TSIU61: Reglerteknik. Tillståndsbeskrivning. Lite om tillstånd och återkoppling

Transkript

1 TSIU61 Föreläsning 10 HT / 24 Innehåll föreläsning 10 TSIU61: Reglerteknik Föreläsning 10 Lite om tillstånd och återkoppling gustafhendeby@liuse ˆ Repetition av system ˆ Överföringsfunktion till tillståndsform ˆ Tillståndsform till överföringsfunktion ˆ Tillståndsåterkoppling ˆ Var ska polerna placeras? TSIU61 Föreläsning 10 HT / 24 Tillståndsbeskrivning Ex y (3) (t) + a 1 ÿ(t) + a 2 ẏ(t) + a 3 y(t) = bu(t) Tillståndsbeskrivning ẋ 1 (t) x 1 (t) 0 ẋ 2 (t) = x 2 (t) + 0 u(t) ẋ 3 (t) a 3 a 2 a 1 x 3 (t) b }{{}}{{}}{{}}{{} ẋ(t) A x(t) B y(t) = ( ) x 1 (t) x 2 (t) }{{} x c 3 (t) Där x(t) är är tillståndsvektorn

2 TSIU61 Föreläsning 10 HT / 24 Ex tillståndsform (medicin i kroppen) En (mycket) enkel beskrivning av hur ett ämne, t ex en medicin, tas upp i kroppen ges av dq(t) = k 1 q(t) + u(t) dt dc(t) = k 1 q(t) k 2 c(t) dt ˆ u(t) tillförselhastighet av ämnet (insignal) ˆ q(t) mängd av ämnet i mage, tarmar (tillstånd) ˆ c(t) mängd av ämnet i blodet (tillstånd) ˆ y(t) mängd av ämnet i blodet (mätsignal) Konstanterna k 1 och k 2 beskriver ämnesomsättningen TSIU61 Föreläsning 10 HT / 24 Ex tillståndsform (Fuglesang) En astronaut på rymdpromenad kan beskrivas av ekvationerna: dp(t) = v(t) dt v(t) = 1 dt m u(t) ˆ p(t) astronautens läge (tillstånd) ˆ v(t) astronautens hastighet (tillstånd) ˆ u(t) kraft från raketmotor på ryggen (insignal) ˆ m massan TSIU61 Föreläsning 10 HT / 24 Representation av system Yttre beskrivning Inre beskrivning Y (s) = G(s)U(s) ˆ Yttre beskrivning = Inre beskrivning ˆ Inre beskrivning = Yttre beskrivning Överföringsfunktion till tillståndsbeskrivning

3 TSIU61 Föreläsning 10 HT / 24 Från överföringsfunktion till tillståndsform TSIU61 Föreläsning 10 HT / 24 Diagonalform Antag att G(s) kan partialbråksuppdelas enligt: Givet en överföringsfunktion G(s) hur får vi fram motsvarande tillståndsbeskrivning? ˆ Diagonalform (om polerna är reella) ˆ Styrbar kanonisk form ˆ Observerbar kanonisk form Det finns i princip oändligt många sätt att representera en given överföringsfunktion på tillståndsform G(s) = b 1 s n b n 1 s + b n s n + a 1 s n a n 1 s + a n = β 1 s α dx dt = α α x α n y = ( ) x β 1 β 2 β n u β n s α n TSIU61 Föreläsning 10 HT / 24 Styrbar kanonsisk form TSIU61 Föreläsning 10 HT / 24 Observerbar kanonisk form dx dt = G(s) = b 1 s n b n 1 s + b n s n + a 1 s n a n 1 s + a n a 1 a 2 a n 1 a n x + 0 u y = ( b 1 b 2 b n ) x dx dt = G(s) = b 1 s n b n 1 s + b n s n + a 1 s n a n 1 s + a n a a x + a n a n y = ( ) x b 1 b 2 b n 1 b n u

4 TSIU61 Föreläsning 10 HT / 24 Tillståndsform till överföringsfunktion Allmänt Överföringsfunktion till tillståndsbeskrivning ẋ = Ax + Bu = G(s) = C(sI A) 1 B + D y = Cx + D Systemets poler ges av A-matrisens egenvärden Theorem (Insignal-utsignalstabilitet) Ett system är insignal-utsignalstabilit om och endast om all egenvärden till A-matrisen har strikt negativ realdel TSIU61 Föreläsning 10 HT / 24 Exempel på balanssystem TSIU61 Föreläsning 10 HT / 24 Exjobbsexempel ˆ Raketer ˆ Mer avancerade rullstolar ˆ Segway ˆ Robot som balanserar på en boll Vision and GPS Based Autonomous Landing of an Unmanned Aerial Vehicle, av Joel Hermansson, utfört på Cybearo Mycket regelerteknik (modellering, PID, observatör) och en hel del signalbehandling

5 TSIU61 Föreläsning 10 HT / 24 Exjobbsexempel Tillståndsåterkoppling TSIU61 Föreläsning 10 HT / 24 Tillståndsåterkoppling TSIU61 Föreläsning 10 HT / 24 Tillståndsåterkoppling Inre beskrivning Styrlag: u(t) = Lx(t) + r(t) = Lx(t) + l 0 t(t) Yttre beskrivning Y (s) = G(s)U(s) Vid regulatorsyntes har vi hittills använt denna beskrivning Utnyttja den extra systemkunskap som finns tillgänglig via tillstånden för att göra en återkoppling! Låt insignalen bestämmas av tillståndet!

6 TSIU61 F orel asning 10 HT / 24 Filtrerad referenssignal TSIU61 F orel asning 10 HT / 24 Utblick DARPA Urban Challenge N ar vi talar om en filtrerad referenssignal menar vi En kul reglerteknisk utmaning som ligger i tiden F orarl osa bilar som ska k ora en komplicerad bana p a ca 10 mil i r (t) = l0 r(t) stadsmilj o p a max 6 h x = (A BL)x + Bl0 r Bilarna ska i princip klara av att f a k orkort y = Cx Finalen gick 2007, vinnaren till h oger fick $ !!! Noll station art fel, Gc (0) = 0 TSIU61 F orel asning 10 l0 = 1 C(A BL) 1 B HT / 24 Utblick Vad som kan h anda om PI-reg inte fungerar Vad som kan h anda om man inte har r att m atsignal eller vikten av att ha overvakade system Sammanfattning

7 TSIU61 Föreläsning 10 HT / 24 Några begrepp som får summera föreläsning 10 Tillstånd: Den systeminformation som behövs vid tiden t för att kunna förutsäga effekten av pålagd insignal u(τ), τ > t Tillståndsrummet: Det vektorrum dit tillståndsvektorn hör Tillståndsåterkoppling: Skapa en regulator genom att låta insignalen bestämmas av tillståndsvektorn (innehåller mer information om systemet än enbart mätsignalen)