Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 15-18, 30/11-12/
|
|
- Ann-Sofie Viklund
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Transformmetoder, 5 hp ES, gyl, Q, W Sammanfattning av föreläsningarna 5-8, 30/ - / 0. Z-transformen ska avslutas och sedan blir det tentaförberedelser. Inversa -transformen (primitiv variant. Ur transformen X( = x(n n = x(0 + x( + x( n=0 + x(3 3 + ( kan vi, i tur och ordning, få fram x(n, n 0, genom x(0 = lim X( x( = lim (X( x(0 x( = lim (X( x(0 x( x(3 = lim 3 (X( x(0 x( x( Proceduren fungerar om X( = T(/(, där T(, ( är polynom och T( har högst samma grad som (. Om T( har högre grad än ( så gäller inte att x(n = 0 för n < 0, i vilket fall proceduren får modifieras (det är lätt att se hur, eller hur?. Beräkningen görs enklast med följande schema: X 0 ( = X(, x(0 = lim X 0 ( X ( = (X 0 ( x(0, x( = lim X ( X ( = (X ( x(, x( = lim X ( X 3 ( = (X ( x(, x(3 = lim X 3 ( Exempel. Bestäm, med ovanstående metod, x(n, n 0 om X( = Lösning. Vi får X 0 ( = λ, X ( = (X 0 ( = x(0 = lim X 0( = λ λ, X ( = (X ( λ = λ λ, X 3 ( = (X ( λ = λ3 λ, x( = lim X ( = λ λ. x( = lim X ( = λ x(3 = lim X 3( = λ 3
2 Alltså gäller, som förväntat, x(n = λ n, n 0. Exempel. Bestäm x(n, n 0 om X( = λ. Lösning. Enligt ovan gäller att X( = ( λ är -transformen av Θ(n λ n. Fördröjningsregeln ger att x(n = Θ(n λ n. Inversa -transformen igen. En mindre primitiv metod att inverstransformera X( = A 0 + T(/(, där T(, ( är polynom och T( har lägre grad än (, ges av följande: Antag att T( ( = T( ( ( ( p där vi, för enkelhets skull, antar att,,..., p är distinkta (olika. X( har då partialbråksuppdelningen X( = A 0 + A + A + + A p p Av föregående exempel ser vi att A k ( k A k Θ(n n k x(0 = A 0 och x(n = Θ(n ( A n + A n + + A p n p. Det betyder att, n > 0. Om ( har multipla nollställen så gör man på samma sätt, fast det blir en aning mer komplicerat. Partialbråksutvecklingen innehåller då termer av typen A( k m, m 0. Enligt (Z.3, som vi inte härleder, gäller att ( λ m+ Θ(n ( n m Fördröjningsformeln ger sedan ( n Y( = ( k m+ y(n = Θ(n m ( ( ( α α α Observera att =, = α, = 0 λ n m, < n <. n m k, < n <. (α(α,..., för varje α R. LTI-system i diskret tid. Ett sådant, med insignalen x(n och utsignalen y(n, n Z, ges, till exempel, av en differensekvation y(n + p + a p y(n + p + + a y(n + + a 0 y(n = K x(n, < n <, ( där x(n = y(n = 0 för n < 0. Av ( följer att y(0 = = y(p = 0, y(p = K x(0 o.s.v. Genom att -transformera ( får vi ( p + a p p + + a + a 0 Y( = K X(, där y(n Y(. För en given insignal x(n ges alltså utsignalen av Y( = K p + a p p + + a + a 0 X( = H( X(.
3 Funktionen H( är systemets överföringsfunktion. Om h(n är inversa -transformen av H( så gäller att y(n fås som faltningen y(n = h(n x(n = h(nx(0 + h(n x( + + h(0x(n = n h(n j x(j (# j=0 Impulssvar och stabilitet. Impulsen är funktionen (följden, signalen δ(n, som ges av att δ(0 = och δ(n = 0 för n = 0. Z-transformen av impulsen är ( =, C. Av (# ser vi att om x(n = δ(n så får vi y(n = h(n δ(n = h(nδ(0 + h(n δ( + + h(0δ(n = h(n Det är anledningen till att h(n kallas för impulssvaret. Impulssvaret har -transformen H( = K p + a p p + + a + a 0 = ämnarens nollställen,,..., p sägs vara systemets poler. K ( ( ( p LTI-systemet, som ges av (, definieras som stabilt om varje begränsad insignal resulterar i en begränsad utsignal ( x(n C y(n C. I överensstämmelse med vad vi fick för tidskontinuerliga system så gäller att systemet är stabilt om och endast om h(n <. Om systemet har enkla poler (,,..., p är distinkta så har H( partialbråksutvecklingen och impulssvaret ges av H( = A + A + + h(n = Θ(n A p p ( A n + A n + + A p n p. Av detta följer genast att systemet är stabilt om och endast om alla poler har absolutbelopp mindre än ett ( j <, j =,,..., p. Detsamma gäller även om systemet har multipla poler. Exempel. För vilka a R gäller att systemet, som ges av är stabilt? y(n + + ay(n + + y(n = x(n, < n <, Lösning. Här är överföringsfunktionen H( = + a + = ( ( =, ( + + där, är polerna. Alltså gäller att =. Det är därför omöjligt att båda polerna har absolutbelopp mindre än ett. Systemet är därför ostabilt för alla värden på a. Exempel. Avgör om systemet, som ges av är stabilt? 4y(n + + 4y(n + + y(n = x(n, < n <, 3
4 Lösning. Här är överföringsfunktionen H( = = ( + = 4 ( +, så polerna är = =. Båda polerna har absolutbelopp mindre än ett. Systemet är därför stabilt. Exempel. För vilka a R gäller att systemet, som ges av är stabilt? y(n + + ay(n y(n = x(n, < n <, Lösning. Här är överföringsfunktionen H( = + a + 5 Polerna, är alltså rötterna till andragradsekvationen + a + 5 = 0, som kan omskrivas till ( + a = a 5. Om a 5 < 0 så har vi polerna = = a + i 5 a med absolutbeloppen = = 5 <. Om a 5 0 så har vi polerna, = a ± av polerna är a + a 5. Det största av absolutbeloppen a 5. Vi har a + a 5 < om och endast om a 5 < a a 5 < ( a = a a + 5 > a a < 3 5. Sammantaget betyder detta att systemet är stabilt om och endast om a < 3 5. Exempel. Bestäm -transformen, A(, av a n = Θ(n n+. Lösning. Vi har här vilket ger enligt (Z.9. Enligt (Z.3 får vi sedan a n = Θ(n 3 n = Θ(n 8 a n+ = 8 Θ(n ( a n A( = ( 8 ( n 8 ( n,, = 8 ( 4
