1RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del B

Transkript

1 RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del B Tid: Fredag 9 mars 208, kl Plats: BMC B:3 Ansvarig lärare: Hans Rosth, tel Hans kommer och svarar på frågor ungefär kl Tillåtna hjälpmedel: Kursboken (Glad-Ljung), miniräknare, Laplace-tabell och matematisk formelsamling. Skrivningen består av två delar, del A och del B. För att bli godkänd på skrivningen krävs att man är godkänd på del A. Del B är frivillig och ges endast vid ordinarie tentatillfällen (vid respektive kurstillfällen.) Preliminära betygsgränser: Betyg 3: Godkänt på del A Betyg 4: Godkänt på del A och minst 0 poäng på del B (inkl. bonuspoäng) Betyg 5: Godkänt på del A och minst 8 poäng på del B (inkl. bonuspoäng) OBS: Svar och lösningar lämnas in på separata papper. Endast en uppgift per ark. Skriv din tentakod på varje ark. Lösningarna ska vara tydliga och väl motiverade (om inget annat anges). Avläsningar ur diagram behöver inte vara exakta. LYCKA TILL!

2 Uppgift Ett system har tillståndsmodellen { ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), A = y(t) = Cx(t), [ ] 2 2, B = 2 2 Man ska styra systemet med tillståndsåterkopplingen där ˆx(t) fås från observatören [ ] 0, C = [ 0 ]. () u(t) = Lˆx(t) + mr(t), (2) ˆx(t) = Aˆx(t) + Bu(t) + K(y(t) C ˆx(t)). (3) (a) Bestäm matrisexponentialfunktionen e At för A i (). (p) (b) Bestäm observatörsförstärkningen K i observatören (3) så att skattningsfelen x i (t) = x i (t) ˆx i (t), i =, 2, avtar som α i (t)e 5t, där α i (t) är (godtyckliga) förstagradspolynom i tiden t. (c) Om man kombinerar (2) med (3) och Laplacetransformerar så kan styrlagen skrivas som U(s) = F r (s)mr(s) F y (s)y (s). För ett visst val av L i (2) och K i (3) blir F r (s) = s2 + 8s + 6 s 2 + 0s + 28, F y(s) = 6 s 2 + 0s Vad blir observatörspolynomet för detta val?

3 Uppgift 2 Känslighetsfunktionerna har flera viktiga tolkningar för ett återkopplat system. Bland annat ger de information om hur modellfel påverkar det slutna systemet. (a) En typisk modellförenkling som man ofta gör, och som bidrar till modellfelet, är att man bortser från snabb dynamik. Anta att man har modellen G(s), men att det verkliga systemet har överföringsfunktionen G 0 (s) = G(s) + τs, τ > 0, där τ är en tidskonstant som är betydligt mindre än övriga tidskonstanter i G(s). Detta τ svarar alltså mot en snabb pol som man inte har med i modellen G(s). Bestäm det relativa modellfelet, G (s), i detta fall. (p) (b) Bestäm sup G (iω), d.v.s. ange en övre gräns för hur stort beloppet av ω frekvenssvaret för det relativa modellfelet i (a) kan bli. (c) Känslighetsfunktionen definieras ju som S(s) =, där G +G o(s) o(s) är kretsförstärkningen. Ett vanligt önskemål vid regulatordesign är att man vill uppnå S(iω) < M S, för alla ω. M S anger alltså en övre gräns på hur stor S(s) får bli. Detta villkor är ekvivalent med att Nyquistkurvan, G o (iω), 0 ω <, måste ligga helt utanför en viss cirkel i det komplexa talplanet. Ange centrum och radie för denna cirkel, uttryckt i M S. Uppgift 3 Ange för vart och ett av följande påståenden ifall det är sant eller falskt. (a) Den maximala fasen ϕ max för leadfiltret F lead (s) = K τ Ds+ βτ D är oberoende s+ av parametern τ D. (b) En asymptotisk stabil tillståndsbeskrivning är alltid insignal-utsignalstabil. (c) För återkopplade system med en tidsfördröjning i kretsförstärkningen har ibland känslighetsfunktionerna S(s) och T (s) ett gemensamt nollställe. (d) När man styr med återkoppling från reglerfelet (DOF) måste känslighetsfunktionen S(s) ha en pol i origo för att stegsvarets kvarvarande fel ska bli noll. (e) Alla tillståndsbeskrivningar som är minimumfas är styrbara. Varje rätt svar ger + poäng och varje felaktigt svar ger - poäng (och utelämnat svar ger noll poäng). Totalt ger dock uppgiften minst 0 poäng. Ingen motivering behövs enbart svaren sant och falskt kommer att beaktas. (5p) 2

4 Uppgift 4 Man vill styra ett system, Y (s) = G(s)U(s), med återkoppling från reglerfelet, U(s) = F (s)(r(s) Y (s)). För att kunna göra en systematisk regulatordesign har man mätt upp systemets frekvenssvar, och resultatet redovisas i Bodediagrammet nedan. Man noterar också att systemets statiska förstärkning är G(0) = belopp 0 0 fas ( ) ω (rad/s) ω (rad/s) (a) För att kunna helt eliminera stegsvarets kvarvarande fel behöver man ha integralverkan i regulatorn F (s). Anta att man använder den rent integrerande regulatorn F (s) = K. För vilka K > 0 är då det slutna systemet s stabilt? (p) (b) Föreslå en regulator F (s) sådan att:. Fasmarginalen blir minst Stegsvarets stigtid blir ungefär T r = 0.2 sekunder. 3. Stegsvarets kvarvarande fel elimineras helt. 4. Regulatorns förstärkning för höga frekvenser inte blir större än nödvändigt. Motivera alla dina val av parametervärden noggrant! (3p) (c) Vad blir rampfelet, d.v.s. lim (r(t) y(t)) då r(t) = t, för den regulator t du fått fram i (b)? (p) 3

