Lösningar till tentan i Automationsteknik FK

Transkript

1 Lösningar till tentan i Automationsteknik FK a. Systemet kan skrivas på formen ẋ Ax+Bu, y Cx där ( ) ( A, B, C ) ( 0 ) Överföringsfunktionen kan nu beräknas: G(s) C(sI A) B ( 0 )( ( ) s s ) ( 0 ) ( ) s 0 2 (s+2)(s ) s+2)( s+4 (s+2)(s ) s+4 s 2 +s 2 (s+2)(s ) ( ) ( ) 2s 2 0 s+4 Polerna till systemet är 2 och medan nollstället är 4 (systemet är alltså instabilt pga polen i ). b. Utgående från överföringsfunktionen beräknad i (a) kan systemet skrivas (s 2 +s 2)Y(s) (s+4)u(s) vilket efter invers laplacetransformation blir d 2 y dt 2 + dy du 2y dt dt +4u c. Tillståndsåterkoppling l r r(t) l x (t) l 2 x 2 (t) l r r(t) Lx(t) ger dx dt Ax+B(l rr Lx) (A BL)x+l r Br Polerna till det slutna systemet (r y) utgörs av lösningarna till 0 det(si (A BL)) det(si A+BL) (( ) ( ) ( ) s (l ) ) det + l 0 s 2 s+2+2l 2l 2 +l s +l 2 s2 +(+2l +l 2 )s 2 2l +4l 2 Polerna och 4 ger karakteristiska ekvationen (s+)(s+4) s 2 +5s+4. Jämförelse mellan koefficienterna mellan de båda polynomen ger ekvationssystemet { +2l +l l +4l 2 4

2 vilket ger lösningen l,l a. Överföringsfunktionen blir H(z).8z.8 0.7z z 0.7 Polen är 0.7 och statiska förstärkningen är H().8/( 0.7) 6 b. Stegsvarets Z-transform ges av z Y(z) H(z)Z[s e (k)] H(z) z.8z (z 0.7)(z ) 6 z 4.2 ( 6z z 0.7 z z 4.2z ) z 0.7 Efter invers Z-transformation erhålles y(k) Z [Y(z)] q (6s e (k) k s e (k)) 6s e (k ) k s e (k ) 6( 0.7 k )s e (k ) där q är bakåtskiftoperatorn (q f(k) f(k )) och s e (k) betecknar enhetsstegfunktionen (s e (k) 0 för k < 0 och för k 0). c. Slutna systemets överföringsfunktion blir H slutet (z) KH(z) +KH(z).8K z K vilken har en pol i z 0.7.8K. Stabilitet uppnås då 0.7.8K < vilket också kan skrivas < 0.7.8K <. Detta innebär att 0.3/.8 /6 < K <.7/.8 7/8. 3. a. Efter laplacetransformering kan överföringsfunktionen beräknas G(s) 2 4s+ 0.5 s+0.25 Ur tabellen för ZOH-diskretisering erhålles sen (för h 0.42 s) H(z) 2( e h/4 ) z e h/4 2( e 0.05 ) z e z z 0.9z b. Med B(z) 0.2z och A(z) 0.9z blir n C n B 0 och n D n A 0såatt C(z) ochd(z) d 0. Regulatornärdåisjälvaverket en helt vanlig P-regulator. Med önskad pol i z 0. blir P(z) 0.z och polynomekvationen A(z)C(z) + B(z)D(z) P(z) blir då med aktuella polynom (i z ) insatta ( 0.9z ) +0.2z d 0 0.z 2