5 Differensekvationer. Antag att x(n, n 0, är en given följd och att vi söker alla följder y(n, n 0, sådana att y(n + p + a p y(n + p + + a y(n + + a 0 y(n = x(n, 0 n <, ( Vi kan då välja godtyckliga värden på y(0, y(,..., y(p och för varje val har ( en entydig lösning y(n, n 0. Detta visas med induktion. Man löser ( genom att -transformera båda leden under iakttagande av (Z.4. Vi får då där x(n X(, y(n Y( och S( + ( p + a p p + + a + a 0 Y( = X( S( = y(0 p + (y( + a p y(0 p + + (y(p + a p y(p + + a 0 y(0 0 Det följer att S( + X( Y( = p + a p p + + a + a 0 och y(n, n 0, fås sedan genom inverstransformering. Exempel. Bestäm y(n, n 0, om y(0 = 0, y( = och y(n + 3y(n + + y(n = (n + 5 n+ = x(n, 0 n <. ( Lösning. Det är lämpligt att göra omskrivningen x(n = (n + 5 n+ = n n+ + 5 n+ = 4n n + 0 n Z-transformering av (, med hjälp av (Z.4, (Z. och (Z.9, ger sedan Y( 3Y( + Y( = Y( = 8 ( ( = ( = 0 ( ( 3 + Y( = + 0 ( = ( + ( ( + ( 3 + ( = ( ( + ( ( ( = + 4 ( 3 Kombinerar vi (Z. och (Z. så får vi Sätter vi här λ = så får vi Det följer genast att y(n = n n, n 0. Θ(nn λ n ( λ + ( λ ( λ = λ + λ 3 ( λ 3 Θ(nn n + 4 ( λ 3, Exempel. Låt c = a + ib = r e iϕ, a, b R. Härled, med hjälp av (Z., (Z.4 och (Z.5, -transformerna av Θ(n r n cos nϕ och Θ(n r n sin nϕ. 5
6 Lösning. (Z.4 och (Z.5 ger direkt att Θ(n cos nϕ Med hjälp av (Z. får vi sedan cos ϕ cos ϕ + och Θ(n sin nϕ sin ϕ cos ϕ + Θ(n r n cos nϕ (/r (/r cos ϕ (/r (/r cos ϕ + = r cos ϕ ( a = r cos ϕ + r ( a + b och Θ(n r n sin nϕ (/r sin ϕ (/r (/r cos ϕ + = r sin ϕ r cos ϕ + r = b ( a + b Exempel. Ett LTI-system har överföringsfunktionen H( = 3 (3 (6 5 + Bestäm impulssvaret och avgör systemets stabilitet. Lösning. Vi har faktoriseringen = (3 (, vilket ger H( = 3 (3 (6 5 + = 3 (3 ( = 6 ( 3 ( Av partialbråksuppdelningen (några detaljer överhoppas H( = 6 ( 3 ( = A 3 = 6 3 ( B ( + C 3 följer att H( = 6 3 ( Inverstransformering, med hjälp av (Z.9 och (Z., ger sedan h(n = Θ(n 6 3 n Θ(n n 3 n + Θ(n 6 ( 6 n = n 3n n Θ(n. Systemet är stabilt, eftersom båda polerna, och 3, har absolutbelopp mindre än ett. Exempel. Lös differensekvationen a n+ + a n = n, n 0, där a 0 =. 6
7 Lösning. Om a n A( så gäller att a n+ A( a 0 = A(. Enligt (Z.0 har vi n (. Z-transformen av differensekvationen blir därför ( + A( = + Partialbråksutvecklingen (vissa detaljer förbigås A( ger, med (Z.9 och (Z.0, A( = = + ( + ( = A + + = 5/4 + /4 + / ( + ( = ( + ( B + C ( ( a n = 5 4 ( n 4 + n, n 0. Exempel. Bestäm den komplexa Fourierserien för den -periodiska funktionen f (t, som ges av att f (t = e t för π < t < π. Bestäm summan S(t av Fourierserien för alla t, för vilka serien konvergerar. Använd Fourierserien för att beräkna Lösning. Vi har c n = = σ = π [ π ( n + n n= och σ = e t e int dt = e ( int in ] t=π t= π π = π ( n in < n <. Fourierserien för f (t är e ( int dt n= e ( inπ e ( inπ in ( n ( + in + n c n e int n= ( n ( + in ( in( + in + n ( ( n + n + ( n in + n Konvergenssatsen för Fourierserier ger här att S(t existerar för alla t R, S(t = f (t, då t = (k + π, och S((k + π = (eπ + e π (k heltal. Genom att sätta t = 0 får vi (observera att imaginärdelen av c n är en udda funktion av n: = e 0 = lim n= eπ e π π eπ e π π c n 7 lim n= σ, lim n= ( n + n ( n + n
8 vilket ger σ = Genom att sätta t = π får vi, på samma sätt, att e π e π e π e π vilket ger S(π = eπ + e π n= = lim + eπ e π π + eπ e π π c n e inπ lim n= σ, + n σ = (π e π + (π + e π e π e π lim n= ( n ( n + n Exempel.( : Bestäm fouriertransformen F(ω till f (t = t e t. Lösning. Av (F.0 ser vi att g(t = e t har transformen G(ω = ( + ω. (F.6 medför att f (t = t g(t har transformen F(ω = ig (ω = i( + ω (ω = 4iω ( + ω Exempel.( : Bestäm funktionen f (t, som har laplacetransformen F(s = s + 4 (s (s + s + Lösning. Vi partialbråksutvecklar F(s (några detaljer överhoppas: F(s = s + 4 (s ((s + + = A B(s + + C + s (s + + = A(s + s + + B(s + C(s (s ((s + + = (A =, B = 0, C = = s (s + + Med hjälp av (L., (L.3 och (L.6 får vi f (t = e t e t sin t. = (A + Bs + (A + Cs + (A B C (s ((s + + 8
