Lösningar till tentamen i Industriell reglerteknik TSRT07 Tentamensdatum: Martin Enqvist

Transkript

1 ösningar till tentamen i Industriell reglerteknik TSRT7 Tentamensdatum: Martin Enqvist a) Z-transformering av sambanden som beskriver den tidsdiskreta regulatorn ger Iz) = KT Sz T i z ) Ez) = Kz 2z 2 Ez) och Uz) = KEz) + Iz) = K 3z 2 2z 2 Ez) Om man först beräknar den tidsdiskreta motsvarigheten G d z) till den tidskontinuerliga överföringsfunktionen Gs) kan man bestämma gränsen för K med hjälp av nyquistkurvan för systemet F z)g d z), där F z) = 3z 2 2z 2 Det visar sig att detta system har amplitudmarginalen /2 472, och eftersom det öppna systemet är stabilt innebär det att man måste välja K mindre än 472 för att det slutna systemet ska vara stabilt Matlab-kod: G=tf,[ 2 2]); Gd=c2dG,); F=tf[3-2],[2-2],) nyquistf*gd) b) En smithprediktor innehåller en modell som simuleras när regulatorn är inkopplad och därför fungerar denna reglerstrategi bara för stabila system Eftersom det aktuella systemet är instabilt är det inte möjligt att använda en smithprediktor c) Eftersom det slutna systemet har en inre loop som reglerar gasflödet och en yttre som reglerar temperaturen är detta ett typiskt exempel på kaskadreglering Variationer i gastrycket kan kaskadregulatorn kompensera för innan de har hunnit påverka temperaturen särskilt mycket och i detta fall tjänar man alltså på att mäta och återkoppla f Variationer i vattenflödet har ingen effekt på f och därför är det inte någon fördel att använda kaskadreglering för att kompensera för dessa d) Eftersom regulatorförstärkningen K n är tidsvariabel och bestäms av en signal z n är detta en PI-regulator med parameterstyrning Om z n mäts med en extra sensor kommer reglersystemet att kunna påverkas av brus och fel i denna sensor Jämfört med en vanlig PI-regulator finns det en sensor till som kan gå sönder eller påverkas av störningar 2 a) Genom att rita upp stegsvaret för systemet kan man bestämma modellparametrarna, K p och T enligt följande principer Dödtiden är den tid under vilken stegsvaret ungefär) är lika med noll Den statiska förstärkningen K p är det värde som stegsvaret närmar sig när tiden går mot oändligheten Tidskonstanten T väljs så att systemets och modellens stegsvar båda ungefär) har värdet 63K p vid tidpunkten + T Systemets och modellens stegsvar visas i figur Treparametermodellen blir Ĝs) = 2s + e s, vilket ger regulatorparametrararna K = 4 och T i = 2 Matlab-kod: G=tf[- ],[ 3 2]); Kp=; =; T=2; Ghat=tfKp,[T ], InputDelay,); stepg,ghat) lambda=; K=T/Kp*lambda*T+)) Ti=T Ver: 2 april 28

2 Figur : Stegsvaret för systemet heldraget) och treparametermodellen streckat) i uppgift 2a) b) När referenssignalen skalas med α i P-delen får man en regulator med två frihetsgrader Regulatorns överföringsfunktioner är F r s) = K α + ) T i s och F y s) = K + ) T i s I simuleringarna kan man se att ett minskat α ger en minskad översläng i stegsvaret men samtidigt en större tidskonstant I figur 2 visas det slutna systemets stegsvar för två val av α Matlab-kod: Fy=K*tf[Ti ],[Ti ]); Gc=feedbackFy*G,); a=; Fr=K*tf[a*Ti ],[Ti ]); Gcmod=minrealFr*G/+Fy*G)); stepgc,gcmod) Figur 2: Stegsvaret för det slutna systemet med α = heldraget) och α = streckat) i uppgift 2b) 3 Vid ett enhetssteg i referenssignalen blir reglerfelet momentant lika med och styrsignalen som genereras av P-regulatorn blir samtidigt K Detta medför att det största värde på P-regulatorns förstärkning som man kan välja utan att styrsignalen mättas vid ett enhetssteg i referenssignalen är Med denna P-regulator kan man sedan välja PI-regulatorns parametrar genom att simulera det slutna systemet för några olika inställningar Till exempel verkar K = 2 och T i = 3 fungera ganska bra Referenssignalen till PI-regulatorn ska vara noll eftersom u ska ligga i ett intervall som är symmetriskt runt noll Ett simulinkschema för simulering av det slutna systemet visas i figur 3 och det slutna systemets stegsvar samt styrsignalen u visas i figur 4 4 a) Vid regulatordesign enligt IMC-metoden ska man välja Qs) = Gs) Gs) = s + 8s Ver: 2 april 28

