TSRT09 Reglerteori. Sammanfattning av föreläsning 5: RGA, IMC. Föreläsning 6. Sammanfattning av föreläsning 5: LQG. Föreläsning 6: LQ-reglering

Transkript

1 Reglerteori 7, Föreläsning 6 Daniel Axehill / 4 Sammanfattning av föreläsning 5: RGA, IMC TSRT9 Reglerteori Föreläsning 6: LQ-reglering Daniel Axehill Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet RGA mäter korskopplingen/interaktionen mellan in- och utsignaler i ett flervariabelt system. Decentraliserad reglering Gör en regulator för ett system med flera in- och utsignaler genom att låta en utsignal styra en insignal. Resultatet blir ett antal oberoende envariabel-loopar. RGA kan användas för att välja vilken utsignal som ska styra vilken insignal. Frikopplad reglering Kan användas om naturliga par av in- och utsignaler saknas. Skapa ett nytt virtuellt system som är nära diagonalt som kan regleras m.h.a. en decentraliserad regulator. IMC-regulator: innehåller en modell G av det reglerade systemet och man återkopplar y Gu, d.v.s. inverkan av modellfel och störningar. Reglerteori 7, Föreläsning 6 Daniel Axehill / 4 Sammanfattning av föreläsning 5: LQG Reglerteori 7, Föreläsning 6 Daniel Axehill 3 / 4 Föreläsning 6 Modell: ẋ = Ax + Bu + Nv, y = Cx + v, z = Mx v, v vita brus med intensiteter R, R Kriterium: Minimera E(z T Q z + u T Q u)=e(x T Q x + u T Q u), Det är ekvivalent att minimera (ˆx T Qˆx + u T Q u)dt Q = M T Q M LQG. Riccatiekvationen och dess lösning. Inställning av en LQ/LQG-regulator i praktiken. Egenskaper hos LQ- och LQG-regulatorer. för systemet ˆx = Aˆx + Bu, ˆx() givet

2 Reglerteori 7, Föreläsning 6 Daniel Axehill 4 / 4 LQG: Hur ser den optimala regulatorn ut? Optimal lösning: u = Lˆx, L = Q BT S,därS ges av algebraiska Riccatiekvationen (ARE) och ˆx ges av Kalmanfiltret. A T S + SA + Q SBQ BT S = Den fullständiga regulatorn ( F y ) på tillståndsform: eller som överföringsfunktion ˆx = Aˆx + Bu + K(y C ˆx) u = Lˆx F y (s) =L(sI A + BL + KC) K Reglerteori 7, Föreläsning 6 Daniel Axehill 5 / 4 Att lösa Riccatiekvationen Kan man alltid lösa A T S + SA + Q SBQ BT S = så att det återkopplade systemets systemmatris A BQ BT S har sina egenvärden strikt i vänster halvplan? Testexempel: [ ] [ ] [ ] A =, B =, Q =, Q = Reglerteori 7, Föreläsning 6 Daniel Axehill 6 / 4 Att lösa Riccatiekvationen, forts. Reglerteori 7, Föreläsning 6 Daniel Axehill 7 / 4 Lösbarhet hos Riccatiekvationen» [L,S,E]=lqr(A,B,Q,Q)??? Error using ==> lti.lqr The plant model cannot be stabilized by feedback or the optimal design problem is ill posed. Här är x instabilt och icke-styrbart, d.v.s. icke-stabiliserbart. Ändra exemplet så att A = [ ] så blir systemet styrbart och en lösning existerar. Om (A, B) är stabiliserbart (instabila tillstånd är styrbara) (A, Q ) är detekterbart (instabila tillstånd syns i kriteriet) så finns en lösning S till A T S + SA + Q SBQ BT S = så att kriteriet E(x T Q x + u T Q u) minimeras och A BQ BT S har alla egenvärden strikt i vänster halvplan.

