Regulator. G (s) Figur 1: Blockdiagram för ett typiskt reglersystem

Transkript

1 Rs) + Σ Es) Regulator G s) R Us) Process G s) P Ys) Figur : Blockdiagram för ett typiskt reglersystem Något om PID-reglering PID-regulatorn består av proportionell del, integrerande del och deriverande del. Varje del har sin finess. Ett typiskt reglersystem visas i Fig.. Regulatorns överföringsfunktion G R s) kan för en PID-regulator skrivas G R s) = K + ) T i s +T ds Vi ska nu införa varje del P, I och D) efter hand och se vilka fördelar var och en av delarna har. P-reglering Ren proportionell reglering kan skrivas ut) = Ket) = Krt) yt)) där rt) är börvärdet och et) är reglerfelet. Styrsignalen ut) är alltså proportionell mot reglerfelet et). Ju större reglerfel desto större styrsignal. Hur mycket större bestäms av regulatorns förstärkning K. Hur beter sig reglerfelet då börvärdet är ett enhetssteg rt) = θt)? Det beror naturligtvis inte bara på förstärkningen K utan också på överföringsfunktionen hos det vi ska reglera processen) dvs G p s). Om K inte är för stort kommer stegsvaret utsignalen från processen då insignalen är ett enhetssteg) att svänga in sig mot ett bestämt värde dvs det återkopplade systemet är stabilt). Vilket värde svänger då reglerfelet in sig mot i det fallet? För att ta reda på detta används slutvärdesteoremet: lim et) = lim ses) t s 0

2 För att kunna göra detta måste Es) tas fram: Es) = +KG p s) Rs) = +KG p s) s Nu kan det kvarstående reglerfelet beräknas: lim t et) = limses) = lim s s 0 s 0 +KG p s = +KG p 0) = +Kk 0 där k 0 = G p 0) är den statiska förstärkningen. Lägg märke till att felet aldrig kan bli riktigt 0 men genom att välja K stort kan felet göras litet. För stora K-värden kan ge upphov till oscillationer eller till och med instabilitet. Känsligheten för brus ökar också med förstärkningen K. Därför är stora värden på K ingen lösning för att få ner det kvarstående reglerfelet. Reglerfelet et) kan aldrig riktigt bli 0 eftersom då skulle ju också styrsignalen ut) = Ket) bli noll. PI-reglering Ett sätt att råda bot på problemet med kvarstående reglerfel är att sätta in något slags minne som kommer ihåg hur mycket styrsignalen måste höjas för att ärvärdet yt) ska ökas upp till börvärdet rt). Ett sådant minne är en integrator. Den nya styrlagen blir t t ) ut) = Ket)+k i eτ)dτ = K et)+ Ti eτ)dτ 0 Genom att laplacetransformera kan överföringsfunktionen för PI-regulatorn listas ut: Us) Es) = G Rs) = K + ) T i s Nu ställer vi samma fråga som för P-regulatorn: Hur stort blir kvarstående reglerfelet då börvärdet är ett enhetssteg när en PI-regulator används? Es) = Slutvärdesteoremet ger då lim t et) = limses) = lim s 0 +G R s)g p s) Rs) = +K+ )G T i s ps) s s 0 s s s+ks+/t i )G P s) 0 s = lim s 0 s s+ks+/t i )G P s) = 0 förutsatt att G P 0) 0, dvs processens statiska förstärkning får inte vara 0. Detta visar att integralverkan i regulatorn garanterar eliminering av reglerfelet i de fall då G p 0) 0 och, givetvis, under förutsättning att det återkopplade systemet är stabilt. 2

3 Reglerfel vid P reglering et) t PD-reglering Figur 2: Reglerfel vid P-reglering Vid enbart proportionell reglering P-reglering) gäller oftast grundregeln att förstärkningen K bör sänkas om det är för mycket svängningar i utsignalen. Detta leder dock till att systemet blir långsammare. Om man vill ha ett snabbare system som ändå är väldämpat dvs inte så mycket svängningar) så får man ta till något mer än P-reglering. I Fig. 2 visas reglerfelet för ett system med P-reglering där K är lite för stort. Observera att styrsignalen ut) = Ket) bara beror av själva reglerfelet vid en viss tidpunkt. Detta innebär att styrsignalen får samma värde t.ex. vid de två första tidpunkterna för vilket reglerfelet har värdet 0.2 se Fig. 2). Detta verkar ju rent av dumt eftersom det vid första tidpunkten t ) är duktig nerförsbacke negativ derivata) medan det är uppförsbacke positiv derivata) vid den andra tidpunkten t 2 ). Det verkar vara befogat att ta hänsyn till derivatan av reglerfelet i styrlagen. Om man lägger till en term till i styrsignalen så att styrlagen blir ) de ut) = Ket)+k d dt t) = K de et)+t d dt t) 3

4 Reglerfel vid PD reglering et) t Figur 3: Reglerfel vid PD-reglering så blir det helt plötsligt möjligt att få olika värden på styrsignalen ut) vid de båda tidpunkterna t resp. t 2 ). Detta gör att svängningarna i reglerfelet kan dämpas ut se Fig. 3). Någon kanske undrar om det inte finns I-del också i regulatorn, eftersom reglerfelet verkar konvergera mot 0. Så är dock inte fallet, utan reglerfelet blir väldigt litet till följd av att förstärkningen är ganska stor K = 50) i båda fallen. Det är i själva verket systemet G P s) = s+) 2 somregleratsmedp-regulatorng R s) = 50respektivePD-regulatornG R s) = 50+0s K=50 och T d = 0.2 s). PID-reglering Kombinationen av alla tre delarna P, I och D) resulterar således i följande styrlag: ut) = K et)+ t de eτ)dτ +T d T i dt t) 0 4

