TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 10

Transkript

1 TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 10 Martin Enqvist Reglerteknik Institutionen för systemteknik Linköpings universitet

2 Föreläsningar 1 / 15 1 Inledning, grundläggande begrepp. 2 Matematiska modeller. Stabilitet. PID-reglering. 3 Specifikationer. Rotort. 4 Nyquistkriteriet. Frekvensbeskrivning. 5 Tidsdiskreta system. 6 Specifikationer i frekvensplanet. 7 Kompensering i bodediagram. 8 Bodes integralsats. Känslighet. Robusthet. 9 Regulatorstrukturer. Tillståndsbeskrivning. 10 Lösningar. Stabilitet. Styr- och observerbarhet. 11 Återkoppling, polplacering, LQ-optimering. 12 Rekonstruktion av tillstånd, observatörer. 13 Tillståndsåterkoppling (forts). Sammanfattning.

3 Repetition: Tillståndsbeskrivning 2 / 15 Tillståndsbeskrivning: ẋ = Ax + Bu y = Cx + Du x är tillståndsvektorn (dim x = n) A, B, C och D är matriser I denna kurs är u och y oftast skalärer B kolonnvektor, C radvektor, D skalär D = 0 är vanligt

4 Repetition: Styrbar kanonisk form 3 / 15 Systemet med överföringsfunktionen G(s) = b 1 s n b n 1 s + b n s n + a 1 s n a n 1 s + a n kan beskrivas på tillståndsform som a 1 a 2... a n 1 a n ẋ = x + 0 u y = ( b 1 b 2... b n ) x

5 Repetition: Observerbar kanonisk form 4 / 15 Systemet med överföringsfunktionen G(s) = b 1 s n b n 1 s + b n s n + a 1 s n a n 1 s + a n kan beskrivas på tillståndsform som a b 1 a b 2 ẋ = x +. u a n b n 1 a n b n y = ( ) x

6 Linjärisering 5 / 15 Betrakta ett olinjärt system ẋ = f(x, u) y = h(x, u) med jämviktspunkten x 0, u 0, y 0 : 0 = f(x 0, u 0 ) y 0 = h(x 0, u 0 ) Låt δ x = x x 0 δ u = u u 0 δ y = y y 0

7 Linjärisering... 6 / 15 Linjäriserad tillståndsbeskrivning: δ x = Aδ x + Bδ u δ y = Cδ x + Dδ u (god approximation för små δ x, δ u, δ y ) Här är A = f x (x 0, u 0 ) B = f u (x 0, u 0 ) C = h x (x 0, u 0 ) D = h u (x 0, u 0 ) (jacobianer med i, j-element fi x j )

8 Lösning av tillståndsekvationerna 7 / 15 Tillståndsbeskrivningen ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), x(0) = x 0 har lösningen där x(t) = e At x 0 + t 0 e A(t τ) Bu(τ)dτ e At = I + At + A2 t Ak t k 2! k! = L 1{( si A) 1 } +... är lösningen till d Φ(t) = AΦ(t), dt Φ(0) = I

9 Stabilitet 8 / 15 Ett system är asymptotiskt stabilt om för varje val av x 0. ẋ(t) = Ax(t), x(0) = x 0 lim x(t) = 0 t Ett linjärt system är asymptotiskt stabilt om och endast om alla egenvärden till dess A-matris har strikt negativa realdelar.

10 Stabilitet... 9 / 15 Ett system är insignal-utsignalstabilt om en begränsad insignal ger en begränsad utsignal. Ett linjärt system är insignal-utsignalstabilt om alla egenvärden till dess A-matris har strikt negativa realdelar.

11 Exempel 10 / 15 Betrakta systemet ẋ(t) = y(t) = ( 1 ( ) ( x(t) + u(t) 0 2 0) 0 ) x(t) Asymptotiskt stabilt? Insignal-utsignalstabilt? Kan vi påverka båda tillstånden med u? Kan vi se bidrag från båda tillstånden i y?

12 Styrbarhet 11 / 15 En tillståndsvektor x är styrbar om det finns en insignal som för tillståndet från origo till x på ändlig tid. Ett system är styrbart om alla tillståndsvektorer är styrbara. Mängden av styrbara tillståndsvektorer spänns upp av kolonnerna i matrisen S = ( B AB... A n 1 B ) En insignal S kvadratisk, systemet styrbart omm det S 0

13 Observerbarhet 12 / 15 En tillståndsvektor x 0 är icke observerbar om utsignalen är identiskt lika med noll då initialvärdet är x och insignalen är identiskt lika med noll. Ett system är observerbart om det saknar icke observerbara tillståndsvektorer. Mängden av icke observerbara tillståndsvektorer är nollrummet till matrisen C CA O =. CA n 1 En utsignal O kvadratisk, systemet observerbart omm det O 0

14 Minimal realisation 13 / 15 En tillståndsbeskrivning av en given överföringsfunktion är en minimal realisation om det inte finns någon annan tillståndsbeskrivning av samma överföringsfunktion med lägre dimension hos tillståndsvektorn. (Det ska alltså inte finnas några onödiga tillstånd) En tillståndsbeskrivning är en minimal realisation av en överföringsfunktion om och endast om den är både styroch observerbar.

15 Utblick över resten av kursen 14 / 15 Tillståndsåterkoppling med u = Lx + l 0 r. (Styrbart system Polerna till det slutna systemet kan väljas godtyckligt) Tillståndsskattning med observatör ˆx = Aˆx + Bu + K(y C ˆx) (Observerbart system Skattningsfelet kan alltid fås att avta mot noll) Återkoppling från skattade tillstånd Linjärkvadratisk reglering och kalmanfilter

16 Sammanfattning 15 / 15 Tillståndsbeskrivning: Alternativt (och intuitivt) sätt att beskriva ett linjärt system Lösning av tillståndsekvationer Asymptotisk stabilitet: Alla A-matrisens egenvärden har strikt negativa realdelar Styrbarhet: Man vill kunna styra systemet vart som helst... Observerbarhet: Man vill kunna se effekter av alla tillståndsvariabler i utsignalen... Minimal realisation: Inga onödiga tillståndsvariabler...

17