3 Reglerteori 7, Föreläsning 6 Daniel Axehill 8 / 4 Likheter mellan Kalmanfiltret och LQ Kalmanfilter: LQ-regulator: AP + PA T PC T R CP + NR N T = K = PC T R A T S + SA SBQ BT S + M T Q M = L = Q BT S ( L T = SBQ ) P S, A A T,C T B, N M T,K L T,Q R,Q R Båda problemen kräver alltså lösningen till en ARE. Reglerteori 7, Föreläsning 6 Daniel Axehill 9 / 4 Praktisk användning Oftast måste de riktiga kraven översättas till krav på Q, Q, R och R ( straffmatriserna ). Oftast väljs alla dessa matriser som diagonalmatriser. Stort Q (litet Q ) ökar bandbredden hos systemet, men ökar också insignalstorleken. Med de olika diagonalelementen i Q och Q kan man balansera reglernoggrannheten, resp. insignaleffekten i de olika komponenterna mot varandra. Stort R (litet R ) minskar känslighetsfunktionen och ökar den komplementära känslighetsfunktionen. Eventuellt måste man färga system- eller mätstörningarna för att få S eller T bra. I praktiken väljs straffmatriserna i en iterativ process där man testar olika värden och utvärderar resultaten. Reglerteori 7, Föreläsning 6 Daniel Axehill 9 / 4 Praktisk användning Reglerteori 7, Föreläsning 6 Daniel Axehill / 4 Exempel: DC-servo Det är förhållandet mellan Q och Q, resp. förhållandet mellan R och R som har betydelse. D.v.s. multipliceras både Q och Q med t.ex. blir regulatorn densamma, bortsett från ev. numeriska skillnader. I regel måste man jobba med tiopotenser när man ändrar storleken på viktsmatriserna för att kunna se väsentliga skillnader i det slutna systemet. ẋ = y = [ [ ] x + ] x + e x =vinkelläge, x =vinkelhastighet v systembrus, e mätbrus [ ] u + [ ] v Systembruset kommer in på ingången till systemet (kommer in som u). Inget systembrus på ekvationen som knyter samman hastighet och läge, den är exakt en integrator.

4 Reglerteori 7, Föreläsning 6 Daniel Axehill / 4 Exempel: DC-servo x =vinkelläge, x =vinkelhastighet Grundregulator (): [ ] z = x, Q =, Q =., R =, R =.. Snabb regulator (): Q =. (lägre straff på styrsignalen). Långsam regulator (): R =(lita mindre på mätningar/referens). Poler, grundregulator:.353 ±.537i (dubbelt). Poler, snabb regulator:.93 ±.794i,.353 ±.537i. Poler, långsam regulator:.353 ±.537i,.866 ±.5i. Reglerteori 7, Föreläsning 6 Daniel Axehill / 4 DC-servo: Regulator (F y ) & stegsvar : nominell, : mindre Q (snabbare), : större R (långsammare) Fy arg Fy 5 5 stegsvar t F y till vänster. Stegsvaret till höger (förutsätter att F r = F y ). Reglerteori 7, Föreläsning 6 Daniel Axehill / 4 DC-servo: S & T : nominell, : mindre Q (snabbare), : större R (långsammare) Reglerteori 7, Föreläsning 6 Daniel Axehill 3 / 4 DC-servo: Lågfrekvent störning på ingången Modelleras som vitt brus genom t.ex. systemet S 3 T 3. s +. Utökad tillståndsbeskrivning: ẋ = x + u + v.. y = [ ] x + e S (utsignalstörning styrd signal) till vänster, T till höger (mätstörning styrd signal). Här är alltså det vita systembruset utbytt mot färgat systembrus.

