Cirkelkriteriet (12.3)

Transkript

1 Föreläsning 3-4 Cirkelkriteriet (12.3) En situation där global stabilitetsanalys kan utföras. r + u G(s) y f( ) där f( ) är en statisk olinjäritet, t ex f(y) = 1 y 0 1 y < 0 eller Antag att: f(y) = y 2 f( ) är en statisk olinjäritet där f(0) = 0 k 1 f(y) y k 2 G(s) saknar poler i HHP. Exempel: 12

2 Cirkelkriteriet: Om frekvensfunktionen G(iω) 0 ω < ej passerar igenom eller omsluter en cirkel (symmetrisk runt real-axeln) genom punkterna 1/k 1 och 1/k 2 gäller: För r = 0 är origo en globalt asymptotisk stationär punkt för det återkopplade systemet. För r 0 är det återkopplade systemet insignal-utsignalstabilt, d v s u(t) C 1 y(t) C 2 För bevis, se boken /k 1-1/k G(iω) Obs! Cirkelkriteriet är ett tillräckligt, men ej nödvändigt villkor. 13

3 Exempel: f(e) = e, d v s linjärt med k 1 = 1 och k 2 = 1. Cirkeln blir punkten 1 i komplexa talplanet. Exempel: f begränsad då y Exempel: Relä 14

4 Beskrivande funktion (14) Exempel: Enligt cirkelkriteriet: k 1 = 0 och k 2 = 1 vilket ger att området Re s < 1 är otillåtet område. Stabiltet garanteras då Re(G(iω) > 1 ω. Vad händer då G(iω) går in i det förbjudna området? Exempel (i): Då y(0) = 1 fås att y(t) 0. G(s) = 10 (s + 1) 2 Exempel (ii): G(s) = 10 (s + 1) 3 Då y(0) = 1 fås att y(t) och u(t) börjar oscillera. Amplituden stabiliseras på en konstant nivå. 15

5 När kan självsvängning förväntas inträffa? Linjärt: Antag att det återkopplade system självsvänger, d v s e(t) = C sin ωt Detta ger y(t) = G(iω) C sin(ωt + φ) där φ = arg G(iω). Vidare ger e(t) = y(t) att e(t) = G(iω) C sin(ωt + φ + π) Jämförelse ger G(iω) = 1 arg G(iω) = 180 d v s G(iω) = 1 för någon frekvens. Nyquistkurvan passerar genom punkten 1. Olinjärt: r e f(e) w G(s) y -1 där f() är en statisk olinjäritet. Viktig observation: e(t) = C sin ωt medför att w(t) är periodisk, dock ej sinusformad. 16

6 Exempel: Mättning Kurvformen hos w(t) beror av C. Hur beskriva olinjäritetens förstärkning? Fourierserieutveckla w(t). En periodisk signal, med periodtiden T kan uttryckas som en summa av sinus och cosinustermer x(t) = a 0 + b n sin nωt + a n cosnωt n=1 n=1 där och där ω = 2π T. b n = 2 T a n = 2 T T 0 T 0 x(t) sin nωtdt x(t) cos nωtdt Detta ger Försumma övertoner där d v s w(t) b 1 (C) sin ωt + a 1 (C) cosωt +... w(t) b 1 (C) sin ωt + a 1 (C) cosωt = A(C) sin(ωt + Φ(C)) A(C) = Olinjäritetens förstärkning ges av a 2 1 (C) + b2 1 (C) Φ(C) = arctan(a 1 (C)/b 1 (C)) w(c, t) = A(C) sin(ωt + Φ(C)) A(C)/C och dess fasvridning ges av Φ(C) 17

7 Detta ger och Jämförelse ger y(t) = A(C) G(iω) C sin(ωt + φ + Φ(C)) e(t) = A(C) G(iω)C sin(ωt + φ + Φ(C) + π) G(iω) A(C) C Inför den beskrivande funktionen Villkor för självsvängning = 1 φ + Φ(C) = 180 Y f (C) = A(C) C eiφ(c) G(iω)Y f (C) = 1 d v s för något ω och något C. G(iω) = 1 Y f (C) Lösningsgång: (i) Bestäm Y f (C) för aktuell olinjäritet (ii) Lös ekvationen med avseende på ω och C. G(iω) = 1 Y f (C) (iii) Tolka resultatet, d v s avgör självsvängningens karaktär. Exempel: G(s) = 10 (s + 1) 3 18

8 (i): Enligt kompendiet Y f (C) = 2 π (asin(1/c) + 1/C 1 1/C 2 ) för C 1. Detta ger för C = 1 att Y f = 1 och 1/Y f = 1. Vidare fås då C att Y f (C) 0 och 1/Y f. 1/Y f utgör negativa realaxeln till vänster om 1. Detta ger att 1/Y f och G(iω) skär varandra. (ii): Algebraisk lösning ger att ImG(iω) = 0 då ω = 0 ω = ± 3 vilket ger T = 2π/ Vidare fås G(i 3 = Ekvationen d v s 1/Y f (C) = 1.25 Y f (C) = 0.8 ger den approximativa lösningen C = 1.4. (iii) Kurvorna skär varandra då C = 1.4 och ω = 3. Antag att systemet inledningsvis svänger med amplitud mindre är 1.4. Olinjäritetens förstärkning är större. (Punkten på 1/Y f omcirklas av G(iω).) Svängningens amplitud ökar. Antag att systemet inledningsvis svänger med amplitud större är 1.4. Olinjäritetens förstärkning är mindre. (Punkten på 1/Y f omcirklas ej av G(iω).) Svängningens amplitud minskar. Alltså: Svängningens amplitud kommer att ställa in sig på 1.4 med vinkelfrekvens 3. Stabil självsvängning. Andra fall: 19

9 Y f då C växer, d v s 1/Y f 0. 1/Y f omsluts för stora C men ej för små C. Instabil självsvängning. Exempel: f(e) = e 3. 1/Y f omsluts helt av G(iω). Signalerna växer obegränsat för alla initialtillstånd. Exempel: Olinjäritet bestående av tre räta linjer. 1/Y f omsluts ej för något C. Alla svängningar dör ut. Exempel: Exemplet ovan med G(s) = 5 (s + 1) 3 Egenskaper hos Y f : f entydig och udda f( e) = f(e) ger att Y f är reell, d v s enbart förstärkning. f komplex både förstärkning och fasvridning Exempel: Relä med hysteres, glapp. Utvidgningar av metoden: System med flera olinjäriteter. Frekvensberoende beskrivande funktion. 20