kan väljas utan att slutna systemet blir instabilt. e. Utgå från situationen i föregående deluppgift (där K = och L =.4 s) där bodediagrammet för detta fall visas nedan. 2 Amplitude Phase Antag nu att fördröjningen kan variera. Bestäm genom att utnyttja bodediagrammet hur stor fördröjningen L maximalt kan vara om slutna systemet måste vara stabilt. Tips: Glöm inte att räkna om fasmarginalen till radianer! 8