5 Reglerteori 7, Föreläsning 6 Daniel Axehill 4 / 4 DC-servo: Brusmodellen formar S och T Design för vit jämfört med lågfrekvent störning på ingången. S (abs) 3 S 4 3 ω (rad/sec) T (abs) 4 T 6 ω (rad/sec) Lågfrekvent processbrus pressar ner S för låga frekvenser. Avsaknad av högfrekvent processbrus pressar ner T för höga frekvenser (ty mätningen upplevs som sämre än modellen där). Alltså: Färgat brus ger ytterligare frihetsgrader att forma S, T,... Reglerteori 7, Föreläsning 6 Daniel Axehill 5 / 4 Referenssignalen Allmän metodik: Tag reda på spektrum för r. Beskriv r som vitt brus genom ett linjärt system. Beskriv detta linjära system på tillståndsform och för in det i den ursprungliga tillståndsmodellen, d.v.s. r betraktas som ett tillstånd i modellen. Betrakta y och r som mätta signaler till detta system. Kör LQG-maskineriet. Resultatet blir en återkoppling från ett Kalmanfilter där r och y är insignaler, d.v.s. något som är på formen U(s) =F r (s)r(s) F y (s)y (s) Reglerteori 7, Föreläsning 6 Daniel Axehill 6 / 4 Styckvis konstant referenssignal Reglerteori 7, Föreläsning 6 Daniel Axehill 7 / 4 Varför LQG? Om referenssignalen är konstant ( ) kommer normalt inte u att ha medelvärdet noll. Det är då naturligt att modifiera kriteriet till E ( (z r) T Q (z r)+(u u (r)) T Q (u u (r)) ) där u (r) är den styrsignal som behövs för att i stationaritet ge z = r. Resultat: u = Lˆx + L r r där L beräknas som om r =och L r ges av L r =(M(BL A) B) (om z och u har samma dimension). Trots att LQG ger en optimal regulatorsyntes måste man i praktiken iterera på straffmatriserna. Vad vinner man då? Man får alltid ett stabilt slutet system. (Givet att Q, Q >, R, R >, systemet är stabiliserbart och detekterbart.) System med flera in- och utsignaler är lika enkla att hantera som envariabla. Det återkopplade systemet får vid mätta tillstånd (ej skattade) automatiskt en betydande robusthet mot störningar och modellfel på ingången.

6 Reglerteori 7, Föreläsning 6 Daniel Axehill 8 / 4 Ren tillståndsåterkoppling: LQ Reglerteori 7, Föreläsning 6 Daniel Axehill 9 / 4 Stabilitetsmarginaler: LQ (utan observatör) Om man mäter hela tillståndsvektorn x med bra mätgivare behövs inget Kalmanfilter, utan regulatorn blir.5 u = Lx Här blir (eftersom x nu betraktas som utsignal) Nyquistdiagram för G o (s):.5.5 G(s) =(si A) B, F y = L Till exempel blir känslighetsfunktionen på ingången S u (s) =(I+F y (s)g(s)) =(I+G o (s)), G o (s) =L(sI A) B Alla nyquistdiagram för ren LQ ligger alltid utanför den gröna cirkeln. Oändlig amplitudmarginal. Minst 6 fasmarginal. (när återkopplingsslingan bryts upp vid ingången) Reglerteori 7, Föreläsning 6 Daniel Axehill / 4 Robusthet hos ren LQ Faktum : Låt L bestämmas som en optimal återkoppling för några A, B, Q,Q och låt Reglerteori 7, Föreläsning 6 Daniel Axehill / 4 Stabilitetsmarginaler: LQG (med observatör) G o (s) =L(sI A) B Då gäller (I + G o ( iω)) T Q (I + G o (iω)) Q Speciellt för skalärt u: S(iω), alla ω T (iω), alla ω oberoende av Q och Q. Nyquistdiagram för G o (iω): avståndet till större eller lika med. Konsekvenser: Stor okänslighet mot störningar och modellfel på ingången. God robusthet. IEEE Transactions on Automatic Control, Vol 3, No. 4, August 978.

7 Reglerteori 7, Föreläsning 6 Daniel Axehill / 4 För LQG används modifikationen LTR Reglerteori 7, Föreläsning 6 Daniel Axehill 3 / 4 LTR-kretsformning Faktum : Välj K = ρb. Då gäller G o,lqg (s) =L(sI A + BL + ρbc) ρbc(si A) B då ρ. L(sI A) B = G o,lq (s) Istället för att manuellt välja K = ρb kan man genom ett visst val av N och R få Kalmanfiltret att ge ett K ρb. Konsekvens: Man kan modifiera Kalmanfiltret så att känsligheten på ingången närmar sig den man har för ren LQ. Detta sker dock på bekostnad av filteregenskaperna. Procedur:. Välj Q och Q så att den ideala kretsförstärkningen ger bra känslighets- och robusthetsegenskaper.. Välj N = B och R = αr med α så stor att den faktiska kretsförstärkningen tillräckligt nära stämmer överens med den ideala. Proceduren kräver att antalet in- och utsignaler är lika. Reglerteori 7, Föreläsning 6 Daniel Axehill 4 / 4 Flervariabel reglering... ABB Multimove Daniel Axehill Reglerteori 7, Föreläsning 6 (ver..8).liu.se