Övning 3. Introduktion. Repetition

Transkript

1 Övning 3 Introduktion Varmt välkomna till tredje övningen i Reglerteknik AK! Håkan Terelius hakante@kth.se Nästa gång är det datorövning. Kontrollera att ni kan komma in i XQ-salarna. Endast en kort genomgång, sedan hjälper vi till och svarar på frågor då ni arbetar på med övningarna. Repetition Återkopplade system Y ref (s) + E(s) U(s) Y (s) F (s) G(s) Figure : Återkopplat system Öppna systemet G O (s) = G(s)F (s) Slutna systemet G C (s) = G(s)F (s) + G(s)F (s) = G O(s) + G O (s) PID-regulatorn u(t) =K P e(t) + K I t U(s) =F (s)e(s) F (s) =K P + K I s + K Ds e(τ)dτ + K D de(t) dt

2 Teori Relativ dämpning Betrakta ett andra ordningens system utan nollställen, överföringsfunktionen kan då skrivas G(s) = b s + as + b Systemet är stabilt om a, b >. Vi gör variablebytet ω = b och ζ = ω G(s) = s + ζω s + ω a b Systemets poler där nämnaren till G(s) är. s = ω ζ ± ω ζ Om ζ < så har G(s) komplexa poler, s = ω ζ ± iω ζ ω är avståndet från polerna till origo. s = (ω ζ) + (ω ζ ) = ω = ω ω är en tidsskalning av systemet. Större ω, större avstånd till polerna, snabbare system. ζ kallas för relativ dämpning. Från figur fås att cos(φ) = närliggande hypotenusan = ωζ ω = ζ. ζ = cos(φ) ger stegsvarets kvalitativa dämpning. Större ζ, mindre φ, mindre Im-del Re-del, bättre dämpat. Rotort Som vi tidigare sett är polernas placering avgörande för systemets egenskaper. Rotorten är ett sätt att visa polernas lägen som funktion av en parameter (K). Normalt tittar vi på det slutna systemet G C (s).. Bestäm G C (s). Identifiera nämnaren till G C (s) på formen P (s) + KQ(s). Poler där P (s) + KQ(s) =. Graden n på P (s) ska vara större eller lika med graden m på Q(s).

3 Im ω φ Re Figure : Relativ dämpning 3. Hitta startpunkter Det finns n startpunkter 4. Hitta slutpunkter Det finns m slutpunkter. 5. Bestäm antalet asymptoter K = P (s) = K Q(s) #asymptoter = n m 6. Bestäm asymptoternas skärningspunkt med reella axeln Skärningspunkten = ( ) startpunkter ändpunkter n m 7. Bestäm riktningarna på asymptoter Riktningar = π n m + k π, k =,,,..., (n m ) n m 8. Bestäm eventuella skärningspunkter med imaginär-axeln Sätt s = iω i P (s) + KQ(s) =, och lös ekvationen för reella värden på ω och K. 9. Bestäm de delar av reella-axeln som tillhör rotorten De delar av reella-axeln som har ett udda antal start och ändpunkter till höger tillhör rotorten.. Rita rotorten! 3

4 Problem a) Proportionell regulator F (s) = K P : Y (s) = K P + 5s 5s R(s) + s + K P 5s V (s) + s + K P Polerna ges av nollställenda till nämnaren: 5s + s + K P =. Alltså där s =. ±..4K P För K P =. polerna är.55 och.45. Realla negativa poler: stabilt, inga oscillationer. För K P = polerna är. ± i.64. Negativ realdel, men stor imaginär del: Stabilt, men stora oscillationer. 3.3 b) Titta på polerna, systemet är stabilt för K P >. Använd slutvärdessatsen lim y(t) = lim sy (s) t s R(s) = 5 s, V (s) = s så lim y(t) = lim t s 5 K P + 5s 5s + s + K P 5s = 5 + s + K P K P Systemet kommer inte gå till referensvärdet, men närmar sig då K P blir större. Men som vi såg i uppgift 3.3a) så blir systemet också mer svängigt. 3.3 c) Med en PI-regulator F (s) = K P + K I s fås Y (s) = (K P s + K I ) s( + 5s) 5s 3 + s R(s) + K P s + K I 5s 3 + s V (s) + K P s + K I Antar att systemet är stabilt för valda K P, K I, så vi kan använda slutvärdessatsen: lim y(t) = lim 5 (K P s + K I ) s( + 5s) t s 5s 3 + s + K P s + K I 5s 3 + s = 5 + K P s + K I Så vi får inget statiskt fel (om systemet är stabilt). 4

