Reglerteknik AK, Period 2, 2013 Föreläsning 12. Jonas Mårtensson, kursansvarig

Transkript

1 Reglerteknik AK, Period 2, 213 Föreläsning 12 Jonas Mårtensson, kursansvarig

2 Sammanfattning Systembeskrivning Reglerproblemet Modellering Specifikationer Analysverktyg Reglerstrukturer Syntesmetoder Implementering

3 Systemet Ett fysikaliskt system som behöver styras

4 Reglerproblemet Stabilitet, robusthet Följ en referens Minska inverkan av störningar Ändra systemegenskaper med återkoppling

5 Modellering Signaler y = vad vi vill styra u = vad vi kan styra med v = störningar z = mätsignaler n = mätstörning

6 Modellering Differentialekvationer insignal/utsignal x = f x, u y = g(x, u) lllllllllllll x = AA + BB y = CC + DD y + a 1 y + a 2 y + a 3 y = b 1 u + b 2 u + b 3 u LLLLLLL Y s = G s U(s) G s = C ss A 1 B + D, G s = b 1s 2 + b 2 s + b 3 s 3 + a 1 s 2 + a 2 s + a 3

7 Frekvenstolkning u t = sin(ωω) y t = G ii sin (ωω + arg G(ii)) 5 Bode Bode Diagram Nyquist Nyquist Diagram Magnitude (db) Imaginary Axis Phase (deg) Frequency (rad/s) Real Axis

8 Poler - stabilitet Poler till G(s) är samma som egenvärden till A i x = AA + BB Amplitude Amplitude Amplitude Step Response Time (seconds) Step Response Time (seconds) Step Response 5 5 Time (seconds) Imaginary Axis (seconds -1 Imaginary ) Axis (seconds -1 Imaginary ) Axis (seconds -1 ) 1 Pole-Zero Map Amplitude Real Axis (seconds -1 ) Pole-Zero Map 1 Amplitude Real Axis (seconds -1 ) Pole-Zero Map 1 Amplitude Real Axis (seconds -1 ) Step Response Time (seconds) Step Response Time (seconds) Step Response Time (seconds) Imaginary Axis (seconds -1 Imaginary ) Axis (seconds -1 Imaginary ) Axis (seconds -1 ) 5 Pole-Zero Map Real Axis (seconds -1 ) Pole-Zero Map Real Axis (seconds -1 ) Pole-Zero Map Real Axis (seconds -1 )

9 Rotort Poler som funktion av parameter K r(t) Σ K G(s) y(t) 1 G s = Q(s) P(s) G cc (s) = KK(s) P(s) + KK(s)

10 Rotort, G s = s s+2 K(s+4) s+1 +K(s+4) Root Locus 1 5 Imaginary Axis (seconds -1 ) Real Axis (seconds -1 )

11 Nyquistkriteriet N P = 1 2π vvv arg γ(1 + G o ) Antal poler i HHP för G cc antal poler i HHP för G o = antal varv som kurvan cirklar kring punkten 1 G = s + 4 s(s + 1)(s + 2) G o G o stabil, inga omcirklingar G cc stabil

12 Förenklat Nyquistkriterium Antag G o stabil. Då är G cc stabil om punkten 1 ligger till vänster om Nyquistkurvan G ii, ω,. G = 2( s+4) s(s+1)(s+2) G =.5( s+4) s(s+1)(s+2) Instabil Stabil

13 Stabilitetsmarginaler Skärfrekvens ω c : G iω c = 1 Fasmarginal φ m : arg G iω c + 18 o Amplitudmarginal A m = 1/ G iω p Nyquist Diagram Bode Diagram 1.5 Magnitude (db) Imaginary Axis Phase (deg) Real Axis Frequency (rad/s)

14 Specifikationer i tidsplanet r(t) e(t) Σ F(s) G(s) y(t) 1 Steg i referenssignalen, r t = Step Response Stigtid T r Översläng M Stationärt fel e o Amplitude Time (seconds)