9 Exempel.( :3 Funktionen f (t har fouriertransformen F(ω. Man definierar en ny funktion g genom g(t = (cos 3t f ( t Uttryck g:s fouriertransform G(ω med hjälp av f :s fouriertransform. Lösning. Vi har g(t = (cos 6t f (t = e6it + e 6it f (t = f (te6it + f (te 6it Av (F.5 följer att g(t har transformen G(ω//. Av (F. följer att Alltså gäller G(ω/ = f (te6it + f (te 6it F(ω 6 + F(ω + 6 F(ω 6 + F(ω + 6 Om vi i den sista likheten byter ω mot ω så får vi slutligen G(ω = F(ω 6 + F(ω + 6. ( ω G = F(ω 6 + F(ω + 6 Exempel.( :4 Ett LTI-system i diskret tid ges av y(n = h(n x(n = n h(n kx(k, n 0, k=0 där h(n är impulssvaret, x(n är insignalen och y(n är den resulterande utsignalen. Systemet fungerar så att insignalen x = (,, 0, 0, 0,... ger upphov till utsignalen y = ( n 0. Bestäm impulssvaret. Lösning. Låt H( vara överföringsfunktionen och låt X(, Y( vara -transformerna av x(n respektive y(n. Transformdefinitionen och (Z.9 ger X( = = + = + Y( = Det generella sambandet Y( = H(X( ger Det följer att H( = Y( X( = ( ( + H( A = ( = ( + = , + B + 9
10 vilket ger H( = Med hjälp av (Z.9 fås sedan impulssvaret h(n = 3 ( n + 3 ( n, n 0. 0
Kryssproblem (redovisningsuppgifter).
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Transformmetoder, 5 hp ES, gyl, Q, W 212-1-29 Kryssproblem (redovisningsuppgifter). Till var och en av de tio lektionerna hör två problem som du ska
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 11-14, 16/11-28/
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Transformmetoder, 5 hp gy, IT, W, X 2011-10-26 Sammanfattning av föreläsningarna 11-14, 16/11-28/11 2012. Här lär vi oss använda transformer för att
Läs merFöreläsning 1 Reglerteknik AK
Föreläsning 1 Reglerteknik AK c Bo Wahlberg Avdelningen för Reglerteknik, KTH 29 augusti, 2016 2 Introduktion Example (Temperaturreglering) Hur reglerar vi temperaturen i ett hus? u Modell: Betrakta en
Läs merSpektrala Transformer
Spektrala Transformer Kurssammanfattning Fyra kärnkoncept Sampling Faltning Poler och nollställen Fouriertransform Koncept #1: Sampling En korrekt samplad signal kan rekonstrueras exakt, dvs ingen information
Läs merSystem. Z-transformen. Staffan Grundberg. 8 februari 2016
Z-transformen 8 februari 2016 Innehåll Z-transformen Tidsdiskreta LTI-system Överföringsfunktioner Frekvensegenskaper Z-transformen Z-transformen av en tidsdiskret signal y[n] ges av Y (z) = Z[y] = y[n]z
Läs merTentamen ssy080 Transformer, Signaler och System, D3
Tentamen ssy080 Transformer, Signaler och System, D3 Examinator: Ants R. Silberberg oktober 009 kl. 4.00-8.00 lokal: Johanneberg Förfrågningar: Ants Silberberg, tel. 808 Lösningar: Anslås torsdag okt.
Läs merTIDSDISKRETA SYSTEM SYSTEMEGENSKAPER. Minne Kausalitet Tidsinvarians. Linjäritet Inverterbarhet Stabilitet. System. Tillämpad Fysik och Elektronik 1
TIDSDISKRETA SYSTEM TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 1 SYSTEMEGENSKAPER x[n] System y[n] Minne Kausalitet Tidsinvarians Linjäritet Inverterbarhet Stabilitet TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK,
Läs merLösningsförslag, Tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del 2, för CTFYS2 och CMEDT3, SF1629, den 9 juni 2011, kl.
Lösningsförslag, Tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del 2, för CTFYS2 och CMEDT3, SF629, den 9 juni 2, kl. 8: 3: Uppgift (av 8 (5 poäng. i. sant, ii. falskt, iii. falskt, iv. sant, v.
Läs merTSDT08 Signaler och System I Extra uppgifter
TSDT08 Signaler och System I Extra uppgifter Erik G. Larsson ISY/Kommunikationssystem december, 2008 P. Ett LTI system har impulssvaret och matas med insignalen ht) = e 2t ut) xt) = e 3t ut) + cosπt +
Läs mer1. Vi har givet två impulssvar enligt nedan (pilen under sekvenserna indikerar den position där n=0) h 1 (n) = [ ]
TEKNISKA HÖGSKOLAN I LUND Institutionen för elektro- och informationsteknik Kurskod: ESS00 Tentamen i Digital Signalbehanding Datum: 0 5 Time period: 08.00 3.00 Bedömning: Sex uppgifter. Varje uppgift
Läs merLösningar till tentamen i Transformmetoder okt 2007
Lösningar till tentamen i Transformmetoder okt 7. Låt Y (s beteckna Laplacetransformen till funktionen y. Laplacetransformering av den givna ekvationen ger: varav följer att. (a För s > a är Y (s + s Y
Läs merTentamen i TMA 982 Linjära System och Transformer VV-salar, 27 aug 2013, kl
Tentamen i TMA 982 Linjära System och Transformer VV-salar, 27 aug 2013, kl 8.30-12.30 Examinatorer: Lars Hammarstrand och Thomas Wernstål Tentamen består av två delar (Del I och Del II) på sammanlagt
Läs merDiskreta signaler och system
Kapitel 7 Diskreta signaler och system I detta kapitel diskuteras grundläggande teori för diskreta signaler och system. För diskreta signaler introduceras z-transformen, som ligger som grund för representationen
Läs merFöreläsning 2. Reglerteknik AK. c Bo Wahlberg. 3 september Avdelningen för reglerteknik Skolan för elektro- och systemteknik
Föreläsning 2 Reglerteknik AK c Bo Wahlberg Avdelningen för reglerteknik Skolan för elektro- och systemteknik 3 september 2013 Introduktion Förra gången: Dynamiska system = Differentialekvationer Återkoppling
Läs merKan vi beskriva ett system utan någon fysikalisk kännedom om systemet?