5 3.3 d) Med en PD-regulator F (s) = K P K D s fås Y (s) = K P + K D s 5s + s + K P + K D s R(s) + 5s 5s + s + K P + K D s V (s) Polerna ges av nollställena till nämnaren. Med K P = fås karakteristisk ekvation 5s + ( + K D )s + =. Dämpningskoefficienten hittar vi i den generella karakteristiska ekvationen s + ζω s + ω = vilket ger oss ζ =.+.4K D. Villkoret ζ >.4 innebär att K D >.74. Dvs genom att lägga till en deriverande del kan vi förbättra dämpningen, och därigenom minska överslängen. Problem G O (s) Figure 3: Slutet system 3.6 a) G O (s) = K(s + ) s(s + )(s + 3). Bestäm G C (s) = G O(s) +G O (s) = K(s+) s(s+)(s+3)+k(s+). Identifiera nämnaren som P (s) + KQ(s), P (s) = s(s + )(s + 3), n = 3 Q(s) = s +, m = Kontroll n m 3. Startpunkter då K =, P (s) =. s =, s =, s = 3 4. Ändpunkter då K, Q(s) = s = 5

6 5. Antalet asymptoter = n m = 6. Skärningspunkt n m ( startpunkter ändpunkter) = ( 4 ( )) = π 7. Riktningar på asymptoter n m + k π n m = π + kπ. π och 3π. 8. Skärning med imaginära axeln P (iω) + KQ(iω) = Både Im-del och Re-del måste vara : Endast uppfyllt av K = ( 4ω + K ) + i ( ω 3 + (3 + K)ω ) = ω = ± K/ och ω = { w =, w = ± 3 + K 9. Bestäm de delar av reella axeln som tillhör rotorten. Start/ändpunkter i -3, -, -,. Alltså tillhör [ 3, ] och [, ] rotorten.. Rita rotort Alla poler är strikt i VHP för K >, och alltså stabilt. För små K är alla poler reella, och alltså fås inga svängningar Ökande K ger längre avstånd till origo, och alltså ett snabbare system Då K ökar börjar systemet tillslut att svänga. Problem abc). Bestäm G C (s) generellt (för alla α, K). Följ blockdiagrammet: Så G C (s) = Θ(s) = G C (s)θ ref (s) Θ(s) = Θ(s) s Θ(s) = K k ( Θref (s) Θ(s) α + sτ Θ(s) ) sθ(s) = K k + sτ (Θ ref(s) Θ(s) αsθ(s)) ( s + K k ) ( + αs) Θ(s) = K k + sτ + sτ Θ ref(s) Θ(s) = Kk s(+sτ)+kk(+αs). Kk s( + sτ) + Kk( + αs) Θ ref(s) 6

7 Root Locus Imaginary Axis Real Axis Figure 4: Rotort 7

8 Step Response.5 K=.4 K= K= Amplitude Time (sec) Figure 5: Stegsvar 8

9 . Identifiera nämnaren P (s) + KQ(s) P (s) = s( + sτ), Q(s) = k( + αs) 3. Startpunkter där P (s) =. s =, s = τ = 4. Ändpunkter där Q(s) =. s = α om α, annars så saknas ändpunkter. 5. Antalet asymptoter är n m = { om α om α = 6. Asymptoternas skärningspunkt ( ) startpunkter ändpunkter = n m 7. Asymptoternas riktningar 8. Skärning med imaginära axeln Lösning enbart då K = ω = π n m + k π n m = P (iω) + KQ(iω) = { π om α π, 3π om α = (Kk ω τ) + iω( + Kkα) = 9. Bestäm de delar av reella axeln som tillhör rotorten. Rita rotorten { + α om α om α = 3.7 d). Identifiera nämnaren P (s) + αq(s) P (s) = s( + sτ) + Kk =.5s + s +, Q(s) = Kks = s 3. Startpunkter där P (s) =. s = ± i 3 4. Ändpunkter där Q(s) =. s = 5. Antalet asymptoter är n m = 6. Asymptotens skärningspunkt n m ( startpunkter ändpunkter) = π 7. Asymptotens riktning n m + k π n m = π 9

10 8. Skärning med imaginära axeln (.5ω ) + iω( + α) = Ingen skärning! 9. Bestäm de delar av reella axeln som tillhör rotorten. Rita rotorten Stabil för alla K > och alla α. Utan tachometer (a) oscillerar systemet för stora K Större α ger bättre dämpat system. Med tachometern kan vi få ett snabbt och väl dämpat system. Tachometern fungerar som D-delen av en PID-regulator. Root Locus Root Locus.4 Imaginary Axis Imaginary Axis.. 4 Real Axis Real Axis Root Locus Root Locus Imaginary Axis Imaginary Axis 5 5 Real Axis 4 Real Axis Figure 6: Rotort för uppgift 3.7