ÖVNINGSTENTAMEN Modellering av dynamiska system 5hp

Transkript

1 ÖVNINGSTENTAMEN Modellering av dynamiska system 5hp Tid: Denna övn.tenta gås igenom 25 maj (5h skrivtid för den riktiga tentan) Plats: Ansvarig lärare: Bengt Carlsson Tillåtna hjälpmedel: Kurskompendiet Modellering av dynamiska system, inkl Kap 8 (som delats ut separat), miniräknare, Laplace-tabell och matematisk formelsamling. Preliminära betygsgränser: 15 3 < 20, 20 4 < 25, =maxpoäng. För uppgift 7 gäller: Du får poäng för det som ger mest: [antalet erhållna bonuspoäng, poäng på uppgift 7] OBS: Endast en uppgift per ark. Skriv namn på varje ark. Lösningarna ska vara tydliga och väl motiverade (om inget annat anges). LYCKA TILL!

2 Uppgift 1 Överföringsfunktionerna G 1 G 6 beskriver var sitt dynamiskt system. Nedan finns stegsvar för fyra av de sex systemen. Avgör vilken överföringsfunktion som hör till respektive stegsvar. Motivera dina resultat. G 1 (s) = G 4 (s) = 4e s s 2 + 6s + 8 ; G 2(s) = 5 s s + 50 ; G 5(s) = 8e 2s (2s + 4)(s + 4) ; G 3(s) = s 3 s 2 3s 6 ; G 6(s) = s + 3 s 2 + 5s + 6 ; s + 3 s s + 30 (5p) 0.2 System A 0.8 System B Amplitude 0.1 Amplitude Time (sec) Time (sec) 0.2 System C 0.8 System D Amplitude 0.1 Amplitude Time (sec) Time (sec) Figure 1: Stegsvar. 1

3 Uppgift 2 Ett visst tidsdiskret system beskrivs av differensekvationen: ay(k + 2) + by(k + 1) + cy(k) = du(k) där k = 0, 1, 2,... och y(0) = y(1) = 0. (a) Ta fram överföringsfunktionen för systemet. (b) Ta fram en tillståndsbeskrivning för systemet. (1p) (2p) (c) Undersök stabiliteten för detta system då a = d = 6 och b = 5 samt c = 1. (2p) 2

4 Uppgift 3 Ange för vart och ett av följande påståenden ifall det är sant eller falskt. (a) Utsignalen för systemet med överföringsfunktionen G(s) = e s kan vara obegränsad för en begränsad insignal. (b) Följande första ordningens differentialekvation ẋ = x 2, x(0) 0 har bara instabila (divergerande) lösningar. (c) Systemet har statisk förstärkning -1 G(s) = 1 s 1 (d) En sinussignal som insignal till ett olinjärt dynamisk system behöver inte förorsaka en sinussignal av samma frekvens som insignals frekvens på utsignalen. (e) För att hitta en lämplig modellordning vid emprisk modellering kan det vara lämligt att försöka hitta den modellordning som minimerar förlustfunktionen V (θ) = N (y(k) ŷ(k)) 2 = k=1 N (y(k) ϕ T (k)θ) 2 k=1 Varje rätt svar ger 1 poäng och varje felaktigt svar ger -1 poäng. Utelämnat svar ger 0 poäng. Totalpoäng för uppgiften är minst 0p. Ingen motivering behöver ges - enbart svaren sant och falskt kommer att beaktas. (6p) 3

5 Uppgift 4 Ett system är givet på tillståndsform [ ] [ ẋ = x y = [ 2 2 ] x ] u (a) Ta fram systemets överföringsfunktion (b) Bestäm systemets differentialekvation (2p) (1p) Uppgift 5 Antag ett linjärt, stabilt tidskontinuerligt dynamiskt system med en överföringsfunktion som ges av G(s) = 1 + 2s 2s 3 + 5s s + 4. Låt insignalen u(t) vara en sinus-signal med amplitud 5 och en periodtid på π sekunder. Vad blir systemets utsignal (då alla transienter har dött ut) y(t)? (3p) 4

6 Uppgift 6 Sambandet i en elektrisk krets kunde beskrivas av den tidsdiskreta modellen i(k) + ai(k 1) = bu(k 1) där insignalen u(k) är spänning och utsignalen i(k) är strömstyrka. Ett experiment utfördes vilket resulterade i följande data: u(1), u(2),..., u(n), i(1), i(2),..., i(n) (det kan antas att u(0) = i(0) = 0). Ta fram det ekvationssystem som används för att skatta parametrarana a och b med minstakvadratmetoden. (3p) Uppgift 7 Denna uppgift är istället för inlämningsuppgifterna. En pendel modelleras matematiskt på följande sätt: θ + a θ + b sin θ = 0 där θ är pendels vinkelläge och a, b är konstanter. (a) Skriv systemet på tillståndsform. (b) Räkna fram systemets jämviktspunkter (1p) (2p) (c) Undersök stabilitet hos en av jämviktspunkterna. För vilka värden av a, b är jämviktspunkten stabil? (3p) 5