Kan vi beskriva ett system utan någon fysikalisk kännedom om systemet? 1 Om svaret på frågan är ja så öppnar sig möjligheten att skapa en generell verktygslåda som fungerar för analys och manipulering
Läs merDT1130 Spektrala transformer Tentamen
DT3 Spektrala transformer Tentamen 5 Tentamen består av fem uppgifter där varje uppgift maximalt ger p. Normalt gäller följande betygsgränser: E: 9 p, D:.5 p, C: p, B: 6 p, A: 8 p Tillåtna hjälpmedel:
Läs merTentamen ssy080 Transformer, Signaler och System, D3
Tentamen ssy080 Transformer, Signaler och System, D3 Examinator: Ants R. Silberberg 19 oktober 2011 kl. 08.30-12.30 sal: Hörsalsvägen Förfrågningar: Ants Silberberg, tel. 1808 Lösningar: Anslås torsdag
Läs merTransformmetoder. Kurslitteratur: Styf/Sollervall, Transformteori för ingenjörer, 3:e upplagan, Studentlitteratur
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Transformmetoder Kurslitteratur: Styf/Sollervall, Transformteori för ingenjörer, 3:e upplagan, Studentlitteratur AB. Kontakt: Föreläsare och kursansvarig:
Läs merLaplace, Fourier och resten varför alla dessa transformer?
Laplace, Fourier och resten varför alla dessa transformer? 1 Bakgrund till transformer i kontinuerlig tid Idé 1: Representera in- och utsignaler till LTI-system i samma basfunktion Förenklad analys! Idé
Läs merDT1130 Spektrala transformer Tentamen
DT Spektrala transformer Tentamen 72 Tentamen består av fem uppgifter där varje uppgift maximalt ger 4 p. Normalt gäller följande betygsgränser: E: 9 p, D:.5 p, C: 4 p, B: 6 p, A: 8 p Tillåtna hjälpmedel:
Läs merSignal- och bildbehandling TSBB14
Tentamen i Signal- och bildbehandling TSBB Tid: 3-5-3 Lokaler: TER Ansvarig lärare: Maria Magnusson besöker lokalen kl. 8.5 och.3 tel 73-8 38 67 Hjälpmedel: Räknedosa, medskickad formelsamling, OH-film,
Läs merSYSTEM. Tillämpad Fysik Och Elektronik 1 SYSTEMEGENSKAPER. Minne Kausalitet Tidsinvarians. Linjäritet Inverterbarhet Stabilitet. System.
SYSTEM TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET SYSTEMEGENSKAPER System y(t) y[n] Minne Kausalitet Tidsinvarians Linjäritet Inverterbarhet Stabilitet TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET
Läs merSignal- och bildbehandling TSBB03
Tentamen i Signal- och bildbehandling TSBB3 Tid: 28-5-29 kl. 8-2 Lokal: TER2 Ansvarig lärare: Maria Magnusson besöker lokalen kl. 9. och.4 tel 73-84 38 67 Hjälpmedel: Räknedosa, medskickad formelsamling,
Läs merDT1130 Spektrala transformer Tentamen
DT3 Spektrala transformer Tentamen 3 Tentamen består av fem uppgifter där varje uppgift maximalt ger 4 p. Normalt gäller följande betygsgränser: E: 9 p, D:.5 p, C: 4 p, B: 6 p, A: 8 p Tillåtna hjälpmedel:
Läs merRÄKNEEXEMPEL FÖRELÄSNINGAR Signaler&System del 2
t 1) En tidskontinuerlig signal x( t) = e 106 u( t) samplas med sampelperioden 1 µs, varefter signalen trunkeras till 5 sampel. Den så erhållna signalen får utgöra insignal till ett tidsdiskret LTI-system
Läs merTSIU61: Reglerteknik. Poler och nollställen Stabilitet Blockschema. Gustaf Hendeby.
