Välkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 10

Transkript

1 Välkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 10 Sammanfattning av föreläsning 9 Tillståndsbeskrivningar Överföringsfunktion vs tillståndmodell Stabilitet Styrbarhet och observerbarhet

2 Sammanfattning föreläsning 9 V(s) 2 R(s) Σ F(s) U(s) G(s) Σ Z(s) -1 Y(s) Σ N(s) Vi vill göra både S(s) och T(s) så nära noll som möjligt Fundamental begränsning: T(s)+S(s) = 1 Vidare så säger Bodes integral att S(s) inte kan vara godtyckligt liten

3 Sammanfattning föreläsning 9 3 (s) R(s) Σ F(s) Σ G(s) Y 0 (s) Vi använder modeller med relativa modellfel Robusthetskriteriet: Stabilt om Robust prestanda: (Y(s) är utsignal utan modellfel, Y 0 (s) utsignal med modellfel) -1

4 Sammanfattning föreläsning 9 4 V(s) R(s) F r (s) Σ U(s) G(s) Σ Z(s) -F y (s) Y(s) Σ N(s) Olika överföringsfunktioner (filter) på referenssignal och återkopplingssignal ger oss möjligheten att forma slutna systemet och komplementära känslighetsfunktionen mer fritt All teori om T(s) och S(s) gäller fortfarande

5 5 y(t) y(t): Flygplanets position (1D) u(t): Dragkraft m: Flygplanets vikt u(t) Newton: Lösning med dragkraft u(t)=1 För att beräkna C 1 och C 2 måste vi känna till begynnelsevärdena Denna vektor innehåller alltså all information vi behöver för att bestämma flygplanets framtida position och hastighet (för en given insignal) En mängd information som definierar ett systems framtid kallas tillstånd

6 6 Det visar sig vara smidigare om man begränsar sig till differentialekvationer av första ordningen Vi kan skriva vårt system med första ordningens differentialekvationer, genom att införa en tillståndsvektor x(t) Vi har nu Vi skriver detta i matrisform

7 7 Samma strategi kan användas på godtyckliga linjära differentialekvationer Resultatet är en första ordningens differentialekvation x(t) är systemets tillstånd (typiskt derivator av y(t)), u(t) är systemet insignal och y(t) är systemets utsignal A är en nxn matris, B är en nx1 matris, C är en 1xn matris, D är en skalär

8 8 U(s) G(s) Y(s) u(t) y(t) Vi har nu två alternativa (men ekvivalenta) representationer av ett system beskrivet av en linjär differentialekvation Hur ser man om tillståndsmodellen är stabil? Hur går man från tillståndsbeskrivning till överföringsfunktion? Hur går man från överföringsfunktion (eller ursprunglig differentialekvation) till tillståndsbeskrivning?

9 9 Tillståndsbeskrivning till överföringsfunktion Laplacetransformera tillståndsbeskrivningen! Eliminera X(s)

10 10 Exempel: Flygplansmodellens överföringsfunktion Tillståndsmodell Börjar med inversen Vi får

11 11 Stabilitet: Hur kan vi se stabilitet (poler) i tillståndsmodellen Vi ser detta enklast genom att analysera vår invers via Cramers formel Polpolynomet ges alltså av det(si-a). Polerna är sålunda lösningarna till Detta är definitionen av egenvärdena till A! Poler = egenvärden till A

12 12 Överföringsfunktion till tillståndsbeskrivning Detta är den svåra riktningen (kallas realisering) 1 Om b 0 = b 1 = = b m-1 =0 så kan man välja derivator av y(t) som tillstånd och fortsätta som i våra exempel 2 Styrbar kanonisk form (resultat 8.1 i boken) 3 Observerbar kanonisk form (resultat 8.2 i boken) Notera: Detta betyder att en realisering inte är unik. Det finns oändligt många sätt att realisera en överföringsfunktion, motsvarande olika koordinatsystem för tillståndsrummet