3 Scope Step Gain 4 s+ Transfer Fcn Constant -2*[3 ] 3s Transfer Fcn s+ Transfer Fcn 2 Transport Delay Add Scope Figur 3: Simulinkschema till uppgift a) Stegsvaret för det slutna systemet 5 5 b) Styrsignalen u vid ett steg i referenssignalen för y Figur 4: Plottar som visar att mitthållningsregulatorn i uppgift 3 fungerar som det är tänkt för att få ett slutet system med de önskade referensföljningsegenskaperna IMC-regulatorns överföringsfunktion blir Qs) F IMC s) = Qs)Gs) = 25 + ) s Vid designen av den andra regulatorn ska man välja en framkoppling med referensmodellen och framkopplingslänken G m s) = Gs) = 2s + F f s) = G ms) Gs) = s + 8s + 4 för att få de önskade referensföljningsegenskaperna I detta fall kan man alltså använda sig av ideal framkoppling PI-regulatorn med framkoppling ges av överföringsfunktionerna G m s), F f s) och F PI s) Stegsvaren som man erhåller med dessa båda regulatorer visas i figur 5 De båda regulatorerna ger exakt samma referensföljningsegenskaper Matlab-kod: G=tf4,[ ]); Gtilde=tf,[2 ]); Fpi=tf[5 5],[2 ]); Q=minrealGtilde/G); Fimc=minrealQ/-Q*G)); Gcimc=minrealfeedbackFimc*G,)); Gm=Gtilde; Ff=minrealGm/G); Gryff=minrealG*Fpi*Gm+G*Ff)/+G*Fpi)); stepgcimc,gryff) 3 Ver: 2 april 28

4 Figur 5: Stegsvaren för de båda slutna systemen i uppgift 4a) sammanfaller helt b) Överföringsfunktionerna från en insignalstörning till utsignalen i de båda slutna systemen ges av uttrycken Gs) Gs) respektive + Gs)F IMC s) + Gs)F PI s) De utsignaler som man får vid stegstörningar på systemets ingång med de båda regulatorerna visas i figur 6 Regulatorn där den ursprungliga PI-regulatorn har kompletterats med en framkoppling visar sig ge klart bättre störningsundertryckning än IMC-regulatorn Matlab-kod: Su=feedbackG,Fimc); Su2=feedbackG,Fpi); stepsu,su2) Figur 6: Utsignalen vid en stegstörning på systemets ingång då IMC-regulatorn heldragen) och PIregulatorn med framkoppling streckad) används i uppgift 4b) 5 a) Man kan till exempel välja regulatorparametrarna N = 4, ) Q = 68 och Q 2 = Plottar som visar att det slutna systemet uppfyller de ställda kraven visas i figur 7 Matlab-kod: A=[-2 2;3-8]; B=[;]; C=eye2); D=zeros2,); Gsys=ssA,B,C,D); M=eye2); x=[;2]; Ts=5; Gsysd=c2dGsys,Ts); F=GsysdA; G=GsysdB; 4 Ver: 2 april 28

5 a) Tillståndet x streckat) och x 2 heldraget) b) Insignalen u Figur 7: Plottar som visar att designkraven i uppgift 5a) är uppfyllda N=4; Q=diag[ 68]); Q2=; ubounds=[-2 2]; b) MPC-algoritmen ska använda tillståndsbeskrivningen xk + ) = F xk) + Gũk), där F = F G eftersom den beskriver det resulterande systemet när den stabiliserande återkopplingen har inkluderats Med samma vektornotation som i kurskompendiet kan styrsignalsekvensen skrivas som U = X + Ũ = Fxk) + GŨ) + Ũ, där F = Ĩ F F N G, G = F G G F N 2 G F G G och = Vidare kan styrsignalbivillkoret skrivas som U = Fxk) + GŨ) + Ũ C, där C är en N-dimensionell vektor med alla element lika med c Denna olikhet kan även skrivas som I G)Ũ C + Fxk) Man ska alltså välja Aũ = I G och bũ = C + Fxk) 5 Ver: 2 april 28