TSIU61: Reglerteknik Föreläsning 3 Poler och nollställen Stabilitet Blockschema Gustaf Hendeby gustaf.hendeby@liu.se TSIU61 Föreläsning 3 Gustaf Hendeby HT1 2017 1 / 26 Innehåll föreläsning 3 ˆ Sammanfattning
Läs merDIGITALA FILTER. Tillämpad Fysik Och Elektronik 1. Frekvensfunktioner FREKVENSSVAR FÖR ETT TIDSDISKRET SYSTEM. x(n)= Asin(Ωn)
DIGITALA FILTER TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 1 Frekvensfunktioner x(n)= Asin(Ωn) y(n) H(z) TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 2 FREKVENSSVAR FÖR ETT TIDSDISKRET SYSTEM
Läs merKompletterande material till föreläsning 5 TSDT08 Signaler och System I. Erik G. Larsson LiU/ISY/Kommunikationssystem
ompletterande material till föreläsning 5 TSDT8 Signaler och System I Erik G. Larsson LiU/ISY/ommunikationssystem erik.larsson@isy.liu.se November 8 5.1. Första och andra ordningens tidskontinuerliga LTI
Läs merImplementering av digitala filter
Kapitel 9 Implementering av digitala filter Som vi sett i kapitel 8 kan det behövas ett mycket stort antal koefficienter för att representera ett digitalt filter. Detta gäller i synnerhet FIR filter. Det
Läs merReglerteknik I: F2. Överföringsfunktionen, poler och stabilitet. Dave Zachariah. Inst. Informationsteknologi, Avd. Systemteknik
Reglerteknik I: F2 Överföringsfunktionen, poler och stabilitet Dave Zachariah Inst. Informationsteknologi, Avd. Systemteknik 1 / 16 Linjära systemmodeller Linjära tidsinvarianta modeller är användbara
Läs merFöreläsning 3. Reglerteknik AK. c Bo Wahlberg. 9 september Avdelningen för reglerteknik Skolan för elektro- och systemteknik
Föreläsning 3 Reglerteknik AK c Bo Wahlberg Avdelningen för reglerteknik Skolan för elektro- och systemteknik 9 september 2013 Introduktion Förra gången: PID-reglering Dagens program: Stabilitet Rotort
Läs merVälkomna till Reglerteknik Föreläsning 2
Välkomna till Reglerteknik Föreläsning 2 Sammanfattning av föreläsning 1 Lösningar till differentialekvationer Karakteristiska ekvationen Laplacetransformer Överföringsfunktioner Poler Stegsvarsspecifikationer
Läs merImpulssvaret Betecknas h(t) respektive h(n). Impulssvaret beskriver hur ett system reagerar
6 Sjätte lektionen 6.1 Transformvärlden 6.1.1 Repetera Rita upp en tankekarta över följande begrepp där du anger hur de hänger ihop och hur de betecknas. Vad beskriver de? Impulssvaret Amplitudsvaret (frekvensgången)
Läs merAUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET. M. Enqvist TTIT62: Föreläsning 3 AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET
Martin Enqvist Överföringsfunktioner, poler och stegsvar Reglerteknik Institutionen för systemteknik Linköpings universitet Repetition: Reglerproblemet 3(8) Repetition: Öppen styrning & återkoppling 4(8)
Läs merReglerteknik, TSIU61. Föreläsning 2: Laplacetransformen
Reglerteknik, TSIU61 Föreläsning 2: Laplacetransformen Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet Innehåll 2(13) 1. Sammanfattning av föreläsning 1 2. Hur löser man differentialekvationer på ett arbetsbesparande
Läs merSignal- och bildbehandling TSBB03, TSBB14
Tentamen i Signal- och bildbehandling TSBB03, TSBB4 Tid: 00-0- Lokaler: G33 Ansvarig lärare: Maria Magnusson besöker lokalen kl. 4.50 och 6.50 tel 073-804 38 67 Hjälpmedel: Räknedosa, medskickad formelsamling,
Läs merSignal- och bildbehandling TSBB14
Tentamen i Signal- och bildbehandling TSBB Tid: 205-0-, 8-3 Lokaler: U, U3, U Ansvarig lärare: Maria Magnusson besöker lokalerna kl. 9.30 och.30 tel 073-80 38 67 Hjälpmedel: Räknedosa, medskickad formelsamling,
Läs merRita även upp grafen till Fourierseriens summa på intervallet [ 2π, 3π], samt ange summans värde i punkterna π, 0, π, 2π. (5) S(t) = c n e int,
Institutionen för matematik KTH Tentamensskrivning, 003-08-5, kl. 14.00 19.00. 5B10/ Diff och Trans del, för F och T. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. För godkänt betyg 3) krävs 18 poäng, medan
Läs merVälkomna till TSRT15 Reglerteknik Föreläsning 2
Välkomna till TSRT15 Reglerteknik Föreläsning 2 Sammanfattning av föreläsning 1 Lösningar till differentialekvationer Karakteristiska ekvationen Laplacetransformer Överföringsfunktioner Poler Stegsvarsspecifikationer
Läs merLaplace, Fourier och resten varför alla dessa transformer?
Laplace, Fourier och resten varför alla dessa transformer? 1 Vi har sett hur ett LTI-system kan ges en komplett beskrivning av dess impulssvar. Genom att falta insignalen med impulssvaret erhålls systemets
Läs mer( ), så kan du lika gärna skriva H ( ω )! ( ) eftersom boken går igenom laplacetransformen före
Några allmänna kommentarer gällande flera av lösningarna: Genomgående används kausala signaler och kausala system, vilket innebär att det är den enkelsidiga laplacetransformen som används. Bokens författare
Läs merTSDT18/84 SigSys Kap 4 Laplacetransformanalys av tidskontinuerliga system. De flesta begränsade insignaler ger upphov till begränsade utsignaler
9 Stabilitet för energifria LTI-system Marginellt stabilt system: De flesta begränsade insignaler ger upphov till begränsade utsignaler Kap 2, bild 4 h t h( t) dt /< < t gäller för marginellt stabila LTI-system
Läs merTSIU61: Reglerteknik. Matematiska modeller Laplacetransformen. Gustaf Hendeby.
TSIU61: Reglerteknik Föreläsning 2 Matematiska modeller Laplacetransformen Gustaf Hendeby gustaf.hendeby@liu.se TSIU61 Föreläsning 2 Gustaf Hendeby HT1 2017 1 / 21 Innehåll föreläsning 2 ˆ Sammanfattning
Läs merLaplacetransform, poler och nollställen
Innehåll föreläsning 2 2 Reglerteknik, föreläsning 2 Laplacetransform, poler och nollställen Fredrik Lindsten fredrik.lindsten@liu.se Kontor 2A:521, Hus B, Reglerteknik Institutionen för systemteknik (ISY)
Läs merLUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA Inst. för Elektro- och Informationsteknik
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA Inst. för Elektro- och Informationsteknik Tentamen 015-06-05 SIGNALBEHANDLING I MULTIMEDIA, ETI65 Tid: 14.00 19.00 Sal: MA:10, C-J Hjälpmedel: Miniräknare, formelsamling i signalbehandling
Läs merSignal- och bildbehandling TSBB03
Tentamen i Signal- och bildbehandling TSBB03 Tid: 2004-06-0 kl. 8-2 Lokaler: Garnisonen Ansvarig lärare: Maria Magnusson Seger besöker lokalen kl. 9.00 och 0.45. tel 073-804 38 67 Hjälpmedel: Räknedosa,
Läs merÖvningar i Reglerteknik. Differentialekvationer kan lösas med de metoder som behandlades i kurserna i matematisk analys. y(0) = 2,
Differentialekvationer Övningar i Reglerteknik Differentialekvationer kan lösas med de metoder som behandlades i kurserna i matematisk analys.. Lös följande begynnelsevärdesproblem dy dt y =, t > 0 y(0)
Läs merFöreläsning 10, Egenskaper hos tidsdiskreta system
Föreläsning 10, Egenskaper hos tidsdiskreta system Reglerteknik, IE1304 1 / 26 Innehåll Kapitel 18.1. Skillnad mellan analog och digital reglering 1 Kapitel 18.1. Skillnad mellan analog och digital reglering
Läs merResttentamen i Signaler och System Måndagen den 11.januari 2010, kl 14-19
Resttentamen i Signaler och System Måndagen den 11.januari 2010, kl 14-19 Tillåtna hjälpmedel: Valfri miniräknare (utan möjlighet till trådlös kommunkation). Valfri litteratur, inkl. kursböcker, formelsamlingar.
