Formelsamling i Reglerteknik

Transkript

1 Formelsamling i Reglerteknik Laplacetransformation Antag att f : IR IR är en styckvis kontinuerlig funktion. Laplacetransformen av f definieras av Slutvärdesteoremet F(s) = L(f)(s) = 0 e st f(t)dt lim f(t) = lim sf(s) t s 0 under förutsättning att alla poler till sf(s) har negativ realdel (Res < 0). Begynnelsevärdesteoremet lim f(t) = lim sf(s) t 0 s under förutsättning att gränsvärdet i högerledet existerar och är ändligt. Taell över laplacetransformer f(t) L(f) = F(s) Kommentarer δ(t) Impuls ( Diracfunktionen ) θ(t) s Enhetssteg (0 om t < 0 och om t 0) tθ(t) Enhetsramp e at θ(t) te at θ(t) sin t θ(t) cost θ(t) e at sin t θ(t) e at cost θ(t) s s + a (s + a) s + s s + (s + a) + s + a (s + a) +

2 Räkneregler för laplacetransformer f(t) L(f) = F(s) Kommentarer af(t) + g(t) af(s) + ( G(s) ) Linjäritet s f(at) a F Skalning a f(t t 0 )θ(t t 0 ) e t0s F(s) Fördröjning e at f(t) F(s + a) Dämpning tf(t) df ds df sf(s) f(0 ) Derivering t 0 dt d f dt f(τ)dτ s F(s) df dt (0 ) sf(0 ) s F(s) Integrering Stailitetskriterier För att ett linjärt tidsinvariant system med överföringsfunktion G(s) skall vara stailt krävs att samtliga poler till G(s) har negativ realdel (Res < 0). Rouths metod Karakteristisk ekvation Rouths taell: a 0 a a 4... a a 3 a 5... c 0 c c... d 0 d d... a 0 s n + a s n + a s n + + a n s + a n = 0 där c 0 = a a a 0 a 3, c = a a 4 a 0 a 5,... a a osv d 0 = c 0a 3 a c,... c 0 Antalet teckenväxlingar hos talen i den första kolumnen (längs till vänster) är lika med antalet rötter till den karakteristiska ekvationen som har positiv

3 realdel (Res > 0). Systemet är stailt precis då detta antal är 0 (inga teckenväxlingar i första kolumnen) Stailitetsmarginaler Låt L(s) eteckna kretsförstärkningen (loop gain) i systemet. Oservera att detta är den öppna slingans överföringsfunktion. Det slutna systemets karakteristiska ekvation lir då +L(s) = 0. Om L(s) är en rationell funktion kan denna ekvation skrivas om som en polynomekvation. Nyquistkriteriet Överkorsningsfrekvensen (skärfrekvensen) ω c definieras som den lägsta frekvens för vilken L(iω c ) =. Fasmarginalen definieras som ϕ m = π + arg L(iω c ) = 80 +arg L(iω c ). Den naturliga egensvängningsfrekvensen (resonansfrekvensen) ω π definieras som den lägsta frekvens för vilken arg L(iω π ) = π = 80. Amplitudmarginalen definieras som A m = / L(iω π ). L(iω) ω = ω π A m x ϕ m ω = ω c x Figur : Stailitetsmarginaler i ett nyquistdiagram 3

4 Det förenklade nyquistkriteriet säger då att om alla poler till L(s) har negativ realdel så gäller att det slutna systemet är stailt precis då ϕ m > 0 och A m >. Relativ dämpning och odämpad egensvängningsfrekvens Överföringsfunktionen för ett andra ordningens system med staila komplexa poler men utan nollställen kan skrivas ω n G(s) = s + ζω n s + ωn där ω n är den odämpade egensvängningsfrekvensen. I följande figur visas stegsvaren för ett sådant system för olika värden på relativa dämpningen ζ Figur : Stegsvar för system med ω n = och ζ = 0, 0., 0.3, 0.5, 0.7 och.0. Det maximala värdet på stegsvaret avviker från stegsvarets slutvärde (den statiska förstärkningen G(0) som här är ). Översvängen (överslängen) M p definieras som denna skillnad dividerat med statiska förstärkningen. M p ges av följande formel ζπ M p = e ζ 4

5 Fasavancerande kompensering (PD/lead-kompensering) G PD (s) = K + T d s + T d s = KG lead (s) vilken har den fördelen att den rent fasavancerade delen ( lead-filtret ) har amplitudfunktionen = vid den frekvens där faskurvan har sitt maximum. Givet önskad överkorsningsfrekvens ω c och fasmarginal ϕ m kan följande metod för fasavancerande kompensering formuleras: (i) Bestäm hur mycket fasen ehöver ökas vid ω = ω c : ϕ = ϕ m ( 80 + arg G p (iω c ) ) (ii) Om ϕ > 0 så används ett lead-filter G lead (s) där väljs så att filtrets fasfunktion kan uppnå värdet ϕ. Detta realiseras genom att välja så att ϕ = ϕ max där ϕ max = arcsin + = + sin ϕ max sin ϕ max ϕ max är maximala värdet på filtrets fasfunktion argg lead (iω). (iii) Den frekvens för vilken lead-filtrets fasfunktion har sitt maximum kan uttryckas som ω max = T d Eftersom lead-filtret väljs så att dess maximala fas inträffar vid den önskade skärfrekvensen ω c så måste följaktligen ω max = ω c varav det direkt följer att T d = ω c (iv) Lead-filtret ovan är uttryckt på sådan form så att G lead (iω max ) =. Eftersom villkoret för förstärkningen K är G PD (iω c )G p (iω c ) = inneär detta att K = G p (iω c ) 5