TENTAMEN Reglerteknik 4.5hp X3

Transkript

1 OBS: Kontrollera att du har fått rätt tentamen! Denna tentamen gäller i första hand för Reglerteknik 4.5hp. På sista sidan av tentamen finns ett försättsblad, som ska fyllas i och lämnas in tillsammans med dina lösningar. Ange där hur många (kurs- poäng du tenterar för. TENTAMEN Reglerteknik 4.5hp X3 Tid: Onsdag juni 008, kl Plats: Polacksbacken Ansvarig lärare: Hans Norlander, tel svarar på frågor ungefär kl 0.30 och kl.30. Hans kommer och Tillåtna hjälpmedel: Kursboken (Glad-Ljung, miniräknare, Laplace-tabell och matematisk formelsamling. Preliminära betygsgränser: 3:[3, 33[, 4:[33, 43[, 5:[43, 50 maxpoäng] Uppgift 8 är istället för inlämningsuppgifterna. OBS: Endast en uppgift per ark. Skriv namn på varje ark. Lösningarna ska vara tydliga och väl motiverade (om inget annat anges. Avläsningar ur diagram behöver inte vara exakta. LYCKA TILL!

2 Uppgift I blockdiagrammet nedan visas två seriekopplade system, med två insignaler, Ù och Ù. De två delsystemen har överföringsfunktionerna Ù + + Ù ( Σ ( Ý ( respektive (. I bodediagrammet nedan visas de två delsystemens belopp- och faskursvor för är kurvorna heldragna och för är kurvorna streckade. 30 G 0 belopp 0 0 G fas ( o G G ω (rad/s ω (rad/s (a Om Ù (Ø 0 och Ù (Ø sin Ø så kommer också Ý(Ø att bli en sinussvängninging (efter att transienterna har klingat ut. Bestäm Ý(Ø. (p (b Bestäm på motsvarande sätt utsignalen Ý(Ø för fallet då Ù (Ø sin Ø och Ù (Ø 0. Uppgift (a Bestäm polerna och nollställena för systemet med tillståndsbeskrivningen 3 Ü(Ø Ü(Ø + Ù(Ø Ý(Ø 7 8 Ü(Ø (b Ställ upp tillståndsbeskrivningen för systemet ( tillståndsvariablerna Ü Ý och Ü Ý Ø. (p Í( med ( +( +

3 Uppgift 3 Ett system har tillståndsbeskrivningen Ü(Ø Ü(Ø + Ù(Ø 0 Ý(Ø 0 Ü(Ø och man vill styra systemet med tillståndsåterkoppling, d.v.s. med styrlagen Ù(Ø ÄÜ(Ø + ÑÝ Ö (Ø. (a Bestäm Ä och Ñ i styrlagen ovan så att det slutna systemet blir ( Ö( (4p (b Bestäm överföringsfunktionen från referenssignalen Ý Ö till styrsignalen Ù för det slutna systemet, när man använder tillståndsåterkopplingen som konstruerades i uppgift (a. Uppgift 4 Systemet ( Ì Í( ska styras genom återkoppling från reglerfelet, Ý Ö Ý. Systemet består alltså av en ren integration samt en tidsfördröjning på Ì sekunder. (a Anta att man använder proportionell återkoppling, Ù(Ø Ã(Ø Ã(Ý Ö (Ø Ý(Ø. Vilken är då den högsta skärfrekvens man kan få, och vad är största värdet på à man kan ha, om man vill ha fasmarginalen ³ Ñ 60 Æ? Ange svaret uttryckt i tidsfördröjningen Ì. (b Anta nu att Ì sekund. Man ska konstruera en regulator ( sådan att (med Í( ( ( följande specifikationer är uppfyllda:. kretsförstärkningen får skärfrekvensen rad/s,. och fasmarginalen ³ Ñ 50 Æ, 3. samt att det kvarvarande felet för det slutna systemet är lim ؽ (Ø 0 då referenssignalen är en ramp med lutningen ett, Ý Ö (Ø Ø för Ø 0. Ange värdena för (, arg ( och (0 för en regulator som uppfyller specifikationerna. (Regulatorn (, som t.ex. kan vara ett lead-lagfilter, behöver alltså inte bestämmas! (4p

