Laplacetransform, poler och nollställen

Transkript

1 Innehåll föreläsning 2 2 Reglerteknik, föreläsning 2 Laplacetransform, poler och nollställen Fredrik Lindsten fredrik.lindsten@liu.se Kontor 2A:521, Hus B, Reglerteknik Institutionen för systemteknik (ISY) 1. Sammanfattning av föreläsning 1 2. Laplacetransformen 3. Överföringsfunktionen 4. Poler, nollställen 5. Samband mellan stegsvar och poler Sammanfattning från föreläsning 1 3 Sammanfattning från föreläsning 1, forts. 4 Reglerproblemet: v Tre strategier för att lösa reglerproblemet: 1. Öppen styrning 2. Framkoppling från störsignal r Regulator u System (S) y 3. Återkoppling v Givet ett system (S) med en mätsignal y, bestäm dess styrsignal u, så att utsignalen y så nära som möjligt följer referenssignalen r, trots inverkan av störningar v och systemvariationer. r u Regulator System (S) Enklast möjliga regulator Proportionell (P) regulator: y

2 Sammanfattning från föreläsning 1, forts. 5 Laplacetransformens idé 8 Den matematiska beskrivning vi använder för dynamiska system är differentialekvationer. Exempel från föreläsning 1 (temperatur i en kemisk reaktor) Våra matematiska modeller är linjära differentialekvationer Derivering, integrering och lösning av differentialekvationer är viktigt Detta leder dock ofta till komplicerade räkningar i tidsplanet. Repetition från föreläsning 1 Abstrakt idé: Ersätt tidsfunktioner y(t) med en annan funktion Y(s) (s komplext tal), så att derivation, integration och lösning av differentialekvationer blir mycket lättare för Y(s) än y(t). Laplacetransformen gör detta möjligt genom att studera signalerna på ett alternativt sätt. Temperatur Effekt Temperatur i inloppet Transformtabell 9 Laplacetransformen för derivatan 10 Tidsfunktion Laplacetransform Låt då gäller har Laplacetransformen har Laplacetransformen I reglertekniska tillämpningar är oftast noll. (Bilaga A.2 i boken innehåller en transformtabell)

3 Begynnelsevärden och slutvärden 11 Från Y(s) till y(t) 12 Om vi vet att y(t) har ett gränsvärde när kan vi räkna ut detta gränsvärde via slutvärdessatsen: I våra tillämpningar är Y(s) alltid en kvot mellan polynom (rationell funktion), med högst gradtal i nämnaren. Vi kan då skriva Y(s) enligt Omvändningen är begynnelsevärdessatsen: Partialbråksuppdelning Där B(s) är ett polynom och A 1,..., A n konstanter (formeln modifieras något om samma faktor förekommer flera gånger i nämnaren). Vi kan beräkna y(t) enligt transformtabell. Överföringsfunktion 13 Överföringsfunktion, poler och nollställen 14 Laplacetransformen för (antag att systemet är i vila) kallas för systemets överföringsfunktion. Rötterna till ges av kallas för systemets poler. Rötterna till kallas för systemets nollställen. Rötterna till den karakteristiska ekvationen Polerna till G(s)

4 Poler 15 Komplexa exponentialfunktioner 16 De n rötterna till Polerna blir exponenter i tidsfunktionen. Polerna kan vara komplexa, om så blir motsvarande exponentialfunktion, kallas för systemets poler. För en pol gäller Motsvarande tidsfunktion blir (om vi har enkla poler, dvs. är alla olika) I uttrycket förekommer komplexa poler endast som komplexkonjugerade par. Vid additionen tar imaginärdelarna ut varandra, så att y(t) blir reell. Stegsvar 17 Samband mellan polernas läge och stegsvaret 18 steg stegsvar System (S) Stegsvar = Systemets utsignal när vi använder ett steg som insignal. Används p.g.a. Enkel insignal, kan utföra experiment enkelt Ger information om systemet Pol för G 1 : s = -1, Pol för G 2 : s = -10. Ju längre polen är från origo, desto snabbare system. Ingen svängning. Poler för G 1 : s = -1 + i, -1 - i Poler för G 2 : s = i, s = i Ju större vinkeln till negativa reella axeln är, desto svängigare system.

5 Samband mellan polernas läge och stegsvaret Principutseende hos ett stegsvar (I/III) Insignal: steg med amplitud r Poler för G 1 : s = i, s = i Poler för G 2 : s = -0.1, s = i, s = i För system med fler poler är det endast de dominerande polerna som syns. Den dominerande polen är den som ligger närmas origo. Principutseende hos ett stegsvar (II/III) 21 Principutseende hos ett stegsvar (III/III) 22 Stegsvarsspecifikationer Snabbhetsmått: Stigtiden (T r ) är den tid det tar för stegsvaret att gå från 10% till 90% av slutvärdet. Svängighetsmått: Översläng (ges i %) Statisk förstärkning: Systemets förstärkning vid en konstant insignal. Använd ett steg med amplitud A som insignal. När svängningarna dött ut, använd slutvärdesteoremet för att beräkna stegsvarets slutvärde. Mått på båda: Insvängningstiden (T s ) Det minsta t sådant att Systemets statiska förstärkning är G(0). (Frekvenstolkning)

6 Några begrepp som får summera föreläsning 2 23 Laplacetransform: Mycket kraftfullt verktyg för att lösa differentialekvationer. Kan även säga mycket om systemets egenskaper i transformplanet. Stegsvar: Systemets utsignal när insignalen ges av ett steg. Systemets svar på ett steg. Överföringsfunktion: Ett sätt att matematiskt beskriva ett system. Överföringsfunktionen förklarar sambandet mellan insignalens och utsignalens transformer. Poler: Rötterna till överföringsfunktionens nämnare. Innehåller mycket information om systemets egenskaper. Nollställen: Rötterna till överföringsfunktionens täljare.