övningstentamen I DYNAMISKA SYSTEM OCH REGLERING

Transkript

1 övningstentamen I DYNAMISKA SYSTEM OCH REGLERING SAL: - TID: mars 27, klockan 8-2 KURS: TSRT2 PROVKOD: TEN INSTITUTION: ISY ANTAL UPPGIFTER: 6 ANSVARIG LÄRARE: Inger Erlander Klein, BESÖKER SALEN: 9.3,.3 KURSADMINISTRATÖR: Ninna Stensgård, tel , ninna.stensgard@liu.se TILLÅTNA HJÄLPMEDEL: Läroboken Glad-Ljung: Reglerteknik, grundläggande teori med inläsningsanteckningar, Kompendium Dynamiska system och reglering med inläsningsanteckningar tabeller, formelsamling, räknedosa utan färdiga program. LÖSNINGSFÖRSLAG: Anslås efter tentamen på kursens hemsida. VISNING av tentan sker i Ljungeln (B-huset, A-korridor mellan ingång 25 och 27). PRELIMINÄRA BETYGSGRÄNSER: betyg 3 4?? poäng betyg 4 9?? poäng betyg 5 23?? poäng OBS! Lösningar till samtliga uppgifter ska presenteras så att alla steg (utom triviala beräkningar) kan följas. Bristande motiveringar ger poängavdrag. Lycka till!

2

3 . (a) Hur många tillståndsvariabler behövs för att skriva G(s) = 7 s 4 + s 3 + 3s 2 + 5s + 2 på tillståndsform? Varför? (b) En process ges av Y (s) = G(s)U(s) där G(s) = s + 2 s 2 + 2s + Ange systemets poler och nollställen. Är systemet stabilt? (3p) 2. (a) Vi vill veta hur mycket en axel har vridigt sig dvs dess rotationsvinkel θ(t). Till vårt förfogande har vi ett gyroskop somm mäter rotationshasigheten ω(t) där ω(t) = θ(t). Antag att axeln vrider sig med en konstant rotationshastighet ω och att vi vid mätningen av rotationshastigheten med gyroskopet får ett konstant biasfel b. I utgångsläget är vinkeln noll dvs θ() =. Hur kommer vår uppmätta rotationsvinkel bero på biasfelet b? (3p) (b) Vilka fördelar resp. nackdelar har D-delen i en PID-regulator? 3. (a) Man vill modellera en process med överföringsfunktionen G(s) = K P st + För att bestämmak P och T låter man insignalen till systemet vara ett steg med amplitud. Då fås utsignalen i figur. Bestäm K P och T! (3p) (b) Man vill ta fram en PI-regulator t u(t) = K (e(t) + TI ) e(τ)dτ + T d ė(t) för processen i uppgift 3a med hjälp av lambda-tuning. Bestäm K och T i så att det återkopplade systemet blir dubbelt så snabbt jämfört med det öppna systemet. 4. (a) Antag att vi ska styra ett visst system med hjälp av en dator dvs en samplande regulator. I figur 2 finns två typiska signaler som kan uppträda i systemet. Hur snabbt behöver vi sampla och varför? (b) I figur 3 finns en signal som har mätts upp i ett visst system. Signalen filtreras och resultatet (dvs den fitrerade signalen) finns i figur 4. I figur 5 och figur 6 finns bodediagram för två olika filter. Vilket filter har använts? Motivera ditt svar. (3p)

4 4 Step Response Amplitude Time (sec) Figur : Stegsvar till uppgift 3a. 2

5 Figur 2: Signaler till uppgift 4a. 3

6 Amplitude Amplitude Time (seconds) Figur 3: Ofiltrerad signal till uppgift 4b Time (seconds) Figur 4: Filtrerad signal till uppgift 4b. 4

7 Magnitude (db) Magnitude (db) Bode Diagram Frequency (rad/s) Figur 5: Bodediagram till uppgift 4b. Bode Diagram Frequency (rad/s) Figur 6: Bodediagram till uppgift 4b. 5

8 u y Figur 7: Drivmekanism i uppgift En drivmekanik i en maskin består av två hjul förbundna med en drivrem enligt figur 7. Som insignal och utsignal betraktas vinkeln hos det första respektive andra hjulet. Systemet kan då beskrivas med differentialekvationen Jÿ(t) + fẏ(t) + ky(t) = ku(t) där J betecknar tröghetsmomentet hos det andra hjulet. Koefficienterna f och k betecknar friktionskoefficienten för det andra hjulet respektive elasticitetskoefficienten hos remmen. Antag J =, f = och k = 2. Inför tillståndsvariablerna x (t) = y(t) och x 2 (t) = ẏ(t) och sätt upp systemet på tillståndsform. Bestäm en tillståndsåterkoppling på formen u(t) = Lx(t) + r(t) sådan att det återkopplade systemets poler placeras i 2 ± 2i. (5p) 6. En byggfirma i Linköping har fått i uppgift att bygga in en hiss i ett flerfamiljshus i Valla. Firman som bygger hissen har en modell av hur hissen beter sig då den ska stå still vid en viss våning. Överföringsfunktionen från momentreferens på den elektríska motor som driver hissen till hissens läge ges av G(s) = ms 2 + ds + k där m = är hissens massa, d = dämpningen i hissens wire och k = wirens fjäderkonstant. Antag att hissen styrs med en PD-regulator U(s) = F (s)(r(s) Y (s)) där F (s) = K P + K D s 6

9 (a) Rita blockschema för det återkopplade systemet och ta fram det återkopplade systemets överföringsfunktion. (3p) (b) Antag att regulatorparametrarna K P och K D är valda så att det återkopplade systemet är stabilt. Vad blir lim t y(t) när referenssignalen r(t) är ett enhetssteg? 7