Välkomna till Reglerteknik Föreläsning 2

Transkript

1 Välkomna till Reglerteknik Föreläsning 2 Sammanfattning av föreläsning 1 Lösningar till differentialekvationer Karakteristiska ekvationen Laplacetransformer Överföringsfunktioner Poler Stegsvarsspecifikationer

2 Sammanfattning av förra föreläsningen 2 w(t) r(t) Regulator u(t) System y(t) Återkoppling Konstruera en regulator (matematiskt uttryck datorkod) som beräknar styrsignalen u(t) så att systemet (enligt mätsignalen y(t)) beter sig som önskat (referenssignalen r(t)) trots störningar w(t)

3 Sammanfattning av förra föreläsningen 3 Öppen styrning: Regulatorn använder sig ej av utsignalen y(t) Sluten styrning: Regulatorn använder sig av utsignalen y(t) Återkoppling: ett annat namn på sluten styrning P-reglering: återkoppling med styrlagen u(t)=k(r(t)-y(t)) Modell: en matematisk beskrivning (differentialekvation) av ett system

4 Farthållaren från förra föreläsningen 4 Vi utvärderade farthållaren genom att lösa differentialekvationen och relatera till önskat beteende (snabbhet, statiskt reglerfel, ) Reglerteknik handlar i princip om att ta fram, lösa, och analysera differentialekvationer samt dess lösningar! (vi kommer dock ta genvägar...)

5 Generella fallet 5 Ett system beskrivs, i denna kurs, med en differentialekvation i insignaler och utsignaler Vi kallar detta ett n:te ordningens system (n m, kallas propert system) koefficienterna a i och b i konstanta (ger linjäritet) u(t) och begynnelsevillkor givna Lösning ges av homogen+partikulär lösning

6 Karakteristiska ekvationen 6 Homogena lösningen ges av (antag enkla rötter) λ 1,, λ n är lösningar (rötter) till den karakteristiska ekvationen Partikulära lösningen fås genom ansättning (dvs kvalificerad gissning)

7 Karakteristiska ekvationen 7 Det viktiga är inte den exakta lösningen (konstanter osv), utan det faktum att rötterna till karakteristiska ekvationen beskriver karaktären (typiskt utseende) hos alla tänkbara lösningar. Vi studerar ett andra ordningens system drivet av ett enhetssteg (insignal går från 0 till 1, generellt från 0 till konstant nivå kallas steg) Lösning av karakteristiska ekvationen och partikulärlösning ger lösningen y(t) (som kallas stegvar då insignalen är ett steg)

8 Karakteristiska ekvationen 8 Fall 1: λ 1 och λ 2 reella och negativa, t.ex λ 1 =-1 och λ 2 =-2 (C 1 och C 2 kan fås från begynnelsevillkor. Ej intressanta för analys av det karakteristiska beteendet)

9 Karakteristiska ekvationen 9 Fall 2: λ 1 och λ 2 reella men någon positiv, t.ex λ 1 =-1 och λ 2 =2

10 Karakteristiska ekvationen 10 Fall 3: λ 1 och λ 2 komplexa med negativ realdel

11 Karakteristiska ekvationen 11 Fall 1: λ 1 och λ 2 komplexa med positiv realdel

12 Karakteristiska ekvationen 12 Sammanfattning Lösningarnas karaktär bestäms av rötternas position i det komplexa talplanet, dvs vi behöver inte räkna ut stegsvar etc utan kan titta på rötternas position istället imag(λ) real(λ) Alla rötter i vänstra halvplanet garanterar att y h (t) 0 (kallas asymptotiskt stabilt) Någon rot i högra halvplanet leder till y h (t) (kallas instabilt) Komplexa rötter kan ge oscillationer

13 Karakteristiska ekvationen 13 Ett antal rötter i -1, samt ett antal komplexa -0.5±0.86i Mer behöver vi inte veta för att dra slutsatsen att utsignalen går mot 0, möjligtvis med lite oscillationer (från godtyckligt initialtillstånd, om u(t) är 0)

14 Laplacetransform 14 Förenklar arbete med linjära differentialekvationer Djup bakomliggande teori men för oss ett sätt att skriva differentialekvationer enkelt, samt lösa differentialekvationer via tabell Beteckning: tidsfunktion (en signal): signaltransform: Definition:

15 Laplacetransform 15 Exempel: Laplacetransform av derivationsoperatorn

16 Laplacetransform 16 Exempel: Laplacetransform av ett steg Kan sättas till 0 efter kurs i transformteori

17 Laplacetransform 17 Exempel: Lösning av differentialekvation Gå nu baklänges (appendix sid 233) och leta upp en signal som har denna transform!

