Frekvensbeskrivning, Bodediagram

Transkript

1 Innehåll föreläsning 5 Reglerteknik, föreläsning 5 Frekvensbeskrivning, Bodediagram Fredrik Lindsten fredrik.lindsten@liu.se Kontor 2A:521, Hus B, Reglerteknik Institutionen för systemteknik (ISY) 1. Sammanfattning av föreläsning 4 2. Frekvensbeskrivning, forts. Sinus in sinus ut Frekvensfunktionen 3. Bodediagram 4. Stabilitet och bodediagram Sammanfattning från föreläsning 4, forts. En plott som visar polernas lägen som funktion av en parameter kallas rotort. En rotort är alltså ett systematiskt sätt att studera hur ett systems kvalitativa egenskaper varierar med en viss parameter. Mer specifikt är det rötterna till polpolynomet Sammanfattning från föreläsning 4, forts. Att skissa en rotort för hand Skriv polpolynomet på formen Startpunkter: ges av lösningarna till stycken. Ändpunkter: ges av lösningarna till stycken. Asymptoter: stycken. Riktningar: Skärning med Re-axeln: som studeras som funktion av parametern K. Delar av Re-axeln: De delar av reella axeln som har ett udda antal reella start- och ändpunkter till höger om sig tillhör rotorten. Skärning med Im-axeln: Sätt och lös

2 Frekvensbeskrivning: Från förra föreläsningen Exempel, sinus in sinus ut u G(s) y Studera y(t) då transienterna (homogena lösningen) har dött ut (svarar mot att anta att u(t) har legat på sedan ). sinus in sinus ut Det komplexa talet beskriver entydigt systemets svar när insignalen är är en komplexvärd funktion i en variabel. Den kallas frekvensfunktion. Statisk förstärkning förstärkningen av en konstant insignal, dvs. med frekvens 0. Sinusar kan approximera mycket Frekvensanalys av ögondynamik Vi kan approximera många signaler som inte ser ut som sinusar med sinusar. Ex. fyrkantspuls, N anger hur många sinusar som används. Ögat har en reglermekanism som ser till att lagom ljusmängd kommer till näthinnan genom att pupillens storlek anpassas till det infallande ljuset.

3 Grafisk framställning av frekvensfunktionen Frekvensfunktionen kan skrivas Bodediagram består av: Amplitudkurva Faskurva Hendrik W. Bode ( ) Bodediagrammets upphovsman 1905 född i Wisconsin, USA 1926 Bell Labs Jobbade t ex med filter och utjämnare Sen mer med teoretiska aspekter (Math Research Department) relaterat till bl a långdistanstelefoni PhD 1935 Columbia University, NYC 1938 belopps- och faskurva för stabilitet WW II : var med och utvecklade elektriska styrsystem för avfyring. Senare också inom missilsystem. Varför är bodediagram bra? Första ordningens system U(s) G 1 (s) G 2 (s) Y(s) + = Brytpunkt 20dB 10 rad/s Sätt in några värden och interpolera Lutningen ges i db-skalan av 20 db per 10 rad/s, eller 20 db per dekad. Dekad = 10-potens 1. Seriekoppling av system blir enkelt (addera kurvorna). 2. Potenser av s blir räta linjer.

4 Första ordningens system Andra ordningens system Bodediagram för Brytpunkt Amplitudkurva (beloppskurva) log-log-skala (ofta i db). Faskurva (argumentkurva) lin-log-skala. Den asymptotiska approximationen är dålig nära resonanstoppen. Jämför med stegsvaren för dessa system! Resonanstopp Bodediagram för allmänna system Exempel, två reella poler Allmän rationell överföringsfunktion: [0] [-1] Amplitudkurva: Brytpunkter [-2] Statisk förstärkning: Faskurva: Brytpunkt i täljaren Asymp. Ampl. kurvans lutning ökar med 1. Brytpunkt i nämnaren Asymp. Ampl. kurvans lutning minskar med 1. Asymptotiska bodediagram ger en oftast bra approximation av den exakta kurvan, undantag är frekvensområden där flera närliggande brytpunkter bryter åt samma håll och nära en resonanstopp.

5 Bodediagram för ögondynamik Stabilitet och Bodediagram Genom att utföra en rad sinus in sinus ut experiment kan vi skissa upp ett bodediagram för ögondynamiken. Vi har experimentellt tagit reda på systemets dynamik genom att göra mätningar på systemet. Självsvängning (stabilitetsgräns): Stabil Instabil Några begrepp som får summera föreläsning 5 Bodediagram: Figurer som var för sig visar amplitudkurvan och faskurvan som funktion av 1. - Amplitudkurva (beloppskurva), log-log-skala (ofta i db) Faskurva (argumentkurva), lin-log-skala. Brytpunkt: Den frekvens där 2 asymptoter skär varandra i ett bodediagram.