15 Specifikationer i frekvensplanet Överföringsfunktion från r y Bode Diagram 2 Önskemål: G c ii = 1, ω Statiskt fel: e o = 1 G c Resonanstopp: M p Bandbredd: ω B Magnitude (db) Frequency (rad/s)

16 Översättning till krav på GG Skärfrekvens: ω c ω B Fasmarginal: M p 1 φ m Statisk förstärkning G c 1 G o Magnitude (db) 5-5 Bode Diagram System: G Frequency (rad/s):.778 Magnitude (db): Phase (deg) Frequency (rad/s)

17 Specifikationer Stigtid bandbredd skärfrekvens Översläng resonanstopp fasmarginal Statiskt fel statisk förstärkning=1 statisk förstärkning=

18 Robusthetskriteriet Verkliga system är komplicerade Relativt modellfel ΔG G o = G (1 + ΔG) F stabiliserar G o om Δ G ii < 1 T ii ω r(t) e(t) Σ F(s) G(s) y(t) 1

19 Specifikationer r F r Σ G v Σ y F y Σ n Slutna systemet r y: G c = GF r 1+GF y Känslighetsfunktionen v y: S = 1 1+GF y Kompl. känslighetsf. n y: T = GF y 1+GF y

20 Prestandabegränsningar 5 S s + T s = 1 Bode Diagram 5 log S ii dd = Bode Diagram -5 Magnitude (db) Magnitude (db) Frequency (rad/s) Frequency (rad/s)

21 Reglerdesign r(t) e(t) Σ F(s) G(s) y(t) 1 PID-regulator (ideal) Lead/lag F s = K P + K I s + K Ds F s = K τ Ds + 1 τ I s + 1 ββ D s + 1 τ I s + γ 1. Bestäm önskad skärfrekvens ω c, justeras med K 2. Kontrollera fasmarginal vid ω c, inför lead-länk vid behov 3. Insvängning och stationärt fel, inför lag-länk för att öka lågfrekvensförstärkningen 4. Iterera 1-3 vid behov, ibland krävs flera lead/lag-länkar

22 PD/lead PI/lag 6 Bode Diagram 6 Bode Diagram Magnitude (db) τ D s + 1 ββ D s + 1 Magnitude (db) välj γ τ I s + 1 τ I s + γ 1 1 justera τ I 9 Phase (deg) 45 välj β Phase (deg) Frequency (rad/s) justera τ D Frequency (rad/s)

23 Tillståndsåterkoppling Polplacering Observatör Återkoppling x = AA + BB y = CC u = LL + l r x = A BB x + Bl o r det ss A BB = x = Ax + BB + K y Cx det ss A KK = u = L x + l r

24 Tillståndsteori Styrbarhet och observerbarhet - polplacering Separationsprincip för återkoppling och observatör Observatör påverkar inte G c (dock transient) Observatör påverkar S och T Lösning till tillståndsekvationer x t = e AA x + e A t τ BB τ dd t e AA = L 1 { ss A 1 }

25 Framkoppling och återkoppling F f (s) Σ H(s) v(t) r(t) e(t) Σ F(s) Σ G(s) Σ y(t) 1 Reglerfelet E = 1 GF f SS 1 GG SS Välj F f 1/G och H 1/G G går inte alltid att invertera, invertera det som går

26 Kaskadreglering Inre loop snabbare ( 1) Exemplevis aktuatordynamik r(t) Σ F 1 Σ F 2 G 2 G 1 y(t) 1 1

27 Direkt syntes / IMC (Internal Model Control) r(t) Σ G c G G y(t) G Σ 1 G c = önskat slutet system, tex 1/(λλ + 1) Om G = G => ingen återkoppling (om ingen störning) F = 1 G 1 G c Invertera det som går av G G c måste innehålla icke inverterbar del av G G c

28 Implementering Samplat system, fasförsämring e ss Sampla 2 ggr snabbare än bandbredden Derivataapproximation x t 1 (x t x t T ) T 1 q 1 Operatorer p 2 T 1+q 1 (Tustin) Nyquistfrekvens ω s /2 Förfilter innan sampling