F08: Tillståndsåterkoppling, Styrbarhet, Integraldel i regulator

Transkript

1 F8 Innehåll Denna föreläsning F8: Tillståndsåterkoppling, Styrarhet, Integraldel i reglator 6 Ferari, 9 Lnds Universitet, Inst för Reglerteknik Tillståndsåterkoppling 3 Exempel 5 Integraldel i reglatorn Nästa föreläsning: Nästan samma, men om oserverarhet/tillståndsskattning Styrarhet och oserverarhet Styrarhet och oserverarhet Exempel av Kalman s ppdelning Hr väl kan man reglera två delsystem samtidigt? s Q: Är det några skillnader på de två olika fallen nedan (och hr eror det på förstärkningen? x s+ + y y s+ x x 3 3 s+3 s+ y x s y s+ Hr eter sig systemet? Sett tifrån det låa lådan ser vi ara Olika insignalen sätt att och eskriva tsignalen dynamiska y men mycket systemkan hända innti! Inför tillstånd och skriv systemet på tillståndsform x = y x = ẏ Tillståndsform Ax + B y = Cx + D Differentialekvation ÿ + a ẏ + a y = + Formelsamling G(s) = C(sI A) B + D Repetition: tillstånd och tillståndsform ( ) L d n f (t) (s) = s n F (s) n Överföringsfnktion Y (s) = G(s)U(s) = Q(s) P(s) U(s) s+ Repetition: tillstånd och tillståndsform y 3 Många fysiska system kan eskrivas av differentialekvationer Exampel: Dämpat fjäder-mass-system (ẏ hastighet, y position) mÿ(t) = cẏ(t) ky(t) + F (t) Tillståndsvektorn x är en samling av fysiska storheter som sammanfattar historien och eskriver nläget x x x = x n x i kan vara positioner, hastigheter, strömmar, spänningar, kölängder, antal virtella maskiner, temperatrer, koncentrationer, etc 5 Tillståndsform Överföringsfnktion Ett system med tillståndsrepresentation Tillståndsformen eskriver hr tillståndens ändras eroende på nvarande tillstånd x och insignal enligt dx = Ax + B där A är en matris och B en kolmnvektor Mätsignalen/systemets tsignal ges av y = Cx (+ D) har överföringsfnktionen Ax + B y = Cx (+ D) G(s) = C(sI A) B + D En överföringsfnktion kan skrivas på (oändligt) många olika tillståndsformer Standardformerna: styrar kanonisk form, oserverar kanonisk form, diagonalform, se Formelsamling 6 7

2 F8: Tillståndsåterkoppling Styrar kanonisk formmoserverar kanonisk form Systemet med överföringsfnktionen Tillståndsåterkoppling 3 Exempel 5 Integraldel i reglatorn G(s) = D + s n + s n + + n s n + a s n + + a n har styrar kanonisk formoserverar kanonisk form a a a n a n dz = z + y = [ n z + D PID och tillståndsåterkoppling PID-reglator: ( = K e + T i e(τ)dτ + Td de ), e = r y 8 Process a a dz = z + a n a n n [ y = z + D 9 Tillståndsåterkoppling = l ref r + l (x,ref x ) + l (x,ref x ) + l n (x n,ref x n ) = Ax + B y = Cx = l ref r l x l x l n x n Y (s) = C(sI A) BU(s) om x,ref = x,ref = = x n,ref = Karaktäristiska polynomet är det(si A) Vi kommer även att lägga till integraldel till tillståndsåterkopplingen senare Reglator Sltna/Återkopplade systemet Linjär tillståndsåterkoppling = l ref r l x l x l n x n = l ref r Lx L = [l l l n x x = x n Ax + B(l ref r Lx) = (A BL)x + Bl ref r y = Cx Y (s) = C[sI (A BL) Bl ref R(s) Vi har ny systemmatris Nya karaktäristiska polynomet är Välj L för att få önskade poler Välj l ref för att få y = r i stationaritet det[si (A BL) 3 Exempel DC-motor Exempel (forts) Tillståndsform Överföringsfnktionen från spänning till vinkel: G p (s) = s(s + a) = s(s + ) ẋ = ax + ẋ = x y = x Q: Vad motsvarar x respektive x? a x + [ y = x Tillstånd x motsvarar vinkelhastighet Tillstånd x motsvarar motorvinkel 5 P-reglering: = K(r y) G o (s) = K s(s + a)

