TENTAMEN: DEL A Reglerteknik I 5hp

Transkript

1 TENTAMEN: DEL A Reglerteknik I 5hp Tid: Måndag 5 december 24, kl Plats: Fyrislundsgatan 8, sal Ansvarig lärare: Hans Norlander, tel Tillåtna hjälpmedel: Kursboken (Glad-Ljung), miniräknare, Laplace-tabell och matematisk formelsamling. Examinationen består av två delar, del A och del B. För att bli godkänd krävs att man är godkänd på del A, och för detta krävs godkänt på varje uppgift. Del B är frivillig och ges endast vid ordinarie tentatillfällen (vid respektive kurstillfällen). Preliminära betygsgränser: Betyg 3: Godkänt på del A Betyg 4: Godkänt på del A och minst poäng på del B (inkl. bonuspoäng) Betyg 5: Godkänt på del A och minst 8 poäng på del B (inkl. bonuspoäng) OBS: Svar och lösningar/motiveringar ska skrivas på angiven plats i detta provhäfte, och provhäftet ska lämnas in. Lösningarna ska vara tydliga och väl motiverade (om inget annat anges). LYCKA TILL! Tentamenskod Utbildningsprogram Bordsnummer (alt. namn och personnummer) Termin och år då du först registrerades på kursen Klockslag för inlämning Resultat: Uppg. Uppg. 2 Uppg. 3 Del A G/U G/U G/U G/U

2 Uppgift En enkel modell av ett fartygs girrörelser ges av tillståndsbeskrivningen Ü(Ø) = Ü(Ø) + Ù(Ø) Ý(Ø) = Ü(Ø) 4 2 Här är insignalen, Ù, roderutslaget och utsignalen, Ý, fartygets kursvinkel. (a) Bestäm viktfunktionen från Ù till Ý. Svar: (b) Som en del av en autopilot vill man styra kursen med tillståndsåterkopplingen Ù = ÄˆÜ + ÑÝ Ö, där ˆÜ fås från en observatör. Bestäm vektorn Ä och skalären Ñ i tillståndsåterkopplingen så att det slutna systemet blir 32 ( ) = Ö ( ) Svar: (c) I observatören har observatörsförstärkningen valts till à = 6 Ì. Vad blir observatörspolerna? Svar: Här är tidsenheten minuter för att ge snällare siffror.

3 Uppgift 2 I den vänstra figuren nedan visas rotorten för det slutna systemets poler hos ett återkopplat system, med avseende på en regulatorförstärkning Ã. I den högra figuren visas stegsvaret för det slutna systemet för tre olika värden på Ã..4 6 Im.2 A 4 2 K=9.8 K=.22 Re utsignal.8.6 B C tid (a) Kretsförstärkningen hos det återkopplade systemet, som är av typen Ó ( ) = Ã É( ), blir en av följande överföringsfunktioner: È ( ) Ã ( + 2) Ã( + 6) ( + 2) Ã( + 6) Ã ( + 2)( + 6) Ringa in den av dessa som är kretsförstärkningen. Motivering krävs! Motivering: (b) Ringa in i tabellen nedan vilket av stegsvaren A, B och C som hör till vilket värde på förstärkningen Ã. Motivera! Ã = 2 A B C Ã = 2 A B C Ã = 2 A B C Motivering: 2

4 Uppgift 3 I blockschemat nedan visas ett återkopplat system. Ö + Σ Regulator + System + Ý (a) Vad är det för sorts regulator som används? Ringa in rätt alternativ nedan: P-regulator, PI-regulator, PD-regulator Motivering: (b) För det återkopplade systemet i blockschemat, vad blir kretsförstärkningen Ó ( )? Svar: Vad blir känslighetsfunktionen Ë( )? Svar: (c) Känslighetsfunktionerna Ë( ) och Ì ( ) har flera viktiga innebörder för det återkopplade systemet. Exempelvis finns det kopplingar mellan Ë( ) och Ì ( ) och det relativa modellfelet ( ). (Det verkliga systemet ( ) förhåller sig till modellen ( ) som ( ) = ( )( + ( )).) Ange (minst) en sådan koppling mellan ( ) och Ë( ) eller Ì ( ), samt ge en kortfattad förklaring av innebörden. Svar: 3

5 Vid behov kan du fortsätta dina lösningar/motiveringar på detta ark. Markera tydligt vilken uppgift som avses. 4

6 Lösningar till tentamen i Reglerteknik I 5hp, del A (a) Viktfunktionen är (Ø) = Ä [ ( )], och ( ) = ( Á ) = = Laplacetabell ger då (Ø) = Ä 2 ( +4) 2 ( + 4) = 2 4 ( 4Ø ) = 5( 4Ø ). (b) Slutna systemet blir Ñ ( ) = Ñ ( ), där ( ) är öppna systemets täljare, «( ) dvs. ( ) = 2 här, och «( ) = det( Á + Ä). (Går också bra med ( ) = ( Á + Ä) Ñ.) Här blir «( ) = det + = det 4 2Ð 2Ð 2 2Ð Ð 2 = 2 + (4 + 2Ð 2 ) + 2Ð Identifiering av koefficienter ger att 4 + 2Ð 2 = 8 och 2Ð = 32 Ä = Ð Ð 2 = 6 2. Vidare vill vi att Ñ ( ) = 2Ñ = 32, så välj Ñ = 6. (c) Observatörspolerna ges av = det( Á + à ) = det = det = 2 + ( ) = där sista likheten följer av att = 6 och 2 =. Observatörspolerna blir alltså 5 Ô = (a) Med kretsförstärkningen Ó ( ) = à É( ) blir slutna systemets polpolynom È ( )+ÃÉ( ). Startpunkterna svarar alltså mot poler, och ändpunkterna È ( ) svarar mot nollställen hos Ó ( ). Här är startpunkterna (origo) och 2, och 6 är ändpunkt. Detta passar bara in på den andra överföringsfunktionen. Alltså är Ó ( ) = Ã( +6). ( +2) (b) Av rotorten framgår att slutna systemet har reellvärda poler nära origo för à 22, komplexa poler för 22 à 9 8, samt reellvärda poler längre bort från origo för à 9 8. För à = 2 är alltså polerna reella och nära origo, d.v.s. helt dämpat och långsamt. För à = 2 är polerna komplexvärda och längre från origo, d.v.s. svängigt och snabbare. För à = 2 är polerna reellvärda och längre från origo, d.v.s. helt dämpat och snabbare. Stegsvaret A är lite svängigt, stegsvaren B och C är helt dämpade och B är snabbare än C. Korrekt ihopparning är alltså: à = 2 à = 2 à = 2 3. (a) ( ) = + = +, en proportionell del och en integrerande del. Alltså en PI-regulator.

7 (b) Kretsförstärkningen Ó ( ) är överföringsfunktionen från början av återkopplingsslingan till slutet av densamma. Här den alltså Ó ( ) = + = +. Känslighetsfunktionen är Ë( ) = =. + Ó( ) + (c) I kursen har två sådana samband getts, dels Ý ( ) = Ë ( ) ( ), dels Resultat 6.2 som säger att om Ì ( ) är stabil och om Ì ( ) ( ) för alla, så är även det verkliga slutna systemet (Ì ( ), Ë ( ) etc) stabilt. Det räcker att ange ett av dessa. 2