AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET. M. Enqvist TTIT62: Föreläsning 3 AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET

Transkript

1 Martin Enqvist Överföringsfunktioner, poler och stegsvar Reglerteknik Institutionen för systemteknik Linköpings universitet Repetition: Reglerproblemet 3(8) Repetition: Öppen styrning & återkoppling 4(8) Öppen styrning (styrning utan hjälp av mätningar): Välj styrsignalen u(t) så att systemet S (enligt mätsignalen y(t)) beter sig som önskat (referenssignalen r(t)) trots inverkan av störningar v(t). u S v y Är känslig för störningar och modellfel. Återkoppling: Kan göra ett system snabbare eller långsammare. Kan göra ett system mindre oscillativt. Kan minska inverkan av modellfel och störningar. Kan leda till instabilitet om man väljer en olämplig regulator.

2 Repetition: Stegsvarsspecifikationer 5(8) Laplacetransformen 6(8) y Myf y f r d er Ett alternativ till att arbeta direkt med differentialekvationer är att använda laplacetransformen:.9y f d Y(s) = L{y(t)}(s) = y(t)e st dt (s = σ + iω).y f t Fördel: Underlättar många beräkningar som t.ex. derivering, integrering och faltning. T r Ts Laplacetransformen... 7(8) Några egenskaper: L{af (t) + bg(t)} = af(s) + bg(s) L{ d f (t)} = sf(s) f () dt t L{ f (τ) dτ} = s F(s) L{f (t L)} = e sl F(s) t L{ f (t τ)g(τ) dτ} = F(s)G(s) Slutvärdesteoremet (om f (t) konvergerar): lim f (t) = lim sf(s) t s Överföringsfunktion 8(8) Betrakta en differentialekvation d n dt n y(t) + a d n dt n y(t) a d ny(t) = m b dt m u(t) b mu(t) Laplacetransformering ger (om alla initialvillkor är noll) där Y(s) = G(s) = är systemets överföringsfunktion. b s m b m s n + a s n a n U(s) b s m b m s n + a s n a n

3 Poler och nollställen 9(8) Stabilitet (8) Överföringsfunktion: G(s) = b s m b m s n + a s n = B(s) a n A(s) Systemets poler: Rötterna till A(s) = Systemets nollställen: Rötterna till B(s) = Ett system är insignal-utsignalstabilt om en begränsad insignal ger en begränsad utsignal. Ett system med proper överföringsfunktion G(s) är insignal-utsignalstabilt om och endast om alla poler till G(s) har strikt negativa realdelar. (proper = nämnarpolynomets gradtal täljarpolynomets gradtal) Exempel: Farthållare i en bil (8) Poler och stegsvar 2(8) Modellen av en bil från föreläsning och 2: mẏ(t) = u(t) αy(t) v(t) Här är y(t) = bilens hastighet [m/s] u(t) = drivande/bromsande kraft från motor/bromsar [N] αy(t) = bromsande kraft p.g.a. luftmotståndet [N] v(t) = störning som beror på vägens lutning [N] m = bilens massa [kg] Stegsvar från första T = T = 2 T = 3 st

4 Tidskonstant 3(8) Poler och stegsvar... 4(8) Parametern T i G(s) = st + är ett mått på systemets snabbhet och kallas för tidskonstant. Tidskonstanten är den tid det tar för stegsvaret att nå 63% av slutvärdet. (Denna definition gäller även för system av högre ordning.) 2 (s + )(s + 2) Poler och stegsvar... 5(8) Poler och stegsvar... 6(8) (s )(s + 2) ω 2 s 2 + 2ζω s + ω 2 ζ = ζ =.6 ζ = (ω = )

5 Poler och stegsvar... 7(8) Poler och stegsvar Sammanfattning 8(8) ω 2 s 2 + 2ζω s + ω 2 (ω = 3, ζ =.2) En pol (eller flera) i högra halvplanet ger ett instabilt system. Alla poler i vänster halvplan ger ett stabilt system. De poler som är närmast origo dominerar (oftast) dynamiken. (De långsammaste polerna bestämmer mest.) Dominerande poler långt från origo ger ett snabbt system. Dominerande poler med stor imaginärdel (jämfört med realdelen) ger ett oscillativt (slängigt) system.