TENTAMEN I TSRT91 REGLERTEKNIK

Transkript

1 SAL: G, TERD TENTAMEN I TSRT9 REGLERTEKNIK TID: 7-- kl. 8: : KURS: TSRT9 Reglerteknik PROVKOD: TEN INSTITUTION: ISY ANTAL UPPGIFTER: 5 ANSVARIG LÄRARE: Martin Enqvist, tel BESÖKER SALEN: cirka kl. 9: och : KURSADMINISTRATÖR: Ninna Stensgård, -85, ninna.stensgard@liu.se TILLÅTNA HJÄLPMEDEL:. T. Glad & L. Ljung: Reglerteknik. Grundläggande teori. Tabeller och formelsamlingar, t.ex.: L. Råde & B. Westergren: Mathematics handbook, C. Nordling & J. Österman: Physics handbook, S. Söderkvist: Formler & tabeller. Miniräknare utan färdiga program Normala inläsningsanteckningar får finnas i böckerna. LÖSNINGSFÖRSLAG: Finns på kursens websida efter skrivningens slut. VISNING av tentan äger rum 7--, kl... på examinatorns rum, B-huset, ingång 5, A-korridoren till höger. PRELIMINÄRA BETYGSGRÄNSER: betyg poäng betyg 4 poäng betyg 5 4 poäng OBS! Lösningar till samtliga uppgifter ska presenteras så att alla steg (utom triviala beräkningar) kan följas. Bristande motiveringar ger poängavdrag. Lycka till!

2 . (a) Vid destruktion av farligt avfall är det viktigt att avfallet förbränns vid en tillräckligt hög temperatur. I den svenska förordning som reglerar detta (Svensk författningssamling :5) står följande: En förbränningsanläggning ska vara försedd med ett fungerande automatiskt system som förhindrar tillförsel av avfall under tidsperioder när [... ] den temperatur i rökgaserna som krävs enligt denna förordning inte upprätthålls [... ] I en avfallsförbränningsanläggning ska temperaturen mätas nära förbränningskammarens innersta vägg. I en avfallsförbränningsanläggning ska varje linje vara utrustad med minst en stödbrännare som ska starta automatiskt när temperaturen hos rökgaserna efter den sista tillförseln av förbränningsluft [... ] understiger grader Celsius, om förbränningen avser farligt avfall som innehåller mer än en procent organiska halogenföreningar uttryckt som klor [... ] Ge exempel på vad som kan vara styrsignal, utsignal och referenssignal i ett sådant förbränningssystem. Ge också en förklaring till varför användningen av reglerteknik och återkoppling kan ge miljömässiga vinster. (4p) (b) Vilka tre faktorer är det i praktiken som förhindrar att man kan skapa återkopplade reglersystem med godtyckligt bra prestanda med avseende på utsignalens förmåga att följa referenssignaler och reducera inverkan av systemstörningar? (p) (c) Ett system som beskrivs av sambandet Y (s) = G(s)U(s), med G() =, återkopplas med en P-regulator. Det slutna systemet är insignal-utsignalstabilt för de båda regulatorinställningarna K P = och K P = 4.5. Beräkna lim t y(t) för det slutna systemet när referenssignalen är ett steg med amplitud för de båda valen av regulatorförstärkning. Nämn en nackdel med att välja en högre förstärkning i regulatorn. (p)

3 . (a) För det insignal-utsignalstabila systemet G (s) har man experimentellt uppmätt nyquistkurvan enligt figur. Antag att man vill använda en P-återkoppling. För vilka värden på K P är det återkopplade systemet stabilt? Bestäm även amplitud- och fasmarginalen för det öppna systemet. (5p) Nyquist curve.5.5 Imag Real Figur : Experimentellt uppmätt nyquistdiagram. (b) Fyra system som beskrivs av överföringsfunktionerna och G (s) = 5 s 5 + 6s 4 + s + 8s + 475s +, 5 G (s) = s 5 + 4s s + 4s + 75s + 5, 5 G (s) = s 5 + s s + 5s + 75s + 75 G 4 (s) = 5 s 5 + 8s 4 + 4s + 4s + 675s + 45, ska regleras med P-återkoppling u(t) = K P (r(t) y(t)). Figur visar rotorter med avseende på parametern K P för de fyra systemen. Antag att nämnarpolynomen i de olika överföringsfunktionerna heter P k (s) (k =,,, 4) och ange den ekvation som rotorterna visar rötterna till. Para ihop rätt rotort med rätt överföringsfunktion genom att studera rotorternas startpunkter. (5p)

