TENTAMEN I REGLERTEKNIK Y/D

Transkript

1 TENTAMEN I REGLERTEKNIK Y/D SAL: T1, KÅRA TID: 9 juni 2017, klockan KURS: TSRT12, Reglerteknik Y/D PROVKOD: TEN1 INSTITUTION: ISY ANTAL UPPGIFTER: 5 ANTAL SIDOR PÅ TENTAMEN (INKLUSIVE FÖRSÄTTSBLAD): 10 ANSVARIG LÄRARE: Johan Löfberg, tel , BESÖKER SALEN: 15:00, 16:30, 18:00 KURSADMINISTRATÖR: Ninna Stensgård, tel , ninna.stensgard@liu.se TILLÅTNA HJÄLPMEDEL: Läroboken Glad-Ljung: Reglerteknik, grundläggande teori med normala inläsningsanteckningar, tabeller, formelsamling, räknedosa utan färdiga program. LÖSNINGSFÖRSLAG: Anslås efter tentamen på kursens hemsida. VISNING av tentan äger rum kl i Ljungeln, B-huset, ingång 27, A-korridoren till höger. PRELIMINÄRA BETYGSGRÄNSER: betyg 3 23 poäng betyg 4 33 poäng betyg 5 43 poäng OBS! Lösningar till samtliga uppgifter ska presenteras så att alla steg (utom triviala beräkningar) kan följas. Bristande motiveringar ger poängavdrag. Lycka till!

2

3 1. (a) För vilka värden på parametern γ är nedanstående system styrbart? [ ] [ ] γ 1 1 ẋ = x + u (b) Vilken styrlag minimerar värdet av kriteriet för det skalära systemet 0 (9x 2 + u 2 ) dt ẋ = u (c) Ett system som saknar poler i höger halvplan har nedanstående Nyquistkurva. För vilka K-värden får man stabilitet om det regleras med en P-regulator u = K(r y)? (d) Ett system som beskrivs av där V är en störning, regleras enligt Y (s) = G(s)U(s) + V (s) U(s) = F (s)e(s) där E är reglerfelet, E(s) = R(s) Y (s). Känslighetsfunktionen S(s) är plottad nedan. 1

4 Vad blir reglerfelets amplitud i stationaritet om v(t) = 2 sin 0.2t, r(t) = 0 (e) Varför är icke-minfassystem svåra att reglera? Ange två motiveringar, en baserad på resonemang i tidsplanet och en baserad på frekvensplanet. 2. Betrakta systemet y = [ 1 1 ] x ẋ = [ ] 1 2 x [ ] 1 u + 0 [ ] 0 v 1 där v är en störning. Man vill reglera systemet med referenssignalen r = 0. (a) Ange en tillståndsåterkoppling u = Lx som placerar polerna i 1 och 2. (b) Antag att v är ett enhetssteg. Vad blir då reglerfelet i stationärt tillstånd med regulatorn i (a). (c) Ange en modifiering av tillståndsåterkopplingen som gör att det stationära reglerfelet blir noll om v är ett enhetssteg. (d) Skriv om systemet på överföringsfunktionsform: Y (s) = G(s)U(s) + G d (s)v (s) (e) Ange en framkoppling som helt eliminerar inverkan av störningen v. 2

5 3. I mobiltelefoni används s.k. faslåsta slingor (PLL, phase locked loop). De ser i princip ut som nedan Uppgiften är att styra fasläget θ o hos en spänningsstyrd oscillator (VCO voltage controlled oscillator) så att det överensstämmer med fasläget θ i hos en given sinussignal. Detta åstadkomms genom att fasfelet får påverka insignalen v till oscillatorn via ett filter i en återkopplingsslinga. Vanligtvis är derivatan av θ o proportionell mot v: θ o = K o v Om man bortser från olinjäriteter i fasdetektorn kan man ställa upp följande blockschema. 3

6 I grundkonstruktionen är G(s) ett enkelt lågpassfilter: G(s) = 1 s + 1 (a) Man justerar K o så att fasmarginalen blir 45 o. Vilket K o och vilken skärfrekvens får man då? (3p) (b) Det finns två problem med ett val enligt (a). Dels vill man ha dubbelt så stor skärfrekvens utan försämrad fasmarginal för att få tillräckligt snabb insvängning. Dels vill man kunna följa en ramp θ i (t) = at utan stationärt fel. (I den aktuella tillämpningen kan detta tolkas som att man vill klara ett frekvenshopp i den sinus man vill följa, eftersom sin(ω o t + θ i (t)) = sin((ω o + a)t).) Ange ett modifierat filter G(s), d.v.s. låt G(s) = 1 τ D s + 1 τ I s + 1 s + 1 βτ D s + 1 τ I s + γ och bestäm värdena på K o, τ D, β, τ I och γ så att kraven ovan uppfylls. (7p) 4. En motor styrs via ett radiobaserat gränssnitt. Motorn och signalöverföringen kan tillsammans ses som systemet ẋ(t) = x(t) + 0 u(t) y(t) = 3 ( ) 1 x(t) (a) Bestäm överföringsfunktionen mellan insignalen u(t) och utsignalen y(t). (2 p) (b) Är systemet asymptotiskt stabilt? (Motivera svaret.) (2 p) (c) Är systemet insignal-utsignal-stabilt? (Motivera svaret.) (2 p) (d) Är tillståndsrepresentationen minimal? (Motivera svaret.) (2 p) 5. Det styr- och observerbara systemet ẋ = Ax + Bu, y = Cx har överföringsfunktionen G(s) = b j s n j + + b n 1 s + b n s n + a 1 s n a n 1 s + a n 4

7 Man väljer ett initialtillstånd så att y(0) = dy dt (0) = = dj 1 y (0) = 0 dtj 1 (a) Ange en tillståndsåterkoppling u = Lx som gör att det för alla t gäller y(t) = dy dt (t) = = dj 1 y (t) = 0 dtj 1 (5p) (b) Med den i (a) framtagna tillståndsåterkopplingen räcker det att beskriva den kvarvarande dynamiken med n j tillstånd. Ange en sådan tillståndsbeskrivning och en ekvation för egenvärdena som beskriver dess dynamik. Vilken relation finns mellan dessa egenvärden och nollställena till G? Ledning: Observerbar kanonisk form. (5p) 5