Lösningsförslag till tentamen i Reglerteknik Y/D (TSRT12)

Transkript

1 Lösningsförslag till tentamen i Reglerteknik Y/D (TSRT) (a) Nolställen: - (roten till (s + ) 0 ) Poler: -, -3 (rötterna till (s + )(s + 3) 0) Eftersom alla poler har strikt negativ realdel är systemet stabilt. (b) i. Nej. Ansätt F (s) K I /s och ta fram G c (s) + KI s s + K I s s K I s(s )+K I. Det karakteristiska polynomet tar formen s s + K I och ger poler till det slutna systemet i s ± K I. Åtminstone en av dessa poler kommer alltid ligga i höger halvplan oavsett K I. Systemet kan därmed inte stabiliseras av en I-regulator. ii. Ja. Med ansatsen F (s) K P, fås G c (s) + K P s +K P s K P s +K P. Det slutna systemet har således polen s K P. K P > ger därför ett stabilt slutet system eftersom polen då ligger i vänster halvplan. (c) Fördelar: Eftersom D-delen bestäms av felets derivata så kan man ta hänsyn till förändringar i felet innan det det slagit igenom. Därigenom får vi mindre oscilationer. (d) Nackdelar: Regulatorn blir extra känslig för mätbrus, eftersom detta mätbrus deriveras av D-delen. i. En ökning av snabbheten med en faktor två och bibehållen översläng ger dubblerad skärfrekvens och bibehållen fasmarginal w c,d w c, φ m,d φ m ii. En minskning av överslängen och bibehållen snabbhet ger bibehållen skärfrekvens och ökad fasmarginal w cd w c, φ m,d > φ m. (a) G 4 - A- IV: Alla överföringsfunktioner har statisk förstärkning utom G 4 som har statisk förstärkning. Eftersom alla bodediagram har samma statiska förstärkning förutom Bodediagram A, kan vi konstatera att detta bodediagram tillhör G 4. Vidare, eftersom alla stegsvar har samma slutvärde förutom Stegsvar IV som har dubbelt så stort slutvärde, hör G 4 till detta stegsvar. G - C - II: Överföringsfunktionerna G och G 3 har två reella poler och inga nollställen. Det ger ett monotont avtagende bodediagram samt ett monotont växande stegsvar. Följaktligen måste resonanstoppen i bodediagram C och överslängen i Stegsvar II komma från G. (Resonanstoppen i Bodediagram C uppstår pga att nollstället i G har lägre frekvens än polerna. Då kommer nollstället att bryta upp amplitudkurvan innan polerna bryter ner den. Denna resonanstop ger i sin tur upphov till en översläng i stegsvaret.) G - B - I, G 3 - D - III: Den dominerande polen för G ligger i s 5 som är snabbare än den dominerande polen för G 3 som ligger i s. Eftersom bandbredden i Bodediagram B är högre än bandbredden i Bodediagram D och eftersom Stegsvar I är snabbare än Stegsvar III fås G - B - I och G 3 - D - III. (b) i. Ett icke-minfassystem har ett eller flera nollställen i högra halvplanet. ii. Det slutna systemet ges av G c (s) + K(s + )(s ) (s + )(s + 3)(s + 4) + K(s + )(s )