4 Root Locus Root Locus Imaginary Axis (seconds ) Imaginary Axis (seconds ) Real Axis (seconds ) Real Axis (seconds ) (a) (b) Root Locus Root Locus Imaginary Axis (seconds ) Imaginary Axis (seconds ) Real Axis (seconds ) Real Axis (seconds ) (c) (d) Figur : Rotorter för P-reglering av fyra olika system. 4

5 . Låt oss betrakta problemet att balansera en käpp på fingerspetsen. Vi idealiserar först problemställningen enligt figuren nedan. Den nedre änden på käppen antas röra sig längs z-axeln, medan insignalen u(t) är accelerationen hos denna punkt, dvs u(t) = ξ(t). Käppens längd låter vi vara R, och vi antar att dess massa m är koncentrerad i toppänden. Antag vidare att ϕ är liten, så att sin ϕ ϕ och cos ϕ. Kraften från fingerspetsen kan endast verka i käppens riktning. Genom att beräkna de vertikalt verkande krafterna (ingen acceleration i vertikalled) fås mg = F och kraftkomponenten i z-riktningen är därmed mgϕ(t) = F z (t) = m z(t) medan masscentrum har z-koordinaten z(t) = ξ(t) + R ϕ(t) Vi kan nu betrakta balanseringsakten som ett dynamiskt system med insignalen u(t) (fingerspetsens acceleration i z-led) och utsignalen y(t) = ϕ(t) (käppens vinkel från vertikalläge). (a) Välj tillståndsvariablerna x = ϕ och x = ϕ och ange en tillståndsbeskrivning för systemet. (p) (b) Är systemet asymptotiskt stabilt? (p) (c) Kan ( systemet ) stabiliseras med P-återkopplingen u(t) = Ky(t) = K x(t) (p) (d) Bestäm en tillståndsåterkoppling så att det slutna systemet har alla poler i punkten. (p) (e) Det är möjligt för en människa att balansera en käpp på ett finger. Vad säger slutsatserna från (c) och (d) om den mänskliga förmågan och öga-hand-koordinationen i detta fall? (p) 5

6 Figur : Robot i uppgift Man vill styra en flexibel robotarm (se figur ) med en regulator U(s) = F (s)(r(s) Y (s)) där y(t) är positionen hos robotarmen, r(t) är önskad position hos robotarmen och u(t) styrsignal. Med en proportionell återkoppling F (s) = K där K = 4 fås bodediagrammet för G o (s) = F (s)g(s) enligt figur 4 och stegsvaret för det slutna systemet enligt figur 5. (a) Avläs stigtid, insvängningstid (5%) och översläng hos stegsvaret då K = 4 används? (p) (b) För vilka K > är det återkopplade systemet stabilt? (p) (c) Stegsvaret är alldeles för oscillativt. Ta fram en lead-lag-regulator, utan onödigt hög låg- eller högfrekvensförstärkning, som uppfyller följande krav lika snabbt som för K = 4 fasmarginal minst 9 då referenssignalen är en ramp ska det stationära felet vara noll (6p) 6

7 Bode Diagram Gm = 6. db (at 9.5 rad/sec), Pm = 6.8 deg (at 4.79 rad/sec) 5 Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) Figur 4: Bodediagram för G o (s) = F (s)g(s) i uppgift 4. Amplitudmarginal 6. db och fasmarginal 6.8 grader. 7

8 Step Response Amplitude Time (seconds) Figur 5: Stegsvar för roboten i uppgift 4. 8

9 5. Betrakta ett system som beskrivs av differentialekvationen.5ÿ(t) = u(t) ẏ(t), där u(t) är systemets insignal och y(t) är dess utsignal. Antag att man vill styra systemet med en P-regulator u(t) =.5(r(t) y(t)), där r(t) är en referenssignal. Man har dock insett att det sanna systemet nog egentligen beskrivs av differentialekvationen där c är en konstant..5ÿ(t) = u(t) + c u(t) ẏ(t), (a) Bestäm det sanna slutna systemets poler när c =. Ligger båda dessa poler i vänster halvplan? (p) (b) Bestäm ett uttryck för det relativa modellfelet för ett godtyckligt värde på c. (p) (c) Bestäm hur stort c som mest får vara för att man ska kunna garantera stabilitet för det sanna slutna systemet med hjälp av robusthetskriteriet. (5p) 9