3 vilket omedelbart ger d 0 4. Förstärkningen K r blir P()/B() 0.9/ c. Med integralverkan i regulatorn blir n C n B och n D n A vilket innebär att C(z) z (pol fixerad till z pga integralverkan) och D(z) d 0 +d z. Polynomekvationen blir i detta fall ( 0.9z )( z )+0.2z (d 0 +d z ) ( 0z ) 2 Detta kan se lite konstigt ut eftersom P(z) så att P inte blir något polynom i z av grad 2 som man skulle förvänta sig. Detta fenomen uppträder dock endast för det fall då alla poler placeras i z 0 (dead-beat) som i det här fallet. Efter förenkling kan polynomekvationen skrivas +(0.2d 0.9)z +( d )z 2 vilketresulterariattd 0.9/ ochd 0.9/ Förstärkningen K r blir P()/B() / a. Med u(t) (u (t) u 2 (t)) T och y(t) (y (t) y 2 (t)) T kan systemet skrivas där A dy dt Ay +Bu ( ), B 3 ( ) 2 0 Överföringsfunktionen blir ( ) ( ) s+ 2 G(s) (si A) B ( )( ) s 2 3 s 0 s s+ 0 ( ) ( ) s 2s s 2s s s+7 (s 2)(s+2) 3 s+7 Polerna är 2 och 2 (systemet instabilt). b. En statisk särkoppling P(s) P 0 ges av ( ) ( ) /4 /4 P 0 (G(0)) 7/4 /4 3/4 7/4 /4 ( 7/4) /4 ( 3/4) 3/4 /4 ( ) ( ) 7/4 / /4 /4 3 c. Bäst är att undvika att använda G(s) vid beräkningen. Slutna systemet kan skrivas dy Ay +Bu Ay +B(r Ky) (A BK)y +Br dt där A BK ( ) 3 ( 2 0 )( ) ( )

4 Karaktersitiska ekvationen för slutna systemet blir därmed 0 det(si (A BK)) s s+3 (s+8)(s+3) så att polerna till slutna systemet blir 3 och a. För β 0 kan första tillståndet inte nås från de andra tillstånden. Om α blir andra tillståndet absorberande och kan inte lämnas. Därför måste α och β 0 för att alla tillstånd skall kunna kommunicera med varandra dvs så att markovkedjan blir irrdeucibel. b. Med α /2 och β /3 blir övergångsmatrisen 0 /2 /2 P 0 /2 /2 /3 2/3 0 Den stationära fördelningen ā (ā ā 2 ā 3 ) måste då uppfylla ekvationen ā āp vilket ger det underbestämda ekvationssystemet ā 3ā3 ā 2 2ā + 2ā ā3 ā 3 2ā + 2ā2 med parametrisk lösning ā ( 5 3)ā. Med villkoret ā +ā 2 +ā 3 erhålles lösningen ā ( 5 3)/9 (/9 5/9 /3). c. Villkoret kan skrivas Multiplikation med 3 på båda sidor ger vilket ger (/3 /3 /3) (/3 /3 /3)P ( ) ( )P β /2+α+ β /2+ α som i sin tur ger den entydiga lösningen α /2 och β. d. I detta fall är övergångsmatrisen 0 /2 /2 P

5 Eftersom inga av tillstånden är transienta så är alla beständiga och därmed också positivt beständiga eftersom markovkedjan är ändlig. Inget tillstånd kan återvändaefter ett steg, vilketskulle kunnaskapaenoroförattdet skulle kunna finnas periodiska tillstånd. En stunds eftertanke ger dock att det alltid går att återvända efter n steg för varje n > varför villkoret på periodicitet inte är uppfyllt. Därför är alla tillstånd i markovkedjan varken periodiska eller transienta (dvs aperiodiska och positivt beständiga) vilket garanterar en stationär fördelning. Ekvationen ā āp ger ā ā 3 och ā 2 /2 ā vilket tillsammans med ā +ā 2 +ā 3 ger lösningen ā (2/5 /5 2/5). e. För att markovkedjan inte skall vara ergodisk krävs att den varken är har något periodiskt tillstånd eller att den har något transient tillstånd. Enda kandidaten till periodicitet var α 0 och β men det utreddes i förra deluppgiften att detta inte gav något periodiskt tillstånd. Däremot kan något tillstånd vara transient och detta inträffar för kombinationen α och β 0. Första och tredje tillståndet blir då transienta (mest uppenbart det tredje). Dessutom blir det andra tillståndet absorberande. Svaret blir alltså α och β a. Parametervektorn definieras som ( a θ b) vilket innebär att regressionsmatrisen Φ måste definieras enligt y(0) u(0) y() u() Φ.. y(4) u(4) Observera avvikelsen från formelsamlingens definition. Matrisen Y definieras som y() y(2) Y. y(5) (liksom i formelsamlingen). Detta ger i det aktuella fallet Y 0.54 Φ Lösningen (skattningen) kan nu skrivas θ (Φ T Φ) Φ T Y 5

6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b. Med Φ, θ och Y från föregående deluppgift kan den kvadratiska felfunktionens värde beräknas som (Y Φθ) T (Y Φθ)