Nyquistkriteriet, kretsformning

Transkript

1 Sammanfattning från föreläsning 5 2 Reglerteknik I: Föreläsning 6 Nyquistkriteriet, kretsformning Fredrik Lindsten fredrik.lindsten@it.uu.se Kontor 2236, ITC Hus 2, Systemteknik Institutionen för informationsteknologi sinus in sinus ut (förutsätter att G(s) alla poler har realdel < ) efter transienter kallas frekvensfunktion (frekvenssvar) Ett Bodediagram består av två figurer som var för sig visar amplitudkurvan och faskurvan som funktion av 1. Amplitudkurva (beloppskurva) log-log-skala (ofta i db). 2. Faskurva (argumentkurva), lin-log-skala. Sammanfattning från föreläsning 5, forts. 3 Sammanfattning från föreläsning 5, forts. 4 Varför är Bodediagram bra? u G 1 (s) G 2 (s) y Återkopplat system: + = Slutna systemet G c (s) och känslighetsfunktionen S(s) kan båda uttryckas enbart i termer av öppna systemet (kretsförstärkningen) G o (s) = F(s)G(s) 1. Seriekoppling av system blir enkelt (addera kurvorna). 2. Potenser av s blir räta linjer. Stabiliteten för det slutna systemet, G c (s), kan utläsas ur ett Bodediagram för det öppna systemet, G o (s)!

2 Innehåll föreläsning 6 5 Ett tankeexperiment (I/II) 6 A 1. Formalisering av stabilitet och Bodediagram 2. Nyquistkriteriet 3. Specifikationer i frekvensplanet Låt G o (s)=f(s)g(s) vara öppna systemet och antag att är en frekvens sådan att B G o (s) -1 y(t) 4. Samband mellan Bodediagram och stegsvar 5. Regulatorsyntes med Bodediagram (kretsformning) Omkopplaren i läge A, stationärt tillstånd: sin in sin ut ger Ett tankeexperiment (II/II) 7 Stabilitet och Bodediagram A I punkten B är signalen G o (s) y(t) Självsvängning (stabilitetsgräns): B -1 Momentan förändring från A till B leder till: Fall 1: = 1, systemet självsvänger med konstant amplitud 1 Fall 2: > 1, amplituden ökar (G c (s) är instabilt) Fall 3: < 1, amplituden minskar och svängningen dör ut (G c (s) är stabilt) Stabil Instabil

3 Fas (grader) Fas (grader) Imaginärdel Amplitud (db) Amplitud (db) Imaginärdel Några användbara begrepp 9 Exempel på stabilitet via Bodediagram/Nyquist 1 På föreläsning 4 ritade vi en rotort för det slutna systemet och konstaterade att det är stabilt för < K < 7. 1 Rotort 8 Def. (fas-skärfrekvens ) Def. (Amplitudmarginal ) Def. (skärfrekvens ) Def. (fasmarginal ) Realdel Exempel på stabilitet via Bodediagram/Nyquist 11 Varför bry sig om Nyquistkriteriet? Bodediagram samt Nyquistkurva för kretsförstärkningen G o iω bekräftar att slutna systemet G c (s) är stabilt för K < 7. Bodediagram K=5 K=7 K= K=5 K=7 K=1 Nyquistkurva Nyquistkriteriet kan generaliseras till fall då amplitud- och fasmarginal inte är väldefinierade. ex) låt kretsförstärkningen i ett återkopplat system ges av Bodediagram Realdel Figuren till höger visar ett Bodediagram för ??

4 Imaginärdel Varför bry sig om Nyquistkriteriet? 13 Nyquistkriteriet (förenkling av Resultat 3.3): Om kretsförstärkningen har alla poler i VHP, utom möjligen upp till två poler i origo, så är det slutna systemet stabilt om och endast om Nyquistkurvan inte omsluter punkten -1 (medurs). Stabilitet för det slutna systemet 14 Våra hjälpmedel för att analysera stabilitet hos det slutna systemet så här långt: ex, forts) Från Nyquistkurvan framgår det att det slutna systemet är stabilt då punkten -1 inte omsluts av Nyquistkurva Slutna systemets poler ligger alla i VHP (negativ realdel) Rotort (polernas beteende m.a.p. någon parameter) Bodediagram för det öppna systemet (amplitud- och fasmarginal) Nyquistkriteriet Realdel Exempel från forskning inom systembiologi 15 Exempel från forskning inom systembiologi 16 sin in sin ut Stegsvar We used linear-systems theory to develop a predictive model for the response to arbitrary osmotic signals u(t). Bodediagram Tillståndsform (introduceras på föreläsning 8) Blockdiagram De gör alltså exakt den typ av frekvensanalys som vi pratade om på förra föreläsningen i samband med ögon-dynamiken, d.v.s 1. Skicka in sinusar med olika frekvenser (en åt gången). 2. Notera svaret och använd sin in sin ut. 3. Plotta resultatet i ett Bodediagram.

5 Specifikationer för slutna systemet 17 Samband mellan Bodediagram och stegsvar 18 (d.v.s. en brytpunkt i =a) Resonanstopp Idealt vill vi ha detta slutna system. Approximativt samband: Resonansfrekvens I verkligheten får vi detta slutna system. Approximativt samband: Bandbredd PID regulator 19 Ex. P-regulator 2 Proprop. Integrerande Deriverande Rodervinkel u Flygplan Rollvinkel y e(t) = r(t) y(t) är reglerfelet. Laplacetransform för PID regulatorn Vill ha ett snabbare system, d.v.s. öka En ren förstärkningsökning ger en ökad bandbredd (snabbare system), men fasmarginalen minskar (ökad översläng, högre resonanstopp).

6 Bodediagram för flygplan 21 Några begrepp som får summera föreläsning 6 24 Rodervinkel u Flygplan Rollvinkel y Kretsförstärkning: Annat namn för det öppna systemet (F(s)G(s)). Skärfrekvens: Fasmarginal: Amplitudmarginal: Fas-skärfrekvens: Bandbredd: Anger det -värde för vilket förstärkningen sjunkit under 3dB. Resonanstopp: En förstärkningstopp i närheten av en viss frekvens. Resonansfrekvens: Den frekvens kring vilken det finns en resonanstopp.