TENTAMEN: DEL B Reglerteknik I 5hp

Transkript

1 TENTAMEN: DEL B Reglerteknik I 5hp Tid: Fredag 25 oktober 2013, kl Plats: Magistern Ansvarig lärare: Hans Norlander, tel Hans kommer och svarar på frågor ungefär kl Tillåtna hjälpmedel: Kursboken (Glad-Ljung), miniräknare, Laplace-tabell och matematisk formelsamling. Skrivningen består av två delar, del A och del B. För att bli godkänd på skrivningen krävs att man är godkänd på del A. Del B är frivillig och ges endast vid ordinarie tentatillfällen (vid respektive kurstillfällen.) Preliminära betygsgränser: Betyg 3: Godkänt på del A Betyg 4: Godkänt på del A och minst 10 poäng på del B (inkl. bonuspoäng) Betyg 5: Godkänt på del A och minst 18 poäng på del B (inkl. bonuspoäng) OBS: Svar och lösningar lämnas in på separata papper. Endast en uppgift per ark. Skriv din tentakod på varje ark. Lösningarna ska vara tydliga och väl motiverade (om inget annat anges). Avläsningar ur diagram behöver inte vara exakta. LYCKA TILL!

2 Uppgift 1 Man vill styra varvtalet på en elektrisk maskin, som beskrivs som ( ) = ( )Í( ), där insignalen Ù är spänningen man lägger över ingången, och utsignalen Ý är varvtalet i antalet varv per sekund. Nedan visas Bodediagrammet för maskinen belopp 10 1 fas ( o ) ω (rad/s) ω (rad/s) Man styr genom återkoppling från reglerfelet, Í( ) = ( )( Ö ( ) ( )) (a) För att helt eliminera reglerfelet i stationäritet vill man ha integralverkan i regulatorn. Man prövar först med en rent integrerande regulator, ( ) = Ã. Vad är då den högsta skärfrekvens man kan få om man vill ha fasmarginalen ³ Ñ 50 Æ? (2p) (b) Konstruera en regulator ( ), med integralverkan, och sådan att det slutna systemet blir tjugo gånger så snabbt som i (a), och att fasmarginalen är ³ Ñ 50 Æ. (3p) Uppgift 2 Ange för vart och ett av följande påståenden ifall det är sant eller falskt. har identiska beloppkur- (a) Tidsfördröjningen Ì och allpassfiltret Ì +2 Ì +2 vor i Bodediagrammet. (b) Tillståndsbeskrivningen Ü(Ø) = Ü(Ø) + Ù(Ø), Ý(Ø) = Ü(Ø) är en minimal realisation för systemet ( ) = Í( ). (c) Alla minimala realisationer är insignal-utsignalstabila. (d) Alla insignal-utsignalstabila system är minfassystem. (e) Alla asymptotiskt stabila tillståndsmodeller är insignal-utsignalstabila. Varje rätt svar ger +1 poäng och varje felaktigt svar ger -1 poäng (och utelämnat svar ger noll poäng). Totalt ger dock uppgiften minst 0 poäng. Ingen motivering behövs enbart svaren sant och falskt kommer att beaktas. (5p) 1

3 Uppgift 3 Ett system bestående av tre seriekopplade vattentankar ska styras se figuren nedan. Man vill reglera nivån i den understa tanken. En enkel modell, som beskriver avvikelsen från en arbetspunkt, är 1 ( ) = Í( ) 2( ) = ( ) ( ) = 3 ( ) = ( ) där Ü 1, Ü 2 och Ü 3 är nivåerna i tankarna, uppifrån och ner, insignalen Ù är inflödet till den översta tanken och utsignalen Ý är nivån i den understa tanken. (a) Ställ upp tillståndsmodellen för systemet, med tillståndsvektorn Ü = Ü1 Ü 2 Ü 3 Ì. (2p) (b) Är tillståndsmodellen i (a) en minimal realisation? (1p) (c) När man styr systemet med proportionell återkoppling, Ù = Ã(Ý Ö Ý) med à 0, blir det slutna systemet stabilt för à à 1 och instabilt för à à 1. För à = à 1 uppstår en sjävsvängning med vinkelfrekvensen 1. Bestäm à 1 och 1. (2p) Uppgift 4 Känslighetsfunktionerna Ë( ) och Ì ( ) har båda flera innebörder/tolkningar för ett återkopplat system. Anta att systemet ( ) = ( )Í( ) + Î ( ) återkopplas med Í( ) = ( )( Ö ( ) ( )) Här är Ú en störning. ( ) väljs så att slutna systemet är stabilt. (a) För ett visst val av ( ) blir Ý(Ø) = sin(ø 2) då Ý Ö (Ø) = sin Ø och Ú(Ø) = 0 (då alla transienter dött ut). Vad blir då Ý(Ø) när Ý Ö (Ø) = 0 och Ú(Ø) = sin Ø? Ledning: Vad blir Ë( ) + Ì ( )? (3p) (b) Låt Å Ì = max Ì ( ). Med en viss regulatordesignmetod kan man få Å Ì att anta ett önskat värde, d.v.s. man kan därigenom själv välja vad maxvärdet av Ì ( ) ska bli. Anta att det verkliga systemet har överföringsfunktionen 0 ( ) = ( )(1 + ( )), och att man vet att ( ) 0 8 för alla. Vad bör man då välja Å Ì till ifall man vill kunna garantera stabiliteten för det verkliga slutna systemet? (2p) 2