2 Vi får då P (s) (s + )(s + 3)(s + 4), n 3 Q(s) (s + )(s ), m Startpunkter: P (s) 0 s, s 3, s 4 Slutpunkter: Q(s) 0 s, s Asymptoter: - Antal: n m - Riktningar: π, dvs negativa reella exeln Delar av reella axeln som tillhör rotorten: (, -4], [-3, -) och [-, ). Sålunda kommer roten som börjar i -4 att gå mot oändligheten, roten som börjar i -3 att gå mot - och roten som börjar i - att gå mot, alla tre längs reella axeln. Det ger en rotort enligt Figur Root Locus 3 Imaginary Axis Real Axis Figur : Rotort för systemet i uppgift b) Den långsamma polen som startar i s kommer för ökande K att vandra längs reella axeln mot vänstra halvplanet och kommer därmed att passera den imaginära axeln via origo. När detta sker fås genom insättning av s 0 i P (s) + KQ(s) 0, vilket ger P (0) + KQ(0) 0 K 6 Sålunda är systemet stabilt för K < (a) Känslighetsfunktionen S(s) är överföringsfunktionen från v till y. Vi kan nu använda oss av att det faktum att för ett stabilt linjärt system så får vi för en sinus-signal in, en sinus-signal ut, när transienterna har dött ut. Utsignalen kommer att ha följande utseende y(t) S(iω 0 ) sin(ω 0 t + arg S(ωi)) när v(t) sin(ω 0 t) Här analyserar vi en störning med frekvens ω 0 [rad/s]. Ur bodediagrammet för S(s) kan vi avläsa och därmed S(i ) 5 db 0 (5/0).7 arg S( i) 40 y(t).7 sin(t + 40 )

3 (b) Överföringsfunktionen från n till y ges den komplementära känslighetsfunktionen T (s) + G c(s). Förstärkningen av mätbruset kan därför bestämmas ur bodediagrammet för det slutna systemet G c. Därur kan vi avläsa att mätbruset dämpas G c (iw) < för frekvenser w >. [rad/s] och att det förstärks G c (iw) > för frekvenser w <. [rad/s] (och då speciellt kring det slutna systemets resonansfrekvens w 0.8 [rad/s]). (c) Vid den önskade skärfrekvensen ω c,d [rad/s] är fasen ungefär arg G(iω c,d ) 75. Vi har alltså bara 5 fasmarginal och måste öka φ max (45 5 )+6 46 för att uppnå 45. De extra 6 är för att kompensera för den maximala fasförlusten som lag-länken kan orsaka vid skärfrekvensen. I figur 5.3 på sidan 06 i läroboken ser vi att β 0.5 borde räcka för att klara kravet på fasmarginal. För att placera maximala fasökningen vid den önskade skärfrekvensen väljer vi τ D ω c,d β.3. För att w c,d rad/s verkligen ska vara en skärfrekvens måste följande gälla K F lead (iω c,d ) G(iω c,d) }{{}}{{} 0.8 β K β G(iω c,d ). där G(iω c,d ) 5 db 0 5/0 0.8 kan avläsas ur bodediagrammet för G. Överföringsfunktionen från referenssignalen till reglerfelet är E(s) + R(s) För låga frekvenser är arg G(iω) 90 och G(iω) avtar med 0 db/dekad. För låga frekvenser beter sig alltså systemet som en integrator G(s) C/s Då en ramp har laplacetransformen R(s) /s får vi från slutvärdesteoremet lim e(t) lim se(s) lim s t s 0 s 0 + s K γ lim sg(s) s 0 }{{} C γ K C 0 vilket ger γ 0. För att lag-länken inte ska försämra fasmarginalen alltför mycket väljs enligt tumregeln τ I 0/w c,d 5.0. Totalt får vi alltså F (s) K (τ Ds + )(τ I s + ) (βτ D s + )(τ I s + γ) med parametrarna valda enligt ovan. 4. (a) Med de givna tillståndsvariablerna fås ẋ θ x och ẋ θ a J x + J u där kraften u F är insiganl. Tillsammans med mätningen y θ x ger detta tillståndsformen ( ) ( ) 0 0 ẋ 0 a x + u J J y ( 0 ) x. 3