Läs merTransformer och differentialekvationer (MVE100)
Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet Matematik 19 januari 211 Transformer och differentialekvationer (MVE1) Styckvis definierade funktioner forts. Laplacetransformen Som nämnts i inledningen
Läs merMiniräknare och en valfri formelsamling i signalbehandling eller matematik. Allowed items: calculator, DSP and mathematical tables of formulas
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA Institutionen för Elektro- och Informationsteknik Tentamen 209-06-07 SIGNALBEHANDLING i MULTIMEDIA, EITA50 Tid: 08.00-3.00 Sal: Victoriahallen, Victoriahallen 2A Hjälpmedel: Viktigt:
Läs merSignal- och bildbehandling TSBB14
Tentamen i Signal- och bildbehandling TSBB4 Tid: -5-8 Lokaler: TER3 Ansvarig lärare: Maria Magnusson besöker lokalen kl. 8.45 och.45 tel 8336, 73-84 38 67 Hjälpmedel: Räknedosa, medskickad formelsamling,
Läs merTEN2, ( 3 hp), betygsskala A/B/C/D/E/Fx/F. TEN2 omfattar Laplace-, Fourier- och z-transformer samt Fourierserier
Kurs-PM MATEMATIK 2 (7.5 hp) P4, HF1000, ( tidigare 6H3011) Kursansvarig: Armin Halilovic, http://www.sth.kth.se/armin E-Mail armin@sth.kth.se rum 5046, Campus Haninge KURSFORDRINGAR: Examination: Godkända
Läs merLUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA Institutionen för Elektro- och Informationsteknik
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA Institutionen för Elektro- och Informationsteknik SIGNALBEHANDLING I MULTIMEDIA, EITA50, LP4, 209 Inlämningsuppgift av 2, Assignment out of 2 Inlämningstid: Lämnas in senast kl
Läs merEuklides algoritm för polynom
Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac distans@math.uu.se Algebra I, 5 hp Vecka 22. Euklides algoritm för polynom Ibland kan det vara intressant att bestämma den största gemensamma
Läs merSignal- och bildbehandling TSEA70
Tentamen i Signal- och bildbehandling TSEA70 Tid: 00-05-8 kl. -8 Lokaler: G, G Ansvarig lärare: Maria Magnusson Seger besöker lokalen kl. 5 och 7. tel Hjälpmedel: Räknedosa, OH-film, medskickad formelsamling
Läs merTSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 2
Föreläsningar / TSRT9 Reglerteknik: Föreläsning 2 Martin Enqvist Reglerteknik Institutionen för systemteknik Linköpings universitet Inledning, grundläggande begrepp. 2 Matematiska modeller. Stabilitet.
Läs merLösningsförslag till tentamen i Reglerteknik (TSRT19)
Lösningsförslag till tentamen i Reglerteknik (TSRT9) 26-3-6. (a) Systemet är stabilt och linjärt. Därmed kan principen sinus in, sinus ut tillämpas. Givet insignalen u(t) sin (t) sin ( t) har vi G(i )
Läs merTentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 2) 11 april 2017 kl. 8:00-13:00
KTH, Matematik Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 2) 11 april 2017 kl. 8:00-13:00 Tentamen består av åtta uppgifter där vardera uppgift ger maximalt fyra poäng. Preliminära
Läs merLösningsförslag till tentamen i SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 2) 8 januari 2018
KTH, Matematik Maria Saprykina Lösningsförslag till tentamen i SF169, Differentialekvationer och Transformer II (del ) 8 januari 18 Tentamen består av sex uppgifter där vardera uppgift ger maximalt fyra
Läs merSignal- och bildbehandling TSEA70
Tentamen i Signal- och bildbehandling TSEA70 Tid: 2003-08-22 kl. 4-8 Lokaler: G36 Ansvarig lärare: Maria Magnusson Seger besöker lokalen kl. 6.00. tel 0702/33 79 48 Hjälpmedel: Räknedosa, OH-film, medskickad
Läs merTentamen i ESS 010 Signaler och System E3 V-sektionen, 16 augusti 2005, kl 8.30 12.30
Tentamen i ESS 00 Signaler och System E3 V-sektionen, 6 augusti 2005, kl 8.30 2.30 Examinator: Mats Viberg Tentamen består av 5 uppgifter som vardera ger maximalt 0 p. För godkänd tentamen fordras ca 20
Läs merRekursionsformler. Komplexa tal (repetition) Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac
Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac distans@math.uu.se Algebra I, 5 hp Vecka 21. Vi nämner något kort om rekursionsformler för att avsluta [Vre06, kap 4], sedan börjar vi med
Läs meri(t) C i(t) = dq(t) dt = C dy(t) dt y(t) + (4)
2 Andra lektionen 2. Impulssvar 2.. En liten krets Beräkna impulssvaret för kretsen i figur genom att beräkna hur y(t) beror av x(t). R x(t) i(t) C y(t) Figur : Första ordningens lågpassfilter. Utsignalen