5 Lösningar till tentamen i Reglerteknik I 5hp, del B (a) Utnyttja att e At = L [(si A) ]: [ ] [ s+2 s (si A) (s+2) = = s (s+2) (s+2) s+2 (s+2) ] [ ] cos 2t sin 2t e At = e 2t. sin 2t cos 2t (b) Att x i ska avta som α i (t)e 5t innebär att det ska vara en dubbel observatörspol i 5, d.v.s. det önskade observatörspolynomet är (s + 5) 2 = s 2 + 0s Det faktiska observatörspolynomet blir [ ] s k 2 det(si A + KC) = det = s 2 + (4 + k 2 + k 2 s + 2 )s k 2k 2. Identifiering av koefficienterna ger { 4 + k = 0, 8 + 2k 2k 2 = 25, { k = 6, k 2 = 2.5, d.v.s. K = [ ] (c) Observatörspolynomet är täljarpolynomet i F r (s), d.v.s. observatörspolynomet är s 2 + 8s + 6. Detta kan inses av att det slutna systemet blir G c (s) = Fr(s)G(s), och +F y(s)g(s) om vi sätter G(s) = b(s), F a(s) y(s) = d(s) och F c(s) r(s) = e(s) så blir c(s) G c (s) = e(s) b(s) c(s) a(s) + d(s) b(s) c(s) a(s) = e(s)b(s) a(s)c(s) + b(s)d(s). Men vi vet också dels att G c (s) = C(sI A + BL) B = b(s) α(s) Glad/Ljung), dels att slutna systemets polpolynom är det [ si A + BL BL 0 si A + KC se (9.37) i Glad/Ljung. Därmed får vi (ekv. (9.38) i ] = det(si A + BL) det(si A + KC), }{{}}{{} =α(s) =β(s) G c (s) = e(s)b(s) α(s)β(s) och G c (s) = b(s) α(s) e(s) = β(s). 2. (a) Det relativa modellfelet (se ekv. (6.6) och (6.8) i kursboken) är G (s) = G0 (s) G(s) G(s) = G(s) +τs G(s) G(s) = + τs = τs + τs. (b) Vi har G (iω) = iτω + iτω = τω + (ωτ) 2 <, ω,

6 d.v.s. sup G (iω) =. ω (c) Vi vill alltså uppnå + G o (iω) < M S M S < + G o (iω) = G o (iω) ( ), och det ska gälla för alla ω. Högerledet kan tolkas som ett avstånd, nämligen avståndet mellan Nyquistskurvan, G o (iω), och punkten i det komplexa talplanet. Detta avstånd ska enligt olikheten vara större än M S, vilket alltså betyder att Nyquistkurvan måste ligga helt utanför cirkeln med centrum i och med radien M S. 3. (a) Sant (Beror bara av β); (b) Sant (Resultat 8.7); (c) Falskt (S(s) + T (s) = för alla s); (d) Falskt (Slutna systemet ej stabilt om pol i origo); (e) Falskt (Orelaterade egenskaper). 4. (a) Använd Nyquistkriteriet. Kretsförstärkningen blir G o (s) = K s G(s). Nyquistkurvan skär negativa reella axeln när 80 = arg G o (iω p ) = 90 + arg G(iω p ) arg G(iω p ) = 90. För stabilitet måste (enligt förenklade Nyquistkriteriet) då > G o (iω p ) = K ω p G(iω p ) K < ω p G(iω p ) gälla. Bodediagrammet ger att arg G(iω) = 90 för ω = ω p = 2.2 rad/s och G(iω p ) = 2.2. Alltså är det stabilt för K < 2.2 = (b) Ta reda på vilken skärfrekvens ω c som krävs för krav 2 använd (t.ex.) figurerna 5. & 5.2: Figur 5. ger ϕ m = 60 (krav ) ζ = 0.6, och figur 5.2 ger då att ω c T r =.33 ω c =.33 T r =.33 = 6.65 rad/s. Bodediagrammet ger att G(iω c ) = 0.4 och arg G(iω c ) = 47. Det är alltså 33 kvar 0.2 till 80. Vi behöver alltså ett leadfilter för att skjuta till fas. Vi behöver också integralverkan för krav 3, d.v.s. ett lagfilter med γ = 0. Leadfiltret får därför kompensera 6 extra, så totalt ska det ge = 33 i fas vid ω c. Enligt figur 5.3 väljs β = 0.29 (inte mindre p.g.a. krav 4), och för att få maxfasen vid ω c väljs sedan τ D = ω c β = 6.65 = Slutligen, för att 0.29 ω c = 6.65 rad/s ska bli skärfrekvens väljs K så att = G o (iω c ) = F lead (iω c ) F lag (iω c ) G(iω c ) = K β G(iω c ) K = β G(iω c ) = =.35. Leadfiltret blir F lead (s) = K τ Ds + βτ D s + = s s +. 2

7 För lagfiltret välj som sagt γ = 0 och enligt tumregel τ I = 0 så lagfiltret blir F lag (s) = τ Is + τ I s + γ =.5s +..5s Den totala regulatorn blir F (s) = F lead (s)f lag (s). (c) DOF E(s) = S(s)R(s). Med slutvärdesteoremet får vi lim t e(t) = lim ss(s)r(s) = lim s 0 s 0 s + G o (s) Eftersom G o (s) = F lead (s)f lag (s)g(s) och γ = 0 blir lim e(t) = lim t s 0 s + (s + /τ I )F lead (s)g(s) = s 2 = lim s 0 τ I F lead (0)G(0) = ω c = 0 s + sg o (s) =.5, τ I KG(0) = =