5 Efter laplacetransformation av detta samband kan styrlagen uttryckas så här: Us) = K + ) T i s +T ds Es) = G R s)es) Detta är standardformen av PID-regulatorn. Det finns ett par olika modifieringar av denna när det gäller brister hos derivatadelen D-delen) av regulatorn. Dessa är dels pulser spikar ) som dyker upp i styrsignalen pga deriveringen av de stegändringar som ofta förekommer i börvärdet och dels den höga känsligheten för brus i ärvärdet. Motsvarande två modifieringar blir då följande:. Derivering av börvärdet tas bort: Us) = K + ) Es) T d sys) T i s 2. Lågpassfiltrering införs för derivatadelen: Us) = K + ) Es) T ds T i s +T f s Ys) Tidskonstanten i derivatadelens lågpassfilter väljs som T f = T d N där den s.k. filterfaktorn N ofta väljs mellan 5 och 0. Observera att då N blir det vanlig derivering igen. Allmänna inställningsregler För de tre grundparametrarna K, T i och T d gäller följande grundregler: Åtgärd Öka K Minska T i Öka T d Resultat + Snabbare insvängning + Mindre kvarstående reglerfel Sämre stabilitet mer svängningar) Ökad bruskänslighet + Snabbare eliminering av reglerfelet Sämre stabilitet mer svängningar) + Bättre stabilitet mer dämpat, mindre svängningar) Extremt ökad bruskänslighet 5

6 Speciella inställningsregler En klassisk metod från 942) är Ziegler-Nichols självsvängningsmetod. Den går ut på följande:. Återkoppla systemet proportionellt justera förstärkningen K så att systemet precis självsvänger varken avtagande eller ökande amplitud). Det räcker att ge någon puls eller ett steg in till systemet för att testa detta. 2. Notera dels förstärkningen K c och dels periodtiden T o för svängningen. 3. Ställ in regulatorparametrarna enligt följande tabell: Regulatortyp K T i T d P 0.5K c PI 0.45K c T o /.2 PID 0.6K c T o /2 T o /8 Metoden ger oftast ett ganska dåligt dämpat system men den ger en rimlig parameterinställning att utgå ifrån för att justera in en bättre inställning. Under de dryga 70 år som gått sen metoden lanserades har det dykt upp ett otal olika varianter och modifieringar av varierande kvalitet. Det finns dels metoder baserade på självsvängning som ovanstående) och dels metoder baserade på stegsvaret för systemet. Ziegler-Nichols hittade också på en stegsvarsbaserad metod som oftast är en aning sämre än deras självsvängningsmetod. Exempel på hur en stegsvarsbaserad metod kan se ut Som det nämnts i föregående avsnitt finns det många inställningsregler, såväl självsvängningsbaserade som stegsvarsbaserade. Därför ska det här bara ges ett exempel på hur en stegsvarsbaserad metod kan se ut. I Fig. 4 visas ett stegsvar för ett system av ordning 3 med tidsfördröjning tillsammans med stegsvaret för ett system av första ordningen med tidsfördröjning streckad kurva) som utgör en approximation till det heldragna stegsvaret. Approximationen har tidsfördröjningen L = 3.5 s och tidskonstanten T = 7.5 s. Statiska förstärkningen k 0 är 2 för båda systemen. Approximationsförfarandet är standardmässigt och går ut på att dra tangenten till inflektionspunkten maximalderivatapunkten ) hos det ursprungliga stegsvaret se Fig. 4). Tangentens skärning med tidsaxeln blir då L tidsfördröjningen för approximationen) och tidskonstanten för approximationen utgörs av bredden på den rätvinkliga triangel vars höjd är k 0 och vars hypotenusa utgör en del av tangentlinjen. I det aktuella fallet erhålles således tidskonstanten som 3.5 = 7.5 s. Denna approximation är av låg kvalitet. 6

7 2.0 Stegsvar med två olika approximationer yt) Original Approximation kass) Approximation 2 bra) t Figur 4: Stegsvar i original tillsammans med två approximativa stegsvar Enbättreapproximationnr2iFig.4)erhållesgenomattväljaT = 0.8t y=0.8k0 t y=0.3k0 ) 3.78sochL = t y=0.3k T 4.48sdet egentliga systemets 2 överföringsfunktion är e 2s ). Interpolation sker vid 30% och 80%. +2s) 3 En stegsvarsbaserad metod för bestämning av PID-parametrarna kan då se ut så här []:. Välj K = 0.4 ) 2 8T + k 0 5L 2. Välj T i = 2Kk 0 L+T) +2Kk 0 +αkk 0 ) 2, 0 α För små värden på L/T och med prioritet på laststörningssvar väljs α närmare, annars väljs α = Välj T d = 0.3 e 0.7L/T )T i 7

8 Referens [] M. Lilja, A Simple PID Control Design for Systems with Time Delay, Teknisk rapport, Avdelningen för Industriell Elektroteknik och Automation, LTH, 207, 8