1RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del A Tid: Torsdag 15 december 2016, kl

Transkript

1 Tentamenskod Klockslag för inlämning Utbildningsprogram Bordnummer 1RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del A Tid: Torsdag 15 december 2016, kl Plats: Fyrislundsgatan 80, sal 1 Ansvarig lärare: Fredrik Olsson, tel Fredrik kommer och svarar på frågor ungefär kl Tillåtna hjälpmedel: Kursboken (Glad-Ljung) med ev egna anteckningar, miniräknare, Laplace-tabell och matematisk formelsamling. Examinationen består av två delar, del A och del B. För att bli godkänd krävs att man är godkänd på del A, och för detta krävs godkänt på varje uppgift. Del B är frivillig och ges endast vid ordinarie tentatillfällen (vid respektive kurstillfällen). Preliminära betygsgränser: Betyg 3: Godkänt på del A Betyg 4: Godkänt på del A och minst 10 poäng på del B (inkl. bonuspoäng) Betyg 5: Godkänt på del A och minst 18 poäng på del B (inkl. bonuspoäng) OBS: Svar och lösningar/motiveringar ska skrivas på angiven plats i detta provhäfte, och provhäftet ska lämnas in. Lösningarna ska vara tydliga och väl motiverade (om inget annat anges). LYCKA TILL! Resultat: Uppg. 1 Uppg. 2 Uppg. 3 Del A G/U G/U G/U G/U Ev. kommentar från lärare:

2 Uppgift 1 Blockschemat nedan visar ett återkopplat system med proportionell reglering. r K r u + 2 +v y s+1 + s+2 Det slutna systemet kan skrivas K p Y (s) = G r (s)r(s) + G v (s)v (s). (1) (a) Bestäm överföringsfunktionerna G r (s) och G v (s) i (1) (uttryckta i K p, K r, s och siffror). Svar: G r (s) =, G v (s) = (b) Hur kan K r och K p användas för att minimera inverkan av störningen v(t) på utsignalen y(t)? Motivera svaret. Svar: Motivering: (c) För vilka värden av K r, K p R är det slutna systemet ovan stabilt? Svar: 2

3 (d) Vilket värde bör K r ha för att erhålla statiska förstärkningen från referensvärdet r(t) till utsignalen y(t) lika med ett? Svar: (e) Vad är den verkliga överföringsfunktionen G 0 (s) om G(s) = 2 s+2 (som i blockschemat) och det relativa modellfelet G (s) = 0.5? Svar: 3

4 Uppgift 2 Betrakta systemet med tillståndsbeskrivningen [ ] [ ] ẋ(t) = x(t) + u(t), [ ] y(t) = 0 2 x(t). (2) (a) Vad är systemets överföringsfunktion? Svar: G(s) = Ange också systemets viktfunktion. Svar: g(t) = (b) Är tillståndsbeskrivningen (2) en minimal realisation? Svar: Motivering: (c) Bestäm tillståndsförstärkningen L = [ l 1 får polerna 5, 3. Svar: L = l 2 ] sådan att slutna systemet 4

5 Uppgift 3 (a) Nedan visas stegsvar för fyra olika överföringsfunktioner. 3 G 1 (s) = s 2 + 4s + 3 ; G 3(s 1) 2(s) = s 2 + 4s + 3 ; 3e s G 3 (s) = s 2 + 4s + 3 ; G 3(s + 1) 4(s) = s 2 + 4s + 3. Ange vilket av stegsvaren A, B, C och D som hör till vilken överföringsfunktion. Motivera! 1 Step Response D Amplitude 0.5 A C 0 B Time (seconds) G 1 (s): ; G 2 (s): ; G 3 (s): ; G 4 (s): Motivering: (b) Vid regulatordesign genom polplacering väljer man slutna systemets karaktäristiska polynom. Vilket av följande polynom ger kortast stigtid T r, respektive störst översläng M hos stegvaret? D 1 (s) = s 2 + 4s + 3, D 2 (s) = s 2 + s + 1, D 3 (s) = s s + 16 Svar: Kortast T r : Störst M: Motivering: 5

6 Vid behov kan du fortsätta dina lösningar/motiveringar på detta ark. Markera tydligt vilken uppgift som avses. 6

7 Lösningar till tentamen i Reglerteknik I 5hp (a) Från blockschemat fås Kretsförstärkningen är vilket ger G r (s) = Y (s) = G r (s)r(s) + G v (s)v (s). G v (s) = G o = 2K p s s+2 K r s G o (s) = 2 s + 2(K p + 1) G o (s) = s + 2 s + 2(K p + 1) (b) K r påverkar inte överföringsfunktionen från störningen till utsignalen G v (s). Absolut belopp av G v (s) minskar med ökande förstärkning K p. (c) Karaktäristiska polynomet är s + 2(K p + 1) = 0. Det slutna systemet är stabilt för alla K p > 1. Förstärkningen K r ligger utanför den slutna kretsen och påverkar inte stabilitet, om den har ett ändligt värde. (d) Statiska förstärkningen från r(t) till y(t) är G r (s) s=0 = K r K p + 1. För att erhålla G r (0) = 1 ska det gälla att K r = K p + 1. (e) Det relativa modellfelet är vilket ger G (s) = G0 (s) G(s) G(s) G 0 (s) = G(s)(1 + G (s) eller G 0 (s) = 3 s (a) Observera att systemet står på styrbar kanonisk form. Därmed fås 2 direkt att G(s) =. Viktfunktionen är s 2 +4s+3 [ ] g(t) = L 1 [G(s)] = L 1 2 s 2 + 4s + 3 = L 1 [ 1 s s + 3 ] = e t e 3t. (b) Minimal realisation är både styrbar och observerbar (Resultat 8.11). Systemet är på styrbar kanonisk form och då är det styrbart. Observerbarhet: [ ] [ ] C 0 2 S = = full rang, och därmed observerbart. CA 2 0 1

8 Alltså är (2) en minimal realisation. (c) Önskat karaktäristiskt polynom: Slutna systemets polynom blir det(si A + BK) = det (s + 3)(s + 5) = s 2 + 8s {[ ] s 0 0 s [ ] [ ] 1 [l1 ] } l 0 2 = s 2 + (4 + l 1 )s l 2, vilket, när man jämför med det önskade karaktäristiska polynomet, ger { 4 + l1 = 8, 3 + l 2 = 15, { l1 = 4, l 2 = 12, L = [ 4 12 ]. 3. (a) Stegsvar C innehåller en tidsfördröjning och därefter motsvarar G 3 (s). Stegsvar B är ickeminimalfas och kan således kopplas till G 2 (s), Stegsvar D är mycket snabbare än alla andra och den långsamma polen s = 1 är kancellerad hos G 4 (s). Då gäller G 1 (s) A; G 2 (s) B; G 3 (s) C; G 4 (s) D. (b) För reella poler är dämpningen lika med ett (full dämpning) och den dominerande ligger närmast till origo. För komplexa poler, jämför med standardformen, s 2 +2ξω 0 s+ω 2 0, där ω 0 är avstånd till origo och ξ är relativa dämpningen. D 1 (s) : reella poler s 1 = 1, s 2 = 4; D 2 (s) : ξ = 0.5, ω 0 = 1, D 3 (s) : ξ = 0.1, ω 0 = 4. Kortast T r ges av (dominerande) polerna längst från origo, d.v.s. D 3 (s). Det har också minst ξ och därefter störst M. 2