Kompletterande material till föreläsning 5 TSDT08 Signaler och System I. Erik G. Larsson LiU/ISY/Kommunikationssystem

Transkript

1 ompletterande material till föreläsning 5 TSDT8 Signaler och System I Erik G. Larsson LiU/ISY/ommunikationssystem erik.larsson@isy.liu.se November 8

2 5.1. Första och andra ordningens tidskontinuerliga LTI system Första och andra ordningens tidskontinuerliga LTI system Ett första ordningens tidskontinuerligt system har en överföringsfunktion av formen F 1 (s) = /(s + a). Andra ordningens system har en överföringsfunktion av formen F (s) = /(s + as + b). 1 Det är speciellt intressant att betrakta i detalj hur dessa två system uppför sig. Skälet till det är att alla system med rationell överföringsfunktion, säg H(s), alltid kan ses som en sammansättning av system av typen F 1 (s), F (s), 1/F 1 (s) och 1/F (s) Första ordningens tidskontinuerliga LTI system Betrakta det kausala systemet med överföringsfunktion H(s) = s + a, Re {s} > a Detta system har en pol i s = a och är stabilt om a >. Differentialekvation Vi har Y (s) = H(s)X(s) dvs Inverstransformering ger (s + a)y (s) = X(s) d y(t) + ay(t) = x(t) dt Ett kausalt system som beskrivs av denna differentialekvation har alltså överföringsfunktionen H(s). Ett exempel på ett sådant system är en RC-krets. Impulssvar Impulssvaret kan vi beräkna via h(t) = L 1 {H(s)} = e at u(t) Ju större a, desto längre från origo ligger systemets pol och ju snabbare dör impulssvaret ut när t. Se figur System av typen F 1 (s) = (s + a)/ eller F (s) = (s + as + b)/ är också av första respektive andra ordningen. De är dock inte realiserbara och därför mindre intressanta i sig själva.

3 5.1. Första och andra ordningens tidskontinuerliga LTI system Stegsvar Stegsvaret r(t) kan vi beräkna via r(t) = t h(τ)dτ = t e aτ dτ = a (1 e at )u(t) Alternativt, får vi det via Laplacetransformering: { } { 1 r(t) = L 1 {U(s)H(s)} = L 1 /a = L 1 s s + a s /a } = s + a a (1 e at )u(t) där U(s) = 1/s är Laplacetransformen för ett enhetssteg u(t). Se figur 5.. Notera att konvergensområdet för H(s)/s är Re {s} >. Stegsvarets slutvärde fås ur lim r(t) = lim t t a (1 e at ) = a Alternativt, kan detta gränsvärde uträknas genom att använda slutvärdesteoremet för Laplace-transformen: lim t r(t) = lim sr(s) = lim H(s) = s s a Slutvärdet är alltså lika med likströmsförstärkningen H() = /a, vilket är rätt naturligt: när t, är det ingen praktisk skillnad mellan ett steg och en konstant signal. Att stegsvarets slutvärde är lika med H() gäller allmänt, inte bara för ett första ordningens system. Tiden T s = 1/a kallas stigtiden hos systemet. Eftersom 1 e ats = 1 1/e, är T s nämligen precis den tid det tar för stegsvaret att nå (1 1/e) ( 67%) av sitt slutvärde. Ju längre från origo polen ligger (större a), desto kortare stigtid och vice versa. Polens läge bestämmer alltså hur snabbt systemet är: Polen närmare origo ger ett långsammare system och tvärtom. Frekvensfunktion Frekvensfunktionen ges av H(jω) = jω + a

4 5.1. Första och andra ordningens tidskontinuerliga LTI system a =.1 h(t).6.4. a = 1 a = Figur 5.1. Exempel på impulssvar för systemet 1/(s + a). t r(t) a = 1 a = 1.4. a = Figur 5.. Exempel på stegsvar för systemet 1/(s + a). t