Läs merTentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 2) 10 januari 2017 kl. 14:00-19:00. a+bx e x 2 dx
KTH, Matematik Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 2) 10 januari 2017 kl. 14:00-19:00 Tentamen består av åtta uppgifter där vardera uppgift ger maximalt fyra poäng. Preliminära
Läs merSignal- och bildbehandling TSBB14
Tentamen i Signal- och bildbehandling TSBB4 Tid: 2-8-7 Lokaler: TER Ansvarig lärare: Maria Magnusson besöker lokalerna kl. 5.5 och 6.45 tel 73-84 38 67 Hjälpmedel: Räknedosa, medskickad formelsamling,
Läs merKap 3 - Tidskontinuerliga LTI-system. Användning av Laplacetransformen för att beskriva LTI-system: Samband poler - respons i tidsplanet
Kap 3 - Tidskontinuerliga LTI-system Användning av Laplacetransformen för att beskriva LTI-system: Överföringsfunktion Poler, nollställen, stabilitet Samband poler - respons i tidsplanet Slut- och begynnelsevärdesteoremen
Läs merFaltning av följder och funktioner
Den 28 augusti 2001 Faltning av följder och funktioner Christer O. Kiselman Innehåll: 1. Inledning 2. Faltning av följder 2.1. Beteckningar för följder 2.2. Faltningsprodukten av två följder 2.3. Faltningsekvationer
Läs merKompletterande räkneuppgifter i Spektrala Transformer Komplex analys, sampling, kvantisering, serier och filter Laura Enflo & Giampiero Salvi
Kompletterande räkneuppgifter i Spektrala Transformer Komplex analys, sampling, kvantisering, serier och filter & Giampiero Salvi Komplex analys Om man endast använder den reella tallinjen är det inte
Läs mer6. Stabilitet. 6. Stabilitet
6. Stabilitet 6. Stabilitet Såsom framgått i de två inledande kapitlen förutsätter en lyckad regulatordesign kompromisser mellan prestanda ( snabbhet ) och stabilitet. Ett system som oreglerat är stabilt
Läs merSignal- och bildbehandling TSBB14
Tentamen i Signal- och bildbehandling TSBB Tid: --, kl. - Lokaler: U, U, U Ansvarig lärare: Maria Magnusson besöker lokalen kl.. och. tel. Hjälpmedel: Räknedosa, medskickad formelsamling, OH-film, sa och
Läs mer1.1 Den komplexa exponentialfunktionen
TATM79: Föreläsning 8 Komplexa exponentialfunktionen och binomiska ekvationer Johan Thim augusti 07 Komplexa tal på polär form Ett komplex tal z = a+bi kan som bekant betraktas som en punkt i komplexa
Läs merTentamen i Reglerteknik. 7,5 hp varav tentamen ger 4,5 hp
KTH-ICT-ES Tentamen i eglerteknik. 7,5 hp varav tentamen ger 4,5 hp Kurskod: IE304 Datum: 20-06-09 Tid: 9.00-3.00 Examinatorer: Jan Andersson och Leif Lindbäck Tentamensinformation: Hjälpmedel: Bilagd
Läs merAUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET. M. Enqvist TTIT62: Föreläsning 2. Här är
Martin Enqvist Återkoppling, PID-reglering, specifikationer Reglerteknik Institutionen för systemteknik Linköpings universitet Repetition: Reglerproblemet 3(21) Exempel: Farthållare i en bil 4(21) Välj
Läs merLösningsförslag till tentamen i SF1683, Differentialekvationer och Transformmetoder (del 2) 4 april < f,g >=
KTH, Matematik Maria Saprykina Lösningsförslag till tentamen i SF683, Differentialekvationer och Transformmetoder (del 2) 4 april 28 Tentamen består av sex uppgifter där vardera uppgift ger maximalt fyra
Läs merMiniräknare, formelsamling i signalbehandling.
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA Inst. för Elektro- och Informationsteknik Tentamen 05-0-4 DIGITAL SIGNALBEHANDLING, ESS040 Tid: 4.00 9.00 Sal: Sparta B, D Hjälpmedel: Miniräknare, formelsamling i signalbehandling.
Läs merFormalia. Reglerteknik, TSRT12. Föreläsning 1. Första föreläsningen. Vad är reglerteknik?
Formalia Reglerteknik, TSRT12 Föreläsning 1 Hemsida. http://www.control.isy.liu.se/student/tsrt12/ Föreläsnings-oh läggs ut ca en dag i förväg. Lablistor på första lektionen. Läroboken tillåten på tentan
Läs merTransformer och differentialekvationer M3, 2010/2011 Ett par tillämpningar av Fourieranalys.
Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet Matematik februari 0 Transformer och differentialekvationer M3, 00/0 Ett par tillämpningar av Fourieranalys. Design av system, filter Som en intressant
Läs merTSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 5
TSRT9 Reglerteknik: Föreläsning 5 Martin Enqvist Reglerteknik Institutionen för systemteknik Linköpings universitet Föreläsningar / 23 Inledning, grundläggande begrepp. 2 Matematiska modeller. Stabilitet.
