TENTAMEN I REGLERTEKNIK

Transkript

1 TENTAMEN I REGLERTEKNIK TID: , kl KURS: TSRT9 PROVKOD: TEN INSTITUTION: ISY ANTAL UPPGIFTER: 5 ANSVARIG LÄRARE: Johan Löfberg, tel BESÖKER SALEN: 5., 7.3 KURSADMINISTRATÖR: Ninna Stensgård, tel , ninna.stensgard@liu.se TILLÅTNA HJÄLPMEDEL: Läroboken Glad-Ljung: Reglerteknik, grundläggande teori med inläsningsanteckningar, tabeller, formelsamling, räknedosa utan färdiga program. LÖSNINGSFÖRSLAG: Anslås efter tentamen på kursens hemsida. PRELIMINÄRA BETYGSGRÄNSER: betyg 3 23 poäng betyg 4 33 poäng betyg 5 43 poäng OBS! Lösningar till samtliga uppgifter ska presenteras så att alla steg (utom triviala beräkningar) kan följas, om ej annat sägs. Bristande motiveringar ger poängavdrag. Lycka till!

2

3 . (a) Betrakta systemet ẋ = y = ( ( ) x + ) x ( ) u Vad är överföringsfunktionen för systemet? (b) För en process gäller Y (s) = G(s)U(s) där G(s) = s + (s + 2)(s + 5) Vilka poler och nollställen har systemet? Är systemet stabilt? Vilket slutvärde går utsignalen mot om man gör ett enhetssteg i insignalen. (3p) (c) Vilken funktion och syfte har I-delen i en PID-regulator? (p) (d) Vilket av systemen nedan är mest oscillativt dvs har störst översläng? G (s) = s 2 + 2s + 2 G 2 (s) = s 2 + 2s + 2 (e) I figur är utsignalen för ett linjärt system då insignalen är ett enhetssteg, dvs u(t) = då t. Vad blir utsignalen stationärt då insignalen är ett steg med amplitud 2? Step Response Amplitude Time (seconds) Figur : Stegsvar till uppgift e.

4 2. Betrakta ett återkopplat system enligt figur 2. Med en viss regulator fås överföringsfunktionerna G o (s) = F (s)g(s) i figur 3, G c (s) = F (s)g(s) i figur 4 samt +F (s)g(s) S(s) = i figur 5. +F (s)g(s) (a) Antag att v(t) = och att n(t) = samt att referenssignalen är ett steg dvs r(t) = då t. Vad blir lim t y(t)? (b) Antag att r(t) = och att n(t) =. Vad blir y(t) då alla transienter har dött ut om v(t) = sin(t)? (c) Antag att n(t) = samt att referenssignalen är ett steg dvs r(t) = då t och att v(t) = sin(t). Vad blir y(t) då alla transienter har dött ut? (d) Antag att mätbruset n(t) huvudsakligen innehåller frekvenser ω >. Kommer mätbruset att förstärkas eller dämpas i utsignalen y(t)? (p) (e) Antag att modellens överföringsfunktion G(s) har ett fel på % i den statiska förstärkningen dvs det sanna systemet beskrivs av G (s) = α G(s) där α =.. Använd robusthetskriteriet för att avgöra om det sanna återkopplade systemet är stabilt. (3p) Figur 2: Blockschema till uppgift 2. 2

5 Gm = 2.8 db (at 3.6 rad/s), Pm = 47.4 deg (at.784 rad/s) Figur 3: Bodediagram för G o (s) = F (s)g(s) i uppgift Figur 4: Bodediagram för G c (s) = F (s)g(s) +F (s)g(s) i uppgift 2. 3

6 Figur 5: Bodediagram för S(s) = +F (s)g(s) i uppgift 2. 4

7 3. (a) Antag att vi vill modellera position y(t) och hastighet ẏ(t) för en bil. Överföringsfunktionen mellan motorns kraft u(t) på bilen och bilens position y(t) kan då skrivas som G(s) = s(s + ). i. Skriv systemet på tillståndsform med y(t) och ẏ(t) som tillstånd. (p) ii. Antag att vi kan mäta både bilens position y(t) och hastighet ẏ(t). Tag fram en tillståndsåterkoppling u(t) = Lx(t) + r(t) så att det återkopplade systemet får poler i. (3p) iii. Antag nu att utsignalen (mätsignalen) är bilens hastighet. Hur förändras tillståndsmodellen? Kan vi skatta bilens position utifrån denna mätning? (b) Para ihop bodediagrammen i figur 6 och stegsvaren i figur 7. Observera att alla bodediagram är i samma frekvensskala och alla stegsvar i samma tidsskala. (4p) 5