5 5.1. Första och andra ordningens tidskontinuerliga LTI system 4 Det innebär att (om > ) H(jω) = a + ω, och arg H(jω) = arg(jω + a) = tan 1 ( ω a Frekvensfunktionen åskådliggörs bäst i logaritmisk-logaritmisk skala. kallas Bodediagram. För att rita Bodediagrammet behöver vi ( ) ( ) log 1 H(jω) = log 1 log a ω a ( log ) 1 a, ω a ( log ) 1 a 3 db, ω = a log 1 () log 1 (ω), ω a ) Detta (om ihåg att 1 log 1 () 3 db.) Frekvensen ω = a kallas brytfrekvens eller gränsfrekvens. Bodediagrammet för amplitud är alltså en horisontell linje för ω a och en linje med lutning db/dekad för ω a. Se figur 5.3. Systemet fungerar alltså som ett lågpassfilter som släpper igenom frekvenser lägre än ω = a. (Genom att använda ett högre ordnings system kan man konstruera bättre filter, dvs., vars Bodediagram har en brantare lutning än db/dekad.) För att rita faskurvan noterar vi att ( w ), ω a arg H(jω) = tan 1 = π/4, ω = a a π/, ω a Se figur 5.4. Fasen minskar från till π/. Halva fasskiftet, π/4, uppnås precis vid ω = a. Faskurvans form ( lutning ) är densamma för alla värden på a. Respons till tillslag av cosinus-signal Antag att man matar systemet med signalen x(t) = cos(ω t)u(t) Vad blir utsignalen y(t)? Sinus-in sinus-ut egenskapen är inte direkt tillämpbar (utom när t ) eftersom vår cosinussignal inte börjar förrän vidt =. Ett sätt att beräkna y(t) är via Laplace-transformering. Notera först att s X(s) =, Re {s} > s + ω

6 5.1. Första och andra ordningens tidskontinuerliga LTI system 5 log 1 H(jω) 1 1 ω = a a = 1 a =.1 3 db lutn. db/dek. 3 4 a = log 1 (ω) Figur 5.3. Exempel på Bodediagram (amplitud) för systemet 1/(s + a). arg H(jω) [grader] 4 6 a =.1 a = 1 ω = a 45 grader a = grader log 1 (ω) Figur 5.4. Exempel på Bodediagram (fas) för systemet 1/(s + a).

7 5.1. Första och andra ordningens tidskontinuerliga LTI system 6 och efter lite arbete Y (s) = X(s)H(s) = s s + ω s + a = ( a a + ω s + a + as + ω s + ω ), Re {s} > Inverstransformering ger y(t) = a e at u(t) + a + ω ( cos a + ω ω t tan 1 ( ω a )) u(t) = a a + ω e at u(t) + H(jω ) cos(w t + arg H(jω ))u(t) Den första termen dör ut när t och kallas därför transient. Den andra termen är en cosinussignal med frekvens ω och kallas stationär del. Notera att den stationära termen hade kunnat beräknas (mycket enklare) direkt via sinus-in sinus-ut egenskapen!

8 5.1. Första och andra ordningens tidskontinuerliga LTI system Andra ordningens tidskontinuerliga LTI system Vi studerar nu ett andra ordningens kausalt system med två komplexvärda poler i s = a ± iω p. (Ett system med två distinkta reellvärda poler behandlas enklast som en sammansättning av två första ordningens system.) Systemets överföringsfunktion kan skrivas H(s) = (s + a) + ω p = s + ξω s + ω där vi definierat ξ via ξω = a, < ξ 1 ω = a + ω p = ξ ω + ω p (ω är polernas avstånd till origo) Systemet är stabilt om a >. Om ξ = 1 blir ω p =, dvs. systemet har en reell dubbelpol i a. När ξ, närmar sig båda polerna imaginära axeln. Impulssvar. För ξ < 1 är impulssvaret h(t) = L 1 {H(s)} = ω p e at sin(ω p t)u(t) Detta impulssvar h(t) oscillerar med frekvensen ω p och avtar exponentiellt med en tidskonstant T = 1/a. Detta system kallas underdämpat. (Andra ordningens system med två reella poler kallas ibland överdämpade andra ordningens system.) Se figur 5.5. För ξ = 1 (systemet har en reell dubbelpol) är impulssvaret h(t) = te at u(t) För detta värde på ξ oscillerar inte impulssvaret. dämpat. Systemet kallas kritiskt Stegsvar. Stegsvaret kan beräknas ur r(t) = L 1 {U(s)H(s)} = L 1 { 1 s H(s) }