4 Uppgift 5 Blockschemat nedan beskriver hur hastigheten Ý hos en viss bil beror av gaspådraget Ù och en yttre störningskraft Ú. är dragkraften genererad av motorn. Bilen är utrustad med en farthållare i form av en motor Ú bil Ù Σ +0 Ý PI-regulator så att gaspådraget bestäms enligt Í( à + Ì ( Ö ( ( Ã Ì 0 (a När farthållaren är inkopplad kommer det återkopplade systemet ges av ( ( Ö ( Ú ( Î ( Bestäm överföringsfunktionerna ( och Ú (. (b Anta att man valt PI-regulatorns integrationstid till Ì 05. Ange ett villkor på förstärkningen à för att det återkopplade systemet ska vara stabilt. (c Anta att à och Ì valts så att det återkopplade systemet är stabilt. Om Ý Ö 0 m/s ( 7 km/h och Ú (beroende på en lång uppförsbacke med ungefär 0% lutning, vad blir då hastigheten stationärt? D.v.s. bestäm lim ؽ Ý(Ø för detta fallet. (p 3

5 Uppgift 6 Man har den nominella modellen ( ( Í( + Í( för ett system, och man vill styra det genom att återkoppla från reglerfelet, Í( ( ( Ö ( ( och man vill använda PI-regulatorn ( à + à 0 Man vet dock att modellen ( inte är en exakt beskrivning av systemet, utan att det verkliga systemet har överföringsfunktionen där ( är det relativa modellfelet. 0 ( ( ( + ( (a Anta att det enda man vet om ( är att ( för alla, och för någon konstant. Hur stor får vara för att det slutna systemet garanterat ska vara stabilt? (b Anta nu istället att man vet att ( 0 för alla. Hur stor förstärkning à kan man då välja i PI-regulatorn och fortfarande kunna garantera stabiliteten hos det återkopplade systemet? 4

6 Uppgift 7 Ange för vart och ett av följande påståenden ifall det är sant eller falskt. (a Om systemet Ü Ý Ü + Ù Ü är på styrbar kanonisk form är det garanterat stabilt. (b Om systemet i (a är på styrbar kanonisk form, och om man använder tillståndsåterkoppling, så blir också det slutna systemet på styrbar kanonisk form. (c Om systemet i (a är på observerbar kanonisk form, och om man använder tillståndsåterkoppling, så blir också det slutna systemet på observerbar kanonisk form. (d Täljarpolynomet för överföringsfunktionen ( ( Á systemet i (a har lägre gradtal än nämnarpolynomet. för (e Om samtliga koefficienterna till observatörspolynomet det( Á +à går att välja godtyckligt (med hjälp av kolonnvektorn à så är systemet i (a observerbart. (f För matrisen är Ø Ø Varje rätt svar ger + poäng och varje felaktigt svar ger - poäng (och utelämnat svar ger noll poäng. Totalt ger dock uppgiften minst 0 poäng. Ingen motivering behövs enbart svaren sant och falskt kommer att beaktas. (6p Ø Ø Ø Uppgift 8 Denna uppgift är istället för inlämningsuppgifterna. Man styr ett system med återkoppling, och det slutna systemets karakteristiska polynom blir då ( + ( + 3( Ã( +, där à 0 är en regulatorparameter. (a Skissa rotorten för det slutna systemets poler med avseende på à 0. Redogör tydligt för (i start- och ändpunkter, (ii asymptoterna, samt (iii vilka delar av den reella axeln som hör till rotorten. (4p (b Ange i vilka punkter rotorten skär den imaginära axeln, samt för vilket värde på à detta inträffar. 5