8 (a) Bodediagram A (b) Bodediagram B (c) Bodediagram C (d) Bodediagram D Figur 6: Bodediagram till uppgift 3b. 6

9 Step Response Step Response.5.5 Amplitude Amplitude Time (seconds) (a) Stegsvar I Time (seconds) (b) Stegsvar II Step Response Step Response Amplitude Amplitude Time (seconds) (c) Stegsvar III Time (seconds) (d) Stegsvar IV Figur 7: Stegsvar till uppgift 3b. 7

10 4. Denna uppgift kräver ej motivering, utan din uppgift är bara att genomföra lämpliga analyser och beräkningar och sedan enbart svara Ja, Nej, eller Går ej att avgöra och inget annat på de fem frågorna. Du måste dock lita på din analys, då felaktigt svar ger en negativ poäng (dvs -p istället). Du kan naturligtvis avstå att svara på frågan och får då p. Du kan ej får mindre än p totalt på hela uppgiften. Till ditt förfogande på nästa sida har du en rotort på slutna systemet från r till y m.a.p förstärkningen K > som används i en P-regulator U(s) = K(R(s) Y (s)) för att styra systemet Y (s) = G(s)U(s). (a) Det slutna systemet från r till y kommer att ha 3 poler (b) Genom att välja K tillräckligt stort garanteras stabilitet (c) Det finns en värden K < K 2 < K 3 så att återkopplade systemet är stabilt för både K och K 3, men instabilt för K 2. (d) För alla stabiliserande val av K kommer återkopplade systemet kunna följa konstanta referenssignaler utan reglerfel (e) För alla val av stabiliserande K så får man alltid exakt 3 reella rötter 8

11 Figur 8: rotort i uppgift 4. 9

12 5. När en patient får en ny höftled måste läkaren först borra i skelettet för att sätta fast höftledsprotesen. Det kan göras med en automatiskt styrd laserborr, och det är naturligtvis extremt viktigt att hålet blir korrekt borrat. Vi ska nu studera en enkel modell av ett sådant borrsystem. Överföringsfunktionen från styrsignal u till position i djupled y för en viss borr ges av G(s) = Bodediagrammet för G(s) finns i figur 9. 5 s 3 + 5s 2 + 5s (a) Antag att systemet regleras med en P-regulator, dvs F (s) = K. Om vi vill ha en fasmarginal på minst 55, vad är det största K vi kan välja? Vilken skärfrekvens får vi? (b) Antag att referenssignalen ges av en ramp r(t) = t (dvs vi försöker röra oss med en konstant hastighet in i benet, t.ex mm/s om enheterna är mm och sekund). Bestäm en regulator som, utan onödigt hög förstärkning, uppfyller kravet att lim t e(t) <. samt har en skärfrekvens på minst ω c = rad/s och en fasmarginal som är minst ϕ m > 6. (4p) (c) Antag att vi behöver ett väldigt snabbt system med ω c = 7 rad/s. Vi måste dessutom undvika oscillationer och kräver en fasmarginal på minst ϕ m =. Vi är dock ej längre intresserade av storleken på statiska reglerfelet. För att kunna bygga regulatorn i verkligheten och för att inte förstärka högfrekventa störningar måste högfrekvensförstärkningen hos regulatorn vara begränsad. Föreslå en regulator som löser detta problem. Obs, du kommer inte kunna använda en standard regulator utan måste utvidga teorin genom att tänka efter vad en lead- respektive lag-komponent gör. (4p)

13 Gm = 23.5 db (at 7.7 rad/s), Pm = 73.4 deg (at.977 rad/s) Figur 9: Bodediagram för G(s) i uppgift 5.