TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 11

Transkript

1 Föreläsningar / 5 TSRT9 Reglerteknik: Föreläsning Martin Enqvist Reglerteknik Institutionen för systemteknik Linköpings universitet Inledning, grundläggande begrepp. 2 Matematiska modeller. Stabilitet. PID-reglering. 3 Specifikationer. Rotort. 4 Nyquistkriteriet. Frekvensbeskrivning. 5 Tidsdiskreta system. 6 Specifikationer i frekvensplanet. 7 Kompensering i bodediagram. 8 Bodes integralsats. Känslighet. Robusthet. 9 Regulatorstrukturer. Tillståndsbeskrivning. Lösningar. Stabilitet. Styr- och observerbarhet. Återkoppling, polplacering, LQ-optimering. 2 Rekonstruktion av tillstånd, observatörer. 3 Tillståndsåterkoppling (forts). Sammanfattning. Repetition: Tillståndsbeskrivning 2 / 5 Repetition: Lösning... 3 / 5 Tillståndsbeskrivning: Tillståndsbeskrivningen ẋ = Ax + Bu y = Cx + Du x är tillståndsvektorn (dim x = n) A, B, C och D är matriser I denna kurs är u och y oftast skalärer B kolonnvektor, C radvektor, D skalär D = är vanligt Överföringsfunktionen ges av G(s) = C(sI A) B + D har lösningen där är lösningen till ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), x() = x x(t) = e At x + t e A(t τ) Bu(τ)dτ e At = I + At + A2 t Ak t k ! k! = L {( si A) } d Φ(t) = AΦ(t), dt Φ() = I

2 Repetition: Stabilitet 4 / 5 Repetition: Styrbarhet 5 / 5 Ett system är asymptotiskt stabilt om ẋ(t) = Ax(t), x() = x En tillståndsvektor x är styrbar om det finns en insignal som för tillståndet från origo till x på ändlig tid. Ett system är styrbart om alla tillståndsvektorer är styrbara. för varje val av x. lim x(t) = t Mängden av styrbara tillståndsvektorer spänns upp av kolonnerna i matrisen S = ( B AB... A n B ) Ett linjärt system är asymptotiskt stabilt om och endast om alla egenvärden till dess A-matris har strikt negativa realdelar. En insignal S kvadratisk, systemet styrbart omm det S Repetition: Observerbarhet 6 / 5 Repetition: Minimal realisation 7 / 5 En tillståndsvektor x är icke observerbar om utsignalen är identiskt lika med noll då initialvärdet är x och insignalen är identiskt lika med noll. Ett system är observerbart om det saknar icke observerbara tillståndsvektorer. Mängden av icke observerbara tillståndsvektorer är nollrummet till matrisen C CA O =. CA n En tillståndsbeskrivning är en minimal realisation (inga onödiga tillstånd) av en överföringsfunktion om och endast om den är både styr- och observerbar. Om en tillståndsbeskrivning av ett system är en minimal realisation ges systemets poler av A-matrisens egenvärden. En utsignal O kvadratisk, systemet observerbart omm det O

3 Exempel: Reglering av vagnposition 8 / 5 Tillståndsåterkoppling 9 / 5 Om systemet med u = ( ) x + 2r ẋ = Ax + Bu y = Cx återkopplas med u = Lx + r A BL kan ges godtyckliga egenvärden (symmetriskt kring reella axeln) om och endast om systemet är styrbart. och det slutna systemet har två poler i blir det slutna systemet ẋ = (A BL)x + B r y = Cx Styrbar kanonisk form Beräkningen av L blir särskilt enkel Linjärkvadratisk reglering / 5 Linjärkvadratisk reglering... / 5 Polplacering kan vara svårt eftersom det inte alltid är uppenbart hur man ska välja polerna för att det slutna systemet ska få en viss egenskap. Ett alternativ: Linjärkvadratisk reglering (LQ-reglering) LQ-reglering har bland annat använts för att ta fram styrsystemet till JAS 39 Gripen. Linjärkvadratisk reglering: Antag att r = och att x(t) ska styras till noll från x(). Bestäm L-vektorn som minimerar kriteriet J = där Q är en viktmatris. ( x T (t)qx(t) + u 2 (t) ) dt Kriteriet ger en avvägning mellan snabbhet (storleken på x) och insignalenergi.

4 Linjärkvadratisk reglering... 2 / 5 Exempel: Reglering av vagnposition... 3 / 5 Linjärkvadratisk reglering: Den optimala styrsignalen ges av tillståndsåterkopplingen u = B T P x förutsatt att denna styrlag ger ett stabilt slutet system. Här är P den positivt semidefinita symmetriska lösningen till den algebraiska riccatiekvationen A T P + P A + Q P BB T P = med LQ-reglering. x : heldragen x 2 : streckad Viktmatris: Q = ( ) Exempel: Reglering av vagnposition... 4 / 5 Sammanfattning 5 / 5 med LQ-reglering. x : heldragen x 2 : streckad Viktmatris: Q = ( ) Straffet på x har ökats för att stegsvaret ska bli snabbare. Tillståndsåterkoppling: u = Lx + r Slutet system på tillståndsform: Fås genom att man sätter in uttrycket för u i det öppna systemets tillståndsbeskrivning LQ-reglering: Bestäm L-vektorn som minimerar kriteriet J = där Q är en viktmatris. ( x T (t)qx(t) + u 2 (t) ) dt

5