9 5.1. Första och andra ordningens tidskontinuerliga LTI system 8 Man får Se figur 5.6. { (1 (1 + at)e at )u(t), ξ = 1 a r(t) = ( )) (1 e at cos(ω p t) + a ω p sin(ω p t) u(t), ξ < 1 ω Tiden det tar för stegsvaret att stabilisera sig kallas insvängningstid och ges av T s = 1/(ξω ) = 1/a, och motsvarar stigtiden hos ett första ordningens system. Slutvärdet för stegsvaret ges genom direkt uträkning av gränsvärdet eller, enklare, genom att titta på DC-förstärkningen lim r(t) = lim H(s) = t s ω Frekvensfunktion Frekvensfunktionen ges av så H(jω) = (jω) + jξω ω + ω /ω log 1 H(jω) = ( ) 1 ω + 4ξ ( ω ) ω ω log 1 (/ω), ω ω log 1 (/ω ) log 1(ξ), ω = ω log 1 () 4 log 1 (ω), ω ω För ω ω är Bodediagrammet en horisontell linje. För ω ω blir det en rät linje med lutningen 4 db/dekad. Frekvensen ω kallas brytfrekvens. Man kan visa att om ξ < 1/, får man en resonanstopp runt brytfrekvensen, mer precist vid följande resonansfrekvens: ω r = ω 1 ξ Frekvensfunktionen antar då sitt maximum vid resonanstoppen: 1 H(jω r ) = ξ 1 ξ

10 5.1. Första och andra ordningens tidskontinuerliga LTI system 9 1 a =., ω p = 1.5 h(t).5 a =.1, ω p = Figur 5.5. Exempel på impulssvar för systemet 1/((s + a) + ω p). t 1.5 a =., ω p = 1 r(t) 1.5 a =.5, ω p = Figur 5.6. Exempel på stegsvar för systemet 1/((s + a) + ω p ). t

11 5.1. Första och andra ordningens tidskontinuerliga LTI system 1 Om ξ 1 så ligger resonanstoppen mycket nära brytfrekvensenω och dess höjd är ungefär log 1 (ξ). Ju mindre ξ (polerna närmare imaginära axeln), desto högre resonanstopp. När ξ, växer toppen obegränsat och till slut blir systemet instabilt (frekvensfunktionen upphör då att existera vid ω = ω ). Se figur 5.7. Faskurvan får man ur (förutsatt att > ) arg H(jω) = tan 1 ξω/ω ( 1 ) ω ω, ω ω π/, ω = ω π, ω ω Se figur 5.8. Fasen minskar alltså från till π, och halva fasskiftet ( π/) uppnås vid ω = ω. Ju högre resonanstopp (polerna närmare imaginära axeln), desto brantare blir faskurvan runt brytpunkten ω = ω.

12 5.1. Första och andra ordningens tidskontinuerliga LTI system 11 log 1 H(jω) a =., ω p = 1 a =.1, ω p = 1 ω = ω 1 ξ ω ( log 1 1 ξ ) a = 1, ω p = 1 lutn. 4 db/dek log 1 (ω) Figur 5.7. Exempel på Bodediagram (amplitud) för systemet 1/((s + a) + ω p). arg H(jω) [grader] a = 1, ω p = 1 ω = ω 9 grader a =.1, ω p = a =., ω p = log 1 (ω) Figur 5.8. Exempel på Bodediagram (fas) för systemet 1/((s + a) + ω p ).