Läs merPROV I MATEMATIK Transformmetoder 1MA april 2011
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Salling (7-65753) PROV I MATEMATIK Transformmetoder MA34 8 april SKRIVTID: 8-3 HJÄLPMEDEL: Formelsamling (delas ut) och miniräknare. MOTIVERA alla lösningar
Läs merSignal- och bildbehandling TSEA70
Tentamen i Signal- och bildbehandling TSEA70 Tid: 000-03-8 kl. 4-8 Lokaler: Garnisonen Ansvariga lärare: Olle Seger, Maria M Seger besöker lokalerna kl 500 och 700 tel 070/33 79 48 Hjälpmedel: Räknedosa,
Läs merVälkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 3. Sammanfattning av föreläsning 2 PID-reglering Blockschemaräkning Reglerdesign för svävande kula
Välkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 3 Sammanfattning av föreläsning 2 PID-reglering Blockschemaräkning Reglerdesign för svävande kula Sammanfattning av förra föreläsningen 2 Vi modellerar system
Läs mer6. Stabilitet. 6. Stabilitet. 6. Stabilitet. 6.1 Stabilitetsdefinitioner. 6. Stabilitet. 6.2 Poler och stabilitet. 6.1 Stabilitetsdefinitioner
Såsom framgått i de två inledande kapitlen förutsätter en lyckad regulatordesign kompromisser mellan prestanda ( snabbhet ) och stabilitet. Ett system som oreglerat är stabilt kan bli instabilt genom för
Läs merFÖRELÄSNING 13: Analoga o p. 1 Digitala filter. Kausalitet. Stabilitet. Ex) på användning av analoga p. 2 filter = tidskontinuerliga filter
FÖRELÄSNING 3: Analoga o p. Digitala filter. Kausalitet. Stabilitet. Analoga filter Ideala filter Butterworthfilter (kursivt här, kommer inte på tentan, men ganska bra för förståelsen) Kausalitet t oh
Läs merÖVNINGSTENTAMEN Modellering av dynamiska system 5hp
ÖVNINGSTENTAMEN Modellering av dynamiska system 5hp Tid: Denna övn.tenta gås igenom 25 maj (5h skrivtid för den riktiga tentan) Plats: Ansvarig lärare: Bengt Carlsson Tillåtna hjälpmedel: Kurskompendiet
Läs merExempelsamling Grundläggande systemmodeller. Klas Nordberg Computer Vision Laboratory Department of Electrical Engineering Linköping University
Exempelsamling Grundläggande systemmodeller Klas Nordberg Computer Vision Laboratory Department of Electrical Engineering Linköping University Version: 0.11 September 14, 2015 Uppgifter markerade med (A)
Läs merDT1120 Spektrala transformer för Media Tentamen
DT Spektrala transformer för Media Tentamen 77 Tentamen består av fem uppgifter där varje uppgift maximalt ger 4 p. Normalt gäller följande betygsgränser: 3:9 p, 4: 3 p, 5: 7 p Tillåtna hjälpmedel: räknare,
Läs merReglerteknik AK. Tentamen 24 oktober 2016 kl 8-13
Institutionen för REGLERTEKNIK Reglerteknik AK Tentamen 24 oktober 26 kl 8-3 Poängberäkning och betygsättning Lösningar och svar till alla uppgifter skall vara klart motiverade. Tentamen omfattar totalt
Läs merMiniräknare och en valfri formelsamling i signalbehandling eller matematik. Allowed items: calculator, DSP and mathematical tables of formulas
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA Institutionen för Elektro- och Informationsteknik Tentamen 08-05-3 SIGNALBEHANDLING i MULTIMEDIA, EITA50 Tid: 08.00-3.00 Sal: Vic A Hjälpmedel: Viktigt: Miniräknare och en valfri
Läs merFöreläsning 8, Introduktion till tidsdiskret reglering, Z-transfomer, Överföringsfunktioner
Föreläsning 8, Introduktion till tidsdiskret reglering, Z-transfomer, Överföringsfunktioner Reglerteknik, IE1304 1 / 24 Innehåll 1 2 3 4 2 / 24 Innehåll 1 2 3 4 3 / 24 Vad är tidsdiskret reglering? Regulatorn
Läs merTSRT19 Reglerteknik: Välkomna!
TSRT9 Reglerteknik: Välkomna! Föreläsning 6 Inger Erlander Klein / 25 Förra föreläsningen (föreläsning 5) Rotort plotta rötternas (polernas) läge som fnktion av någon parameter Bakhjlsstyrda cykeln (&
Läs merIndustriell reglerteknik: Föreläsning 2
Industriell reglerteknik: Föreläsning 2 Martin Enqvist Reglerteknik Institutionen för systemteknik Linköpings universitet Föreläsningar 1 / 33 1 Sekvensstyrning: Funktionsdiagram, Grafcet. 2 Grundläggande
Läs mer= e 2x. Integrering ger ye 2x = e 2x /2 + C, vilket kan skrivas y = 1/2 + Ce 2x. Här är C en godtycklig konstant.
Lösningsförslag till Tentamen, SF1633, Differentialekvationer I den 19 december 216 kl 8: - 13: För godkänt (betyg E krävs tre godkända moduler från del I Varje moduluppgift består av tre frågor För att
Läs merTSDT15 Signaler och System
TSDT5 Signaler och System DATORUPPGIFTER VÅREN 03 OMGÅNG Mikael Olofsson, mikael@isy.liu.se Efter en förlaga av Lasse Alfredsson February, 03 Denna uppgiftsomgång behandlar faltning samt system- & signalanalys
Läs merLUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA Inst. for Elektro- och Informationsteknik
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA Inst. for Elektro- och Informationsteknik Tentamen 6-6- SIGNALBEHANDLING I MULTIMEDIA, ETI65 Tid: 8.-3. Sal: Vic, - Hela Hjälpmedel: Miniräknare, formelsamling i signalbehandling
Läs merExempelsamling Grundläggande systemmodeller. Klas Nordberg Computer Vision Laboratory Department of Electrical Engineering Linköping University
Exempelsamling Grundläggande systemmodeller Klas Nordberg Computer Vision Laboratory Department of Electrical Engineering Linköping University Version: 0.1 August 25, 2015 Uppgifter markerade med (A) är
Läs merMA2047 Algebra och diskret matematik
MA2047 Algebra och diskret matematik Något om komplexa tal Mikael Hindgren 17 oktober 2018 Den imaginära enheten i Det finns inga reella tal som uppfyller ekvationen x 2 + 1 = 0. Vi inför den imaginära
Läs merÖvningar i Reglerteknik
Övningar i Reglerteknik Stabilitet hos återkopplade system Ett system är stabilt om utsignalen alltid är begränsad om insignalen är begränsad. Linjära tidsinvarianta system är stabila precis då alla poler
Läs merPROV I MATEMATIK Transformmetoder 1MA dec 2010
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Södergren, Salling PROV I MATEMATIK Transformmetoder MA0 dec 00 SKRIVTID: -9 HJÄLPMEDEL: Formelsamling (delas ut) och miniräknare. MOTIVERA alla lösningar
Läs merFrån tidigare: Systemets poler (rötterna till kar. ekv.) påverkar egenskaperna hos diffekvationens lösning.
Föreläsning 4 Stabilitet (2.5) Från tidigare: Systemets poler (rötterna till kar. ekv.) påverkar egenskaperna hos diffekvationens lösning. Definition av insignal-utsignalstabilitet: OH-bild Sats 2.1: OH-bild
Läs mer