4 (b) Tillståndsåterkopplingen u Lx + r ger att det återkopplade systemet får den karakteristiska ekvationen det(λi (A BL)) 0 λ + ( + l )λ + l 0 Polplacering i motsvarar den önskade ekvationen (λ+) λ +4λ+4 0. Jämförelse ger l 4 och l 3 och tillståndsåterkopplingen blir u 4x 3x + r. (c) Observatörens poler kan placeras godtyckligt endast om systemet är observerbart. Systemet är observerbart ( ) om observerbarhetsmatrisen O har full rang C (det O 0), där O. Om vi mäter kursvinkeln θ blir C ( 0 ) CA ( ) 0 och vi får det O det 0, dvs observerbart. Om vi mäter vinkelhastigheten ω blir C ( 0 ) ( ) 0 0 och vi får det O det 0, dvs 0 ej observerbart. Sålunda kan vi placera observatörens poler godtyckligt om vi väljer att mäta kursvinkeln θ men inte om vi väljer att mäta vinkelhastigheten ω, ty då är systemet ej observerbart. Observatörens poler avgör hur snabbt rekonstruktionsfelen avtar. Om observatörens poler vore långsammare än det slutna systemets poler skulle regulatorn få förlita sig på alltför gamla skattningar. Sålunda bör observatörens poler vara snabbare än det återkopplade systemets poler. Vi bör dock inte göra observatörens poler allför snabba, eftersom den då blir känsligare för mätfel. Något snabbare poler än återkopplingen är en bra kompromiss. Eftersom det återkopplade systemet har sina båda poler i - är det rimligt att lägga observatörens båda poler i -3. (d) Om vi är intresserade av att använda en liten styrsignal u(t) till priset av längre insvängningstid för x(t) ska u(t) -termen i integralen straffas mycket hårdare än x(t) termen. Detta åstadkommes med ett litet Q. Om vi vill använda så liten styrsignal som möjligt ska vi sålunda välja Q 0. Då blir kriteriet J 0 u(t) dt vilket har sitt minimum då u(t) 0. Detta är en stabiliserande återkoppling eftersom systemets systemmatris A har sitt egenvärde i höger halvplan. Lösningen blir alltså att inte använda någon kraft alls, utan låta det stabila systemet svänga in sig självt mot referenssignalen (a) Laplacetransformering ger Js θ(s) F (s) asθ(s) θ(s) F (s) s(js + a) }{{} G(s) där systemets överföringsfunktion blir G(s) s(js+a) (b) Systemet beskrivs av modellen G(s) medan det verkliga systemet ges av G 0 (s) s( Js + a) s(( J + δ)s + a) 4

5 Det relativa modellfelet G (s) ges då av G 0 (s) G(s)( + G (s)) G (s) G0 (s) G(s) G(s) (c) Vi har F (s) 4 ges då av T (s) δs (J + δ)s + a och G(s). Den komplimentära känslighetsfunktionen s +s + /4 s + s + /4 /4 (s + /) Vi konstaterar att F (s) stabiliserar G(s) ty det slutna systemet G c (s) T (s) har poler endast i vänstra halvplanet. Vidare har G(s) och G 0 (s) samma antal poler i höger halvplan (origo inräknat) då δ > 0, nämligen varsin. Slutligen går både och F (s)g 0 (s) mot noll då s går mot oändligheten ty G(s) och G 0 (s) har fler poler än nollställen. Vi kan då använda robusthetskriteriet för att visa att det återkopplade systemet är robust mot alla δ > 0, dvs att det återkopplade systemet är stabilt för alla val av δ > 0 i G 0 (s). Kravet blir då där T (iw) < G (iw) w + δ)s + ( G (s) δs Eftersom T (s) endast har reella poler och inga nollställen kommer amplitudkurvan T (iw) vara monotont avtagande för ökande w. Även / G (iw) kommer att avta monotont för ökande w eftersom den har lutning - för låga frekvenser som bryts upp mot lutning 0 efter dess reella nollställe. Det ger en skiss av T (iw) och / G (iw) enligt Figur. Bode Diagram / G (s) Magnitude (abs) (d+)/d T(s) Frequency (rad/sec) Figur : Skiss av bodediagram för T (s) och / G (s) i uppgift 5b Från skissen inser vi att det maximala värdet för T (iw) ges av lim w 0 T (iw) och det minimala värdet för G (iw) ges av lim w G (iw). Eftersom T (iw) lim w 0 T (iw) lim G (iw) > lim w (iw + /) + δ)iw + ( δiw + δ δ w 0 /4 G (iw) lim w är robusthetskriteriet uppfyllt, ty < +δ δ δ > 0. 5