1RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del B

Transkript

1 RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del B Tid: Måndag 8 januari 08, kl Plats: Bergsbrunnagatan 5, sal Ansvarig lärare: Hans Rosth, tel Hans kommer och svarar på frågor ungefär kl Tillåtna hjälpmedel: Kursboken(Glad-Ljung), miniräknare, Laplace-tabell och matematisk formelsamling. Skrivningen består av två delar, del A och del B. För att bli godkänd på skrivningen krävs att man är godkänd på del A. Del B är frivillig och ges endast vid ordinarie tentatillfällen (vid respektive kurstillfällen.) Preliminära betygsgränser: Betyg 3: Godkänt på del A Betyg 4: Godkänt på del A och minst 0 poäng på del B (inkl. bonuspoäng) Betyg 5: Godkänt på del A och minst 8 poäng på del B (inkl. bonuspoäng) OBS: Svar och lösningar lämnas in på separata papper. Endast en uppgift per ark. Skriv din tentakod på varje ark. Lösningarna ska vara tydliga och väl motiverade (om inget annat anges). Avläsningar ur diagram behöver inte vara exakta. LYCKA TILL!

2 Uppgift Man vill styra ett system, Y(s) = G(s)U(s), med återkoppling från reglerfelet. Man prövar först med den proportionella återkopplingen u = r y. När man låter referenssignalen r vara ett enhetssteg får man då stegsvaret i figuren nedan. 0.8 y (a) Hur stor är överslängen i stegsvaret? Ange svaret i procent. (b) Vad är det öppna systemets statiska förstärkning, d.v.s. G(0)? tid (p) (p) (c) För att kunna göra en bättre regulator mäter man upp systemets frekvenssvar, och resultatet redovisas i Bodediagrammet nedan. 60 belopp 0 0 fas ( ) ω (rad/s) ω (rad/s) Föreslå en regulator F(s) sådan att:. Det slutna systemet blir ungefär lika snabbt som med P-regleringen ovan.. Fasmarginalen blir minst Stegsvarets kvarvarande fel elimineras helt. 4. Regulatorns förstärkning för höga frekvenser inte blir större än nödvändigt. Motivera alla dina val av parametervärden noggrant! (3p)

3 Uppgift Vid en viss metodik för regulatordesign används en överföringsfunktion Q(s) för att parametrisera regulatorn. Blockschemat nedan visar hur det återkopplade systemet ser ut då. Regulatorn F(s) utgörs då av den streckade rektangeln. y ref F(s) e u Σ Σ Q(s) G(s) y G(s) (a) Ange dels regulatorn F(s), dels det slutna systemet G c (s) (överföringsfunktionen från y ref till y), båda uttryckta i Q(s) och G(s). (p) (b) Anta nu att G(s) = (s+). Hur ska man då välja Q(s) för att få G c (s) = Ange också regulatorn F(s) för detta fall. α (s+α), α > 0? (p) (c) Vad blir blir kretsförstärkningens fasmarginal med den regulator som används i (b)? (p) Uppgift 3 Ange för vart och ett av följande påståenden ifall det är sant eller falskt. (a) För systemet Y(s) = e s U(s) blir utsignalen y(t) = sin(t ) om insignalen är u(t) = sint för alla t >. (b) För systemet Y(s) = s 3 + U(s) blir utsignalen y(t) = 0.5sin(t+π/4) om insignalen är u(t) = sint för alla t >. (c) Systemen med överföringsfunktionerna G (s) = e s och G (s) = s+ s+ har identiska beloppkurvor i Bodediagrammet. (d) Man ska alltid sträva efter att få känslighetsfunktionerna att uppfylla S(iω c ) 0.33 och T(iω c ) 0.33 vid skärfrekvensen ω c. (e) Vid framkoppling blir känslighetsfunktionen S(s) = F f (s)g o (s), där F f (s) är framkopplingsfiltret och G o (s) är kretsförstärkningen. Varje rätt svar ger + poäng och varje felaktigt svar ger - poäng (och utelämnat svar ger noll poäng). Totalt ger dock uppgiften minst 0 poäng. Ingen motivering behövs enbart svaren sant och falskt kommer att beaktas. (5p)

4 Uppgift 4 (a) Ställ upp tillståndsbeskrivningen för systemet i blockschemat nedan. u s+ x y s x Använd x = [ ] T x x som tillståndsvektor, med x och x enligt blockschemat. (p) (b) Ett system har tillståndsmodellen ẋ(t) = Ax(t)+Bu(t), y(t) = Cx(t), y m (t) = Cx(t)+n(t), A = [ ], B = 0 0 [ ] 3, C = [ 0 ], () 3 där y m (t) är uppmätt utsignal, och n(t) är en mätstörning. Man använder observatören ˆx(t) = Aˆx(t)+Bu(t)+K(y m (t) Cˆx(t)) för att skatta tillståndsvektorn. Skattningen av utsignalen blir då ŷ(t) = C ˆx(t). Vad blir överföringsfunktionen från n till ŷ om man använder observatörsförstärkningen [ ] 0 K =? (c) Vad blir matrisexponentialfunktionen e At för matrisen A i ()? (p) (p) 3

