REGLERTEKNIK KTH. REGLERTEKNIK AK EL1000/EL1110/EL1120 Tentamen , kl

Transkript

1 REGLERTEKNIK KTH REGLERTEKNIK AK EL1000/EL1110/EL1120 Tentamen , kl Hjälpmedel: Kursboken i Reglerteknik AK (Glad, Ljung: Reglerteknik eller motsvarande) räknetabeller, formelsamlingar och räknedosa. Observeraattövningsmaterial (övningsuppgifter, ex-tentor och lösningar) INTE är tillåtna hjälpmedel. Observandum: Behandla inte mer än en uppgift per blad. Varje steg i lösningen skall motiveras. Bristfällig motivering kan ge poängavdrag. Skriv svar (med enhet i förekommande fall). Skriv namn och personnummer på varje inlämnat ark. Skriv endast på ensidaperark. Fylliantaletinlämnade ark på omslaget. Tentamen består av fem uppgifter, som vardera bedöms med 10 poäng. Poängsättningen för deluppgifter har markerats. Betygsgränser: betyg Fx: 21 betyg E: 23 betyg D: 28 betyg C: 33 betyg B: 38 betyg A: 43 Ansvarig: Henrik Sandberg, Resultat: Finns på Studerande-expeditionen (STEX) Utlämning: Tentamen kan hämtas ut vid Studerande-expeditionen, plan 3, Osquldas väg 10. Lycka till! 1

2 1. (a) Ett system beskrivs av differentialekvationen där u(t) är insignal och y(t) utsignal. Bestäm: ÿ(t)+4ẏ(t)+y(t) =u(t), (1) (i) Överföringsfunktionen från insignal till utsignal. (ii) En godtycklig tillståndsmodell av (1). (1p) (b) Systemet (1) ska regleras med en P-regulator, u(t) =K P (r(t) y(t)), där r(t) är en referenssignal. För vilka K P är det slutna systemet stabilt? (c) När systemet utsätts för en periodisk störning v(t) = sin t kan det modelleras som ÿ(t)+4ẏ(t)+y(t) =u(t)+v(t). Hur beror amplituden av utsignalen y(t) när transienten klingat av på K P,då återkopplingen u(t) = K P y(t) används? (3p) (d) Beräkna överföringsfunktionen från U(s) till Y (s) för systemet i Figur 1. F 1 (s) U(s) G 1 (s) + G 2 (s) Y (s) F 2 (s) Figur 1: Blockdiagram för Uppgift 1 (d). 2

3 2. (a) I denna deluppgift ska vi studera de sex överföringsfunktionerna G A (s) = s +1 s 2 + s +1, G B(s) = 1 s s 2 + s +1, G C(s) = G D (s) = 1 5s, G E(s) = 1 s 2 +2s +1, G F (s) = s +1 s s +1 9 s 2 +6s +9 Nedan i Figur 2 följer sex stegsvar för överföringsfunktionerna ovan. Para ihop rätt stegsvar och överföringsfunktion. Skalorna på både x-axlarna (tid) och y- axlarna (utsignal) är lika för alla figurerna. Motivera noga! (Ej fullständig motivering räknas som felaktigt svar.) (6p) (b) Skriv den olinjära modellen Figur2:Stegsvar1 6. ẍ(t)+3ẋ(t)+2sinx(t) =u(t) på tillståndsform och linjärisera den kring en stationär punkt som ges av insignalen u 0 (t) =0.Välj tillstånden som x 1 (t) =x(t) ochx 2 (t) =ẋ(t) och utsignalen som y(t) =x(t). (4p) 3

4 3. Nyquistdiagrammet för ett (stabilt) system med överföringsfunktion G(s) är återgivet i Figur 3 (se nästa sida), och data för punkterna A F är givna i Tabell 1. Konstruera en kompenseringslänk F (s) för systemet G(s), som uppfyller: (a) Kompenseringslänken ska ge en fasmarginal ϕ m = 50 grader vid den önskade skärfrekvensen ω c =2rad/sför F (s)g(s). (5p) (b) Kompenseringslänken ska också minska det slutna systemets statiska reglerfel till 1% av det okompenserade slutna systemets statiska reglerfel, då referensignalen är ett enhetssteg. Samtidigt får inte fasmarginalen sänkas med mer än 6 grader jämfört med (a). (5p) Tabell 1: Data för punkterna A F i Figur 3 Punkt Re G(iω) Im G(iω) ω A 0 0 B C D E F

5 Nyquist Diagram Imaginary Axis B C A F 1 D 1.5 E Real Axis Figur 3: Nyquistdiagram för G(s) i Uppgift 3. 5

6 z ϕ Figur 4: En kran med en vajer som hänger från en rörlig vagn. 4. Betrakta kranen i Figur 4. En vagn rör sig längs en balk och från vagnen hänger en vajer med en last i änden. Vi kan låta systemets tillstånd vara x 1 = ϕ, x 2 = ϕ. Vagnens position längs balken är z och som styrsignal använder vi vagnens acceleration, u = z. Systemet kan skrivas på tillståndsform: [ ẋ1 ẋ 2 ] [ ] 0 1 = 4 1 }{{} A y = [ 1 0 ] x. }{{} C [ x1 x 2 ] [ ] 0 + u 1 }{{} B (a) Beräkna en tillståndsåterkoppling u = Lx + r så att det slutna systemet får en dubbelpol i -5. (3p) (b) För att testa det slutna systemet gör man ofta ett stegsvarsexperiment. Men vilka praktiska problem skulle det innebära i fallet med kranen? (1p) (c) Tyvärr kan vi inte mäta alla tillstånd, utan bara utsignalen y, så vi använder en observerare: ˆx = Aˆx + Bu + [ 9 12 ] (y C ˆx). Som Figur 5 (nästa sida) visar, bildar observerare och tillståndsåterkoppling tillsammans ett system med en insignal och en utsignal. Beräkna överföringsfunktionen F (s) för detta system. Anta att vi använder återkopplingen u = Lˆx + r, med L =(5 5)ochr = 0. (Till skillnad från del (a) ger det en dubbelpol i 3 för slutna systemet.) (4p) (d) Om lasten svänger så bromsas den svagt av luftmotstånd och friktion i vajern, vilket ingår i modellen. Hur skulle man ändra matrisen A för att få det (orealistiska) fallet utan friktion och luftmotstånd? 6

7 u ẋ = Ax + Bu y = Cx y L ˆx ˆx = Aˆx + Bu + K(y C ˆx) F (s) Figur 5: Tillståndsåterkopplingen och observeraren utgör ett eget system F (s). 7

8 5. Det stabila systemet Y (s) = G(s)U(s) ska regleras genom återkoppling från reglerfelet E(s) enligt Figur 6. Bodediagrammet för överföringsfunktionen G(s) visas i Figur 7 (nästa sida). + - Σ E F U G Y Figur 6: Blockdiagram för Uppgift 5 (a) Antag att en P-regulator, F (s) = K, används. Hur stor kan regulatorns förstärkning K vara om det slutna systemet ska vara stabilt? (b) Hur stor är den maximala skärfrekvensen man kan få med en P-regulator om fasmarginalen ska vara minst 45 grader? Vad motsvarar detta för ungefärlig bandbredd för det slutna systemet? (3p) (c) För att eliminera stationära fel används istället en I-regulator, F (s) = K,K >0. s För vilka K blir det slutna systemet stabilt? (5p) 8

9 10 0 G(iω) ω [rad/s] arg G(iω) [ ] ω [rad/s] Figur 7: Bodediagram för Uppgift 5. 9