3 Example (forts) Återkoppling från åde x och x DC-motor exempel Styrlag: = l ref r l x l x Sltet system: Exampel (forts) a l l x + l ref r [ y = x 6 Styrlagen Figre : Tillståndsåterkoppling motorreglering = l r r l x l x = l r r Lx ger det sltna systemet [ [ l l lr x + r Exempel [ y = x 7 Karaktäristiskt polynom: det(si A) = s + a + l l s = (s + a + l )s + l Kan vi fritt välja önskat karaktäristiskt polynomial (poler)? ẋ = x + ẋ = x = s + (a + l )s + l Polene kan placeras var vi önskar genom att välja l, l [ [ x + I stationäritet: [ [ẋ (a + l )x l x + l ref r = = ẋ x x = l x = l ref r det(si A + BL) = s + + l l s + = (s + + l )(s + ) Välj l ref = l Det ger x = y = r i stationäritet Vi kan inte påverka x! 8 9 Styrarhet x(t) = e At x() + e A(t s) B(s)ds Systemet Cayley-Hamilton: Ax + B kallas styrart om för varje a och det existerar en styrsignal som ändrar systemet från tillstånd x() = a till tillstånd x(t) = OBS! Styarhet oeroende av y, C och D! = A n + a A n + + a n A + a n där det(si A) = s n + a s n + + a n s + a n Vi får då e At = I + At + A t + = α (t)i + α (t)a + + α n (t)a n Kriterim för styrarhet Det följer att x(t) = e At a + = e At a + där β k = α k(t s)(s)ds n k= e A(t s) B(s)ds β k A k B Lösnigar fär alla a och = x(t) existerar om och endast om B, AB, A B,, A n B Systemet Ax + B är styrart om och endast om (omm) [ rang B AB A n B = n } {{ } W s Matrisen W s kallas styrarhetsmatrisen är linjärt oeroende 3 3

4 Example Exempel 3a Pmpning till ndre tanken [ [ a Ax + B = x + [ a rang rang = Styrart! [ [ Ax + B = x + [ rang rang = Ej styrart! ẋ = ax ẋ = ax ax + [ [ a x + a a [ a Ej styrart! 5 Exempel 3 Pmpning till övre tanken Exempel 3c Pmpning till parallella tankar ẋ = ax + ẋ = ax ax ẋ = ax + ẋ = ax + [ [ a x + a a [ [ a x + a [ a a Styrart! [ a a Ej styrart! 6 7 Styrar form Tillståndsåterkoppling i styrar kanonisk form G(s) = s n + + n s + n s n + a s n + + a n s + a n a a a n a n x + y = [ n n x Integraldel i reglatorn Styrart! 8 a l a l a n l n a n l n A BL = Nytt karaktäristiskt polynom s n + (a + l ) }{{} sn + (a + l ) }{{} sn + + (a n + l n ) }{{} Fördel: Enkelt att se hr man ska välja L = [l l l n för att ändra från rsprngligt karaktäristiskt polynom till önskat! Introdcera ett extra tillstånd x i som integralen av reglerfelet x i = (r y) ẋ i = r y = r Cx 9 En egränsning med vanlig tillståndsåterkoppling är att den saknar integraldel, vilket reslterar i risk för stationära reglerfel Figre : Introdcera extra tillstånd x i för tillståndsreglering med integraldel 3 3

5 Om vi tökar tillståndsvektorn x med integraltillståndet x i så att ẋ i x x e = x n kan det tökade system skrivas [ẋ [ [ A B ẋ e = = x e + C [ y = C x e = C e x e x i + [ r = A e x e + B e + B r r Vi har därmed fått en reglator med integraldel I stationäritet gäller att ẋ e = och därmed ẋ i = r y = 3 Tillståndsåterkoppling med integraldel (forts) Reglatorn li n där = l r r Lx l i x i = l r r L e x e L e = [L l i Detta ger det återkopplade (sltna) systemet som ẋ e = (A e B e L e )x e + (B e l r + B r )r y = C e x e Parametrarna i vektorn L e väljs som så att vi får det önskade closed-loop pole placement, jst as previosly Polernas placering ges av det karaktäristiskt polynomet det(si (A e B e L e )) INTE samma värde för L med resp tan integraldel! 33 F8 Sammanfattning Anm: Vi ehöver inte längre parametern l r för att ppnå y = r i stationäritet Parametern påverkar inte polerna till det sltna systemet, men dess nollställen Nollställen påverkar det transienta svaret properties at setpoint changes Vi kommer att återkomma till inverkan av nollställen senare i krsen 3 Tillståndsterkoppling 3 Exampel 5 Integraldel i reglator Nästa föreläsning Oserverarhet Tillståndsskattning Utsignalåterkoppling Pol-nollställesförkortning (Varning!) 35 5