5 Lösningar till tentamen i Reglerteknik I 5hp, del B (a) Vi ser att y max = och att slutvärdet är y f = 0.8. M = y max y f = 0. y f 0.8 = 0.5 = 5%. (b) Igen, y f = 0.8 G c (0) = 0.8 eftersom r = enhetssteg. Vidare, med F(s) = är G c (s) = G(s) +G(s). Alltså, 0.8 = G(0) +G(0) G(0) = 4. (c) () vill samma skärfrekvens som med F(s) =. Bodediagrammet ω c = 4 rad/s, G(iω c ) = (så klart) och argg(iω c ) = 5. Det är alltså 55 kvar till 80, så () regulatorn måste lägga till 5. (3) behövs lagfilter med γ = 0 (för integralverkan) lägg till 6 extra för att kompensera. Använd leadfilter för att skjuta till 5 +6 =. (4) välj β = 0.67 (m.h.a. figur 5.3), men inte mindre. Leadfiltret blir τ D = ω c β = = 0.305, K = β G(iω c ) = 0.67 = 0.8, F lead (s) = K τ Ds+ βτ D s+ = s s+. Lagfiltret har (som nämnts) γ = 0, och enligt tumregeln väljs τ I = 0 ω c =.5, och det blir alltså F lag (s) = τ Is+ τ I s+γ =.5s+..5s Totala regulatorn blir F(s) = F lead (s)f lag (s).. (a) Först regulatorn: Från blockschemat fås U(s) = Q(s)(E(s)+G(s)U(s)) U(s) = Q(s) Q(s)G(s). d.v.s. F(s) = För det slutna systemet noterar vi från blockschemat att Q(s) Q(s)G(s) E(s), Y(s) = G(s)U(s) och U(s) = Q(s)(Y ref (s)+g(s)u(s) Y(s)) = U(s) = Q(s)Y ref (s), och därmed Y(s) = G(s)Q(s)Y ref (s), d.v.s. G c (s) = G(s)Q(s). (Går också använda G c = Go +G o, med G o = FG.) (b) Från (a) får vi att Q(s) = G (s)g c (s), så man ska välja [ ] α Q(s) = (s+) (s+α) = α (s+) (s+α).

6 Då blir regulatorn F(s) = α (s+) (s+α) α (s+α) = α (s+) (s+α) α = α (s+) s(s+α). (c) Kretsförstärkningen är G o (s) = F(s)G(s) = α s(s+α). Fasmarginalen definieras ju som ϕ m = argg o (iω c ) + 80, där skärfrekvensen definieras av G o (iω c ) =. Ta först reda på skärfrekvensen: = G o (iω c ) = α ω c ω c +(α) ω c(ω c +4α ) = α 4, d.v.s. en andragradsekvation i ω c med lösningen ω c = α ( 5 ) ω c = α 5 (bortse från negativa rötter). Per definition är ϕ m = argg o (iω c )+80, och argg o (iω) = 90 arctan ω α, så ϕ m = arctan (a) Sant( sinus in sinus ut ); (b) Falskt(systemet är instabilt); (c) Sant ( G (iω) = G (iω) = ); (d) Falskt (S(s)+T(s) S(iω) + T(iω) ); (e) Falskt (Definition: S(s) = +G o(s) ). 4. (a) Från blockdiagrammet fås X (s) = s+ U(s) sx (s) = X (s)+u(s), X (s) = s (X (s)+u(s)) sx (s) = X (s)+u(s), Y(s) = X (s)+x (s). Inversa Laplacetransformen ger ẋ = x +u, ẋ = x +u, y = x +x [ ] [ ] 0 ẋ = x+ u, 0 [ ] y = x. (b) Observatören kan skrivas som { ˆx = (A KC)ˆx+Bu+K(y +n), ŷ = Cˆx.

7 Vi får då att Ŷ(s) = C(sI A+KC) (BU(s)+KY(s)+KN(s)), så den sökta överföringsfunktionen är C(sI A+KC) K = [ 0 ][ s+ s ] [ ] 0 = (c) Använd Laplacetransformen, L[e At ] = (si A) : { [s+ ] } {[ e At = L = L s+ 0 s s(s+) 0 s s(s+)+ = s +s+. ]} = [ ] e t 0.5( e t ). 0 3