7 Lösningar till tentamen i Reglerteknik 6hp (a Enligt sinus in sinus ut blir utsignalen Ý(Ø ( sin(ø + arg (. Från Bodediagrammet fås ( 3 och arg ( 90 Æ radianer. Utsignalen blir alltså Ý(Ø 3 sin Ø. (b Nu blir utsignalen ( ( sin(ø+arg (+arg (. Från Bodediagrammet fås ( 07 och arg ( 37 Æ. Utsignalens amplitud blir då , och fasen 90 Æ 37 Æ 7 Æ radianer µ Ý(Ø 08 sin(ø.. (a Överföringsfunktionen fås av formeln ( ( Á, vilket här ger ( ( ( ( ( ( har ett nollställe i 9 039, och poler i 3 Ô 3 346, 69 3 d.v.s. i +646 och 046. (b Vi får på en gång att Ü Ý Ø Ü. I Laplaceplanet blir tillståndsvariablerna ( ( och ( (. För att få ett uttryck för Ü bör hitta uttryck för ( (. För systemet gäller ( + ( + ( Í( µ ( ( Í(, d.v.s. ( ( 3 ( + Í( µ Ü Ü 3Ü + Ù Tillståndsbeskrivningen blir Ü Ü Ü Ü 3Ü + Ù µ Ý Ü 0 0 Ü Ü + Ù 3 Ý 0 Ü 3. (a Systemet står på observerbar kanonisk form, så vi ser direkt att ( Í( Det slutna systemet kommer därför (med lämpligt Ä att bli Ñ( + ( Ö ( + 4 ßÞ + 8 Ð ÖÝ(

8 och vi bör därför välja Ñ 8. Återstår att bestämma Ä: Nämnarpolynomet för slutna systemet blir + + Ð + Ð det( Á + Ä det + Ð + Ð ( + + Ð ( + Ð ( + Ð ( + Ð + ( + Ð + Ð + + Ð Identifiera koefficienter med ÖÝ :s nämnare: + Ð + Ð 4 µ + Ð 8 Ð 6 Ð 4 Styrlagen blir alltså Ù 6 4 Ü + 8ÝÖ. (b För ett generellt system Ü Ü+Ù som styrs med tillståndsåterkoppling Ù ÄÜ + ÑÝ Ö blir det slutna systemet Ü ( ÄÜ + ÑÝ Ö och Ù ÄÜ + ÑÝ Ö Ý Ü Överföringsfunktionen från Ý Ö till Ù blir då ÖÙ ( Ä( Á +Ä Ñ+ Ñ. Här har vi ( Á + Ä + + Ð + Ð Ð + Ð vilket ger ÖÙ ( ( ( (Detta kan också fås från sambandet ÖÝ ( ( ÖÙ (, där ju både ÖÝ ( och ( är kända. 4. (a Kretsförstärkningen blir Ó ( Ì Ã, så Ó( à och arg Ó ( Ì. Fasen påverkas inte alls av Ã, så det är enbart tidsfördröjningen Ì som begränsar hur stor kan väljas. Vi vill att arg Ó ( 60 Æ 80 Æ 0 Æ radianer µ 3 Ì 3 µ 6Ì rad/s Eftersom både belopp och fas för Ó ( avtar monotont med finns det en övre gräns för hur stor à får vara för att ³ Ñ 60 Æ, och gränsfallet svarar

