TENTAMEN: DEL A Reglerteknik I 5hp

Transkript

1 TENTAMEN: DEL A Reglerteknik I 5hp Tid: Torsdag 9 mars 05, kl Plats: Fyrislundsgatan 80, sal Ansvarig lärare: Hans Norlander, tel Tillåtna hjälpmedel: Kursboken (Glad-Ljung), miniräknare, Laplace-tabell och matematisk formelsamling. Examinationen består av två delar, del A och del B. För att bli godkänd krävs att man är godkänd på del A, och för detta krävs godkänt på varje uppgift. Del B är frivillig och ges endast vid ordinarie tentatillfällen (vid respektive kurstillfällen). Preliminära betygsgränser: Betyg 3: Godkänt på del A Betyg 4: Godkänt på del A och minst 0 poäng på del B (inkl. bonuspoäng) Betyg 5: Godkänt på del A och minst 8 poäng på del B (inkl. bonuspoäng) OBS: Svar och lösningar/motiveringar ska skrivas på angiven plats i detta provhäfte, och provhäftet ska lämnas in. Lösningarna ska vara tydliga och väl motiverade (om inget annat anges). LYCKA TILL! Tentamenskod Utbildningsprogram Bordsnummer (alt. namn och personnummer) Termin och år då du först registrerades på kursen Klockslag för inlämning Resultat: Uppg. Uppg. Uppg. 3 Del A G/U G/U G/U G/U

2 Uppgift Betrakta följande fyra överföringsfunktioner: ( ) = + + ( ) = + + 3( ) = + + 4( ) = (a) Man utför stegsvarsexperiment på systemen med överföringsfunktionerna ( ) 4 ( ). Vilket av systemen har störst översläng, Å? Svar: Vilket har kortast stigtid, Ì Ö? Svar: Motivering: (b) En inverterad pendel har tillståndsbeskrivningen 0 0 Ü(Ø) = Ü(Ø) + Ù(Ø) Ý(Ø) = 0 0 Ü(Ø) Är tillståndsbeskrivningen en minimal realisation? Svar: Motivering: (c) När den inverterade pendeln i (b) styrs med tillståndsåterkopplingen Ù(Ø) = Ü(Ø) + ÝÖ (Ø) blir det slutna systemet ( ) = ( ) Ö ( ), där ( ) är en av överföringsfunktionerna ( ) 4 ( ) ovan ange vilken! Svar:

3 Uppgift Ett system styrs med återkoppling från reglerfelet: ( ) = ( )Í( ) Í( ) = ( )( Ö ( ) ( )) Systemet har statisk förstärkning (0) = 4. (a) Ringa in den/de regulatortyp/-er (för ( )) nedan som ger känslighetsfunktionen statisk förstärkning Ë(0) = 0: Motivering (krävs): P- PI- PD- PID-regulator (b) Anta att regulatorn ( ) = à används, och att à ¾ Ê väljs så att slutna systemet blir stabilt. Hur stort blir det kvarvarande felet, ؽ lim (Ý Ö(Ø) Ý(Ø)), då Ý Ö (Ø) är ett enhetssteg? Ange svaret uttryckt i Ã. Svar: (c) Anta igen att regulatorn ( ) = à används, men att det finns en mätstörning så att styrlagen blir Ù(Ø) = Ã(Ý Ö (Ø) Ý Ñ (Ø)), där Ý Ñ (Ø) = Ý(Ø) + Ò(Ø) är den uppmätta utsignalen och Ò(Ø) är mätstörningen. Ange överföringsfunktionen från Ò till Ý för det återkopplade systemet. Svar:

4 Uppgift 3 Blockschemat nedan visar ett system som styrs med proportionell återkoppling. P-reg + Ù Ü Ü + Σ Ã + + Σ Ý Ö Ý (a) Ställ upp tillståndsbeskrivningen för det öppna systemet, d.v.s. delen innanför den streckade rektangeln i blockschemat, med Ù som insignal och Ý som utsignal. Använd Ü = Ü Ü Ì som tillståndsvektor, med Ü och Ü enligt blockschemat. Svar och lösning: (b) Ange överföringsfunktionen från Ý Ö till Ý för det återkopplade systemet. Svar: Vad har slutna systemet för nollställen? Svar: (c) För vilka à ¾ Ê är det återkopplade systemet stabilt? Svar: Motivering: 3

5 Vid behov kan du fortsätta dina lösningar/motiveringar på detta ark. Markera tydligt vilken uppgift som avses. 4

6 Lösningar till tentamen i Reglerteknik I 5hp, del A (a) Jämför med ( ) = + 0 : Ì +0 Ö minskar när 0 (polernas avstånd från origo) ökar, Å ökar när (= cos, där är vinkeln till negativa reella axeln) minskar se exempel 3.3 i Glad/Ljung. Här har vi : 0 = Ô = Ô 3 : 0 = Ô = Ô 8 : 0 = = 4 : 0 = Ô 8 = Ô Störst Å minst 3. Kortast Ì Ö störst 0 4. (b) Minimal realisation både styrbart och observerbart (Resultat 8.). Systemet på observerbar kanonisk form µ observerbart. Styrbarhetsmatrisen är Ë = 0 = det Ë = = 0 0 Systemet är alltså också styrbart, och därmed en minimal realisation. (c) Vi har ( ) = (fås direkt eftersom observerbar kanonisk form). Slutna systemet blir ( ) = ( ) där ( ) = fås från ( ), och «( ) «( ) = det( Á +Ä) = det = +Ð + Ð + Ð +Ð = + + eftersom Ð = Ð =. Alltså är ( ) = + + = ( ).. (a) Ë( ) = + Ó( ) där Ó( ) = ( )( ). För att få Ë(0) = 0 måste Ó ( ) ha integralverkan, d.v.s. en pol i origo, och eftersom (0) = 4 här måste alltså ( ) ha integralverkan µ ( ) måste vara en PI- eller PIDregulator. (b) Använd slutvärdesteoremet: lim (Ø) = lim ( ) = lim ؽ Ë( ) 0 0 = Ë(0) = + Ã(0) = + 4à (c) Vi har ( ) = ( )Ã( Ö ( ) ( ) Æ( )) ( ) = Ã( ) + Ã( ) ( Ö( ) Æ( )) d.v.s. överföringsfunktionen från Ò till Ý är à ( ) +Ã( ) (vilket är Ì ( )). 3. (a) Från blockschemat fås ( ) = + Í( ) ( + ) ( ) = Í( ) ( ) = ( ) + Í( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) samt ( ) = ( ) + ( )

7 Med inversa Laplacetransformen får vi då Ü = Ü + Ù Ü = Ü = Ü Ý = Ü + Ü Ý = 0 Ü + Ù 0 0 Ü (b) Utgå från ( ) = ( )Í( ) och Í( ) = Ã( Ö ( ) ( )) µ ( ) = ( ) Ö ( ) = Ã( ) + Ã( ) Ö( ) Notera att systemet i (a) står på styrbar kanonisk form µ direkt fås ( ) = + +. (Går också bra att använda ( ) = ( Á ).) Därför blir ( ) = + Ã( +) + Ã( +) + = Ã( + ) + + Ã( + ) = Ã( + ) + ( Ã) + Ã Slutna systemet har ett nollställe, i +. (c) Polpolynomet är + ( Ã) + Ã. För stabilitet krävs att alla poler ligger i vänster halvplan, vilket för ett andra ordningens system är ekvivalent med att alla koefficienter i polpolynomet är strikt positiva. Alltså stabilt för 0 Ã. (Går också bra att använda Rouths algoritm.)