13 Styrbarhet och observerbarhet 13 x 1 (t), x 2 (t), x 3 (t): Vattennivå u(t): Vatten tillfört tank 2 f 1 (t): Flöde från tank 1 till 2 f 2 (t): Flöde från tank 2 till 3 u(t) f 1 (t) x 1 (t) Insignal: u(t) Utsignal: y(t)=x 2 (t) x 2 (t) Tillståndsmodell (linjärt, alla koefficienter = 1) f 2 (t) x 3 (t)

14 Styrbarhet och observerbarhet 14 Vi har alltså en tillståndsmodell med följande matriser Överföringsfunktion från u(t) till y(t) Systemet har tre tillstånd, så A har tre egenvärden, men överföringsfunktionen har bara en pol! Två tillstånd har försvunnit?! Överföringsfunktionen säger alltså att vi har ett system med ett tillstånd

15 Styrbarhet och observerbarhet 15 Tillståndet x 1 (t) går ej att styra och kallas icke styrbart tillstånd u(t) f 1 (t) x 1 (t) Tillståndet x 3 (t) går ej att mäta (eller härleda via den mätbara signalen y(t)) och kallas ett icke observerbart tillstånd f 2 (t) x 2 (t) x 3 (t) En tillståndsmodell som inte innehåller några icke styrbara eller icke observerbara tillstånd kallas för ett styrbart och observerbart system En modell som inte är styrbar och observerbar innehåller i någon mening onödiga tillstånd

16 16 Definition: En vektor x* är styrbar om det finns en insignal u(t) som driver tillståndet x(t) från initialtillståndet x(0)=0 till x* på ändlig tid. Om alla element i R n är styrbara så är systemet styrbart Sats: En tillståndsmodell är styrbar om det([b AB A 2 B A n-1 B]) 0

17 17 Definition: Om x(0)=x* 0, u(t)=0 leder till y(t)=0 så sägs x* vara icke observerbar. Systemet är observerbart om sådana x* saknas Sats: En tillståndsmodell är observerbar om det([c ;CA;CA 2 ;CA n-1 ]) 0 (alternativ tolkning: Tillståndet x(t) går att beräkna via mätsignalen y(t) och dess derivator)

18 Styrbarhet och observerbarhet 18 Definition: En tillståndsmodell sägs vara en minimal realisation om det inte finns någon annan tillståndsmodell med samma överföringsfunktion men med ett mindre antal tillstånd. Sats: En tillståndsmodell som är styrbar och observerbar är minimal

19 19 Ej styrbart u(t) f 1 (t) x 1 (t) Ej observerbart x 2 (t) f 2 (t) x 3 (t) Vår modell är alltså inte minimal (vilket vi märkte när vi tog fram överföringsfunktionen, och även har insett fysikaliskt)

20 Sammanfattning Sammanfattning av dagens föreläsning 20 All information som behövs för att beräkna ett systems framtida utsignal,, givet en definierad insignal, finns samlad i dess tillstånd Stabilitet för en tillståndsmodell fås från egenvärdena till A-matrisen Överföringsfunktionen fås enkelt genom Laplacetransformering av tillståndsmodellen Tillståndsmodell från överföringsfunktion fås via standardformer (styrbar form och observerbar form) Om tillståndsmodellen är minimal så får överföringsfunktionen lika många poler som antalet tillstånd Ett system som är minimalt är styrbart och observerbart, och tvärtom

21 Sammanfattning 21 Viktiga begrepp Tillstånd: En samling variabler som bestämmer ett systems framtid Minimal realisering: En tillståndsform som använder så få tillstånd som det är möjligt för att beskriva ett insignal-utsignalsamband Styrbar: Det finns inga tillstånd som vi inte kan reglera godtyckligt Observerbar: Det finns inga tillstånd som kan vara nollskilda utan att vi märker det