4 Lösningar till tentamen i Reglerteknik I 5hp, del B (a) Med den integrerande regulatorn blir kretsförstärkningen Ó ( ) = ( ), och därmed Ã Ó ( ) = à ( ) à arg Ó ( ) = arg + arg ( ) = 90 Æ + arg ( ) Här är ( ) och arg ( ) kända från Bodediagrammet. För att få ³ Ñ 50 Æ krävs att arg Ó ( ) 130 Æ, vilket här innebär att arg ( ) 40 Æ. Bodediagrammet ger att arg ( ) 40 Æ för 0 7 rad/s. Alltså är den högsta möjliga skärfrekvensen = 0 7 rad/s. (b) Tjugo gånger så snabbt µ välj = = 14 rad/s. Vi vill också ha ³ Ñ 50 Æ, och integralverkan i regulatorn. Från Bodediagrammet får vi ( 14) = 0 09 och arg ( 14) = 146 Æ Regulatorn måste alltså skjuta till 16 Æ för att få ³ Ñ = 50 Æ. Därför använder vi ett leadfilter, och integralverkan fixar vi med ett lagfilter med = 0. För att kompensera för lagfiltrets negativa fasbidrag låter vi leadfiltret skjuta till 16 Æ + 6 Æ = 22 Æ vid = 14 rad/s. Fig µ välj = Välj så att leadfiltrets maxfas inträffar vid önskade skärfrekvensen: = 1 Ô = 1 14 Ô = Slutligen väljs à så att 0 45 = 14 rad/s verkligen blir skärfrekvens: 1 = Ð ( ) Ð ( ) ( ) = Ã Ô ( ) Leadfiltret blir då à = Ô ( ) = Ð ( ) = à = Ô = 7 45 I lagfiltret väljer vi = 0 för att få integralverkan, och enligt tumregeln väljer vi Á = 10 = 10 = Lagfiltret blir då 14 Ð ( ) = Á + 1 Á + = och den totala regulatorn är ( ) = Ð ( ) Ð ( ). 2. (a) Sant (ty Ì = Ì + 2 Ì + 2 = 1); (b) Sant (ty +1 = 1.); (c) Falskt (motexempel: Ü = Ü + Ù, Ý = Ü är instabilt.); (d) Falskt (motexempel: stabila systemet ( ) = +1 har nollställe i HHP.); +1 1

5 (e) Sant (Res ) 3. (a) För Ü 1 gäller ( + 1) 1 ( ) = Í( ) 1 ( ) = 1 ( ) + Í( ) Ä 1 µ Ü 1 = Ü 1 + Ù Samma gäller även för Ü 2 och Ü 3, vilket ger oss ¾ ¾ Ü 1 = Ü 1 + Ù Ü 2 = Ü 1 Ü 2 Ü = Ü + 0 Ù Ü 3 = Ü 2 Ü Ý = Ü 3 Ý = Ü (b) Minimal realisation både styrbart och observerbart (Res. 8.11). Styrbarhets- och observerbarhetsmatriserna blir här ¾ ¾ ¾ Ë = = Ç = = Både Ë och Ç har full rang och systemet är därför både styrbart (Res. 8.8) och observerbart (Res. 8.9). Alltså är det en minimal realisation. (c) Det gäller att ( ) = 1 Í( ), och med Í( ) = Ã( ( +1) 3 Ö ( ) ( )) blir kretsförstärkningen Ó ( ) = Ã. Det slutna systemet blir ( ) = ( +1) 3 Ó( ) 1+ Ó( ) Ö ( ), och dess poler ges av 0 = 1 + Ó ( ), vilket här blir 0 = 1 + à ( + 1) 3 0 = ( + 1) 3 + à = à Stabiliteten kan t.ex. undersökas med Rouths algorithm: à 0 1+à à 1+à För stabilitet krävs att 3 0 och att 1 + à 0. Här vet vi dock 3 att à 0 så stabilitetsvillkoret blir 9 (1 + Ã) 0 à 8. Alltså är à 1 = 8. Självsvängning uppstår pga. poler på Im-axeln, i 1 (där ju 1 är självsvängningens vinkelfrekvens). För att undersöka detta sätter vi = : 0 = ( ) 3 + 3( ) 2 + 3( ) à = 1 + à ßÞ 3 Ð 2 + (3 2 ) ßÞ Ð realdel imaginärdel Både realdelen och imaginärdelen måste vara noll µ = 0, dvs. 1 = Ô 3 rad/s. 2

6 4. (a) Vid återkoppling från reglerfelet, som här, blir det slutna systemet ( ) = Ó( ) 1 + Ó ( ) 1 Ö ( ) Ó ( ) Î ( ) = Ì ( ) Ö ( ) + Ë( )Î ( ) Sinus in sinus ut ger att då att och då Ý Ö (Ø) = sin Ø och Ú(Ø) = 0 µ Ý(Ø) = Ì ( ) sin(ø + arg Ì ( )) Ú(Ø) = sin Ø och Ý Ö (Ø) = 0 µ Ý(Ø) = Ë( ) sin(ø + arg Ë( )) Vi vet att Därför är Ì ( ) = 1 och arg Ì ( ) = 2 Ì ( ) = Ë( ) = 1 Ì ( ) = 1 + µ Ë( ) = Ô 2 och arg Ë( ) = 4 Alltså blir Ý(Ø) = Ô 2 sin(ø + 4). (b) Res. 6.2 µ om Ì ( ) är stabil och om Ì ( ) 1 ( ) för alla så är slutna systemet garanterat stabilt. Alltså bör man se till att Å Ì =