7 Lösningar Uppgift 1 Uppgift 2 a) G 5 (s) kan uteslutas eftersom detta är ett instabilt system. G 1 (s) kan också uteslutas eftersom detta system har en tidsförskjutning med 1 sekund och inget av stegsvaren har en tidsförskjutning med 1 sekund. G 2 (s) är system B eftersom det är det enda systemet med en tidsförskjutning på 2 sekunder. G 3 (s) är det enda systemet som inte har en tidsförskjutning och enbart har reella poler och således är G 3 (s) system D. G 4 (s) och G 6 (s) har båda samma statiska förstärkning men G 4 (s) poler har en realdel som ligger längre ifrån origo och detta ger ett mer dämpat system således måste G 4 (s) vara C och G 6 (s) vara A. Svar: G2(s) - B, G3(s) - D, G4(s) - C, G6(s) - A. G(z) = Y (z) U(z) az 2 Y (z) + bzy (z) + cy (z) = du(z) y(0) = y(1) = 0 gäller för överföringsfunktionen G(z) = d az 2 + bz + c b) Vi kan t ex välja tillstånden x 1 (k) = y(k) x 2 (k) = y(k + 1) vilket ger [ ] [ ][ ] [ ] x1 (k + 1) 0 1 x1 (k) 0 = + u(k) x 2 (k + 1) c/a b/a x 2 (k) d/a y(k) = [ 1 0 ][ ] x 1 (k) x 2 (k) c) Polerna är rötterna till 6z 2 5z + 1 = 0 vilket ger z 1 = 1, z 2 2 = 1 och systemet är stabilt. (Kan även bestämmas 3 genom att beräkna egenvärdena till matrisen [ ] 0 1 c/a b/a ) Uppgift 3 (a) Falskt. I tidsplan är sambandet mellan insignalen och utsignalen y(t) = u(t 1) vilket ger samma signalform på utsignalen som på insignalen. Därför kan en begränsad insignal inte förorsaka en obegränsad utsignal. 1

8 (b) Sant. Derivatan på x är alltid positiv vilket gör att x bara kan öka och gör det obegränsat. (c) Falskt. Systemet är instabilt (slutvärdet existerar inte). (d) Sant (t ex y = x 2 ger dubbla frekvensen) (e) Falskt. Uppgift 4 a) Överföringsfunktionen ges av G(s) = C(sI A) 1 B = 8 (s + 1)(s + 3) b) Laplace-transformen av utsignalen är relaterad till Laplace-transformen av insignalen som Invers laplacetransformation ger (s 2 + 4s + 3)Y (s) = 8U(s) ÿ(t) + 4ẏ(t) + 3y(t) = 8u(t) Uppgift 5 Sinus in ger sinus ut (efter lång tid då alla ev transienter har klingat av). Systemets utsignal får samma frekvens som insignalens frekvens och ges av ω = 2π T = 2 rad/s där T är tidsperioden i sekunder. Utsignalen ges av uttrycket y(t) = A G(iω) sin(ω t + Arg(G(iω)) där A är insignalens amplitud. Bestäm G(iω) samt Arg(G(iω)) G(iω) = 1 + 4i i = 272 = 1 4 Arg(G(iω)) = arctan(4) arctan( 1 4 ) = π 2. Resultatet blir y(t) = 5 4 sin (2 t π 2 ). Uppgift 6 Vi har direkt ϕ(k) = ( i(k 1) u(k 1)) T. Minsta kvadratskattningen ges av ˆθ = [ = N N ϕ(k)ϕ T (k)] 1 ϕ(k)y(k)) k=1 k=1 [ N k=2 i2 (k 1) N k=2 i(k 1)u(k 1) N k=2 i(k 1)u(k 1) N k=2 u2 (k 1) 2 ] 1 [ N ] k=2 i(k 1)i(k) N k=2 u(k 1)i(k)

9 Uppgift 7 Genom att betrakta vinkelhastigheten för pendeln ω fås följande tillståndsbeskrivning θ = ω ω = aω b sin θ Tillståndsvektorn är x T = [θ ω] Jämviktspunkterna uppfyller ẋ = 0 och ges av ω = 0, sin θ = 0 Notera att både ω = 0, θ = 0 och ω = 0, θ = π är jämviktpunkter. För att undersöka stabilitet hos en av dem, t ex x 0 = [0 0] T räknas en linjärisering av systemet fram. [ f(x) = [ f x = f x x=x 0 = ω aω b sin θ ] ] 0 1 b cos θ a [ ] 0 1 b a Alla egenvärden för det linjäriserade systemet är negativa för a > 0, b > 0 och origo är således en stabil jämviktspunkt. 3