18 Laplacetransform 18 Viktigaste räkneregler (sidan 232 i boken) Slutvärdesteoremet (om signalen f(t) konvergerar mot ett värde) Centralt resultat som löser många uppgifter

19 Laplacetransform 19 Exempel: Farthållare med icke definierad styrsignal antag alla begynnelsevärden noll bryt ut Y(s)

20 Laplacetransform 20 I en beskrivning kallar vi G(s) systemets överföringsfunktion Definition: Poler till G(s) = rötter till nämnaren i G(s) = rötter till polpolynomet = rötter till karakteristiska ekvationen Nollställen till G(s) = rötter till täljaren i G(s) Inom reglerteknik arbetar vi ofta med systemets överföringsfunktion, istället för de underliggande differentialekvationerna

21 Generella fallet 21 Generella fallet: Ett insignal-utsignalsamband transformeras till (antag att alla begynnelsevillkor är 0) Överföringsfunktionen från u till y blir sålunda

22 Specifikationer 22 Reglerteknikens kärna: Välj insignal så att utsignalen beter sig som önskat Vi behöver sätt att beskriva vad vi menar, specifikationer

23 Specifikationer 23 Regulator System r(t) Σ e(t) F u(t) G y(t) -1 Hur skall vi välja regulatorn F? (nästa föreläsning) Oftast ges specifikationer i form av krav på stabilitet samt respons på stegsvar i termer av snabbhet och svängighet. Vi vill relatera dessa specifikationer till reglersystemets överföringsfunktioner

24 Specifikationer 24 Stabilitet: Absolut viktigaste specifikationen! Definition: Ett system är insignal-utsignalstabilt om en begränsad insignal leder till en begränsad utsignal. Sats 2.2: Ett system med proper (m<=n) överföringsfunktion G(s) är insignal-utsignalstabil om och endast om alla poler till G(s) has strikt negativa realdelar

25 Specifikationer 25 Snabbhet: Hur snabbt konvergerar lösningarna mot slutvärdet Studera ett första ordningens system med en pol i i formen Med ett enhetssteg som insignal och begynnelsevärde noll blir lösningen Konstanten T kallas systemets tidskonstant (och är inversen av G(s) pol) Vid har vi Poler långt till vänster in i vänstra halvplanet ger liten tidskonstant vilket ger ett snabbt system

26 Specifikationer 26 Oscillationer: Studera ett normaliserat andra ordningens system Om relativa dämpningen ξ är mindre än 1 fås komplexa poler/rötter Med ett steg som insignal och begynnelsevärde noll blir lösningen (försök inte memorera!)

27 Specifikationer 27

28 Specifikationer 28 Större Mindre ger ett snabbare system (verkar som en tidsskalning) ger ett svängigare system (kallas sämre dämpat) Stor konstantdel i andragradaren relativt linjära koefficienten ger en relativt sämre dämpad lösning Poltolkning: Poler längre bort från origo ger ett snabbare system (polernas absolutbelopp ges av ) Poler relativt längre upp/ner i komplexa talplanet ger ett svängigare system

29 Specifikationer 29 Oscillationer: Studera ett fjäder-dämparsystem y(t) y(t): Upphängningspunktens position [m] u(t): Kraft verkande i fäste [N] Dämpningskonstant α [Ns/m] Fjäderkonstant k [N/m] Upphängd massa m [kg] u(t)

30 Specifikationer 30 y(t) u(t)

31 Sammanfattning 31 Sammanfattning av dagens föreläsning Vi modellerar system med linjära differentialekvationer. Lösningarna till differentialekvationerna ges av en summa exponentialfunktioner, framtagna via karakteristiska ekvationens rötter. Vi använder Laplacetransformer som ett verktyg för att hantera differentialekvationer (varför blir mycket mer tydligt nästa föreläsning). När vi Laplacetransformerat våra ekvationer får vi en överföringsfunktion, och denna kommer vi använda mycket. Specifikationer på ett stegsvar kan tolkas i termer av polernas position. Poler långt bort från origo = snabbt Mycket komplexdel relativt realdel = svängigt

32 Sammanfattning 32 Viktiga begrepp Steg: En signal som går från en konstant nivå till en annan. Vanligt för oss en insignal som går från 0 till en konstant nivå c. Används ofta (i teori och praktik) för att studera ett systems kvalitativa respons. Stegsvar: Utsignal när insignalen är ett steg. Överföringsfunktion: Transformsambandet mellan in- och utsignal. Poler: Rötterna till överföringsfunktionens nämnare. Innehåller mycket information om systemets egenskaper. Nollställen: Rötterna till överföringsfunktionens täljare. Stabil: Homogena lösningen går mot noll. Kräver att polerna är strikt i vänstra halvplanet.