9 mot ³ Ñ 60 Æ µ arg Ó ( 0 Æ. För att 3 6Ì skärfrekvens krävs Ó ( 6Ì Ã 6Ì µ à 6Ì ska vara (b Kretsförstärkningen blir Ó ( (, så Ó( (, arg Ó ( arg (. Med slutvärdesteoremet får vi lim (Ø lim ؽ 0 + Ó ( lim 0 + ( (0 Vi kan därför direkt se att för att uppfylla specifikationerna och 3 måste ( och (0 0. För att få rätt fasmarginal måste vi ha arg Ó ( 30 Æ d.v.s. arg ( radianer µ arg ( radianer 73Æ (a Vi har ( Í( Î ( + vilket ger Í( à + Ì ( Ö ( ( 5Ã( + Ì ( ( + 0( + ( Ö( ( + 5Ã( + Ì ( ( + 0( + 5Ã( + Ì ( +0( + µ ( + 5Ã( + Ì ( +0( + 5Ã( + Ì ( + 0( + + 5Ã( + Ì ßÞ Ð ( 5Ã( + Ì ( + 0( + Ö( Ö ( Ö ( Î ( µ Ã( + Ì ( +0( Î ( Î ( ( + ( + 0( + + 5Ã( + Î ( Ì ßÞ Ð Ú( (b Med Ì 05 blir slutna systemets karakteristiska polynom ( + 0( + + 5Ã( (5à à vars nollställen måste ligga strikt i VHP för stabilitet. Detta undersöks t.ex. med Rouths algoritm. Rouths tablå blir 5à à 0 0à 5à à 3

10 För stabilitet krävs enligt Rouths sats att alla koefficienter i kolumnen längst till vänster är strikt positiva µ 5à + 0 0à 0 µ à 006 (c Eftersom det återkopplade systemet är stabilt kan slutvärdesteoremet användas: lim Ý(Ø lim ( ؽ 0 lim 0 5Ã( + Ì ( + 0( + + 5Ã( + Ì 0 ( + ( + 0( + + 5Ã( + Ì 5Ã Ì 5Ã Ì 0 0 Farthållaren gör alltså att bilen till sist uppnår hastigheten 0 m/s 7 km/h Ý Ö (Ø, vilket beror på integralverkan i PI-regulatorn. 6. (a Resultat 6. i Glad/Ljung (4:e upplagan säger att det slutna systemet är garanterat stabilt ifall ( Ì ( µ ( Ì ( gäller för alla frekvenser. Här är Ì ( känslighetsfunktionen. Här blir ( ( + ( ( den komplementära Ì ( à à + + Villkoret för garanterad stabilitet blir då à + à à + Ã Ã Ô + à à Men Ô (likhet för 0, så för att kunna garantera stabilitet +à måste. (b Nu blir villkoret för garanterad stabilitet 0 Detta villkor kan skrivas om som à + à 0Ã Ô + à (0à + à µ ( (0à + à 0 och för att vänsterledet ska vara positivt för alla måste 0Ã, d.v.s. à 0. 4

11 7. (a F, (b S, (c F, (d S, (e S, (f F, (sätt Ø 0: Ø Ø0 Á, så ej fallet här. 8. (a Startpunkter:, 3, Ändpunkter: Asymptoter: Tre asymptoter med riktningarna,, och 5, utgående från ( punkten. 3 Reella axeln: Intervallen ] ½ 3] och [ ] hör till rotorten. Rotorten ser ut som i figuren nedan. 6 Im 4 0 Re (b Den karakteristiska ekvationen kan skrivas (44 + à Ã. Sätt in i karakteristiska ekvationen och lös ut och Ã: 0 ( 4 + 8( 3 + 7( + (44 + Ã( à à + (44 + à 8 Både realdel och imaginärdel måste vara noll, vilket ger oss ekvationssystemet à 0 (44 + à 8 Den andra ekvationen uppfylls då 0 och då 44 + à ger (insatt i den första ekvationen att à 0, så den lösningen är inte intressant här. Från det andra fallet får vi à 8 44, vilket instoppat i den första ekvationen ger andragradsekvationen (i Detta ger 55 + Ô 945 (eftersom är reell bortser vi från den negativa roten, vilket i sin tur ger Ô 55 + Ô Rotorten skär alltså den imaginära axeln i 390, för à 8(55 + Ô