TENTAMEN I TSRT91 REGLERTEKNIK

Transkript

1 SAL: TER2 TENTAMEN I TSRT9 REGLERTEKNIK TID: kl. 4: 9: KURS: TSRT9 Reglerteknik PROVKOD: TEN INSTITUTION: ISY ANTAL UPPGIFTER: 5 ANSVARIG LÄRARE: Martin Enqvist, tel BESÖKER SALEN: cirka kl. 5: och 7: KURSADMINISTRATÖR: Ninna Stensgård, , ninna.stensgard@liu.se TILLÅTNA HJÄLPMEDEL:. T. Glad & L. Ljung: Reglerteknik. Grundläggande teori 2. Tabeller och formelsamlingar, t.ex.: L. Råde & B. Westergren: Mathematics handbook, C. Nordling & J. Österman: Physics handbook, S. Söderkvist: Formler & tabeller 3. Miniräknare utan färdiga program Normala inläsningsanteckningar får finnas i böckerna. LÖSNINGSFÖRSLAG: Finns på kursens websida och i Lisam efter skrivningens slut. VISNING av tentan äger rum , kl i Ljungeln, B- huset, ingång 27, A-korridoren till höger. PRELIMINÄRA BETYGSGRÄNSER: betyg 3 23 poäng betyg 4 33 poäng betyg 5 43 poäng OBS! Lösningar till samtliga uppgifter ska presenteras så att alla steg (utom triviala beräkningar) kan följas. Bristande motiveringar ger poängavdrag. Lycka till!

2 . (a) Vid biogasproduktion låter man organiskt material brytas ned till metangas och koldioxid i en syrefattig miljö. Mängden metangas som bildas beror på temperaturen i den bioreaktor där nedbrytningen sker och en optimal nedbrytningsprocess fås om temperaturen varken är för låg eller för hög. Antag att man har möjlighet att reglera temperaturen i bioreaktorn både genom att värma och kyla den. Förklara vad som är referenssignal, styrsignal och mätsignal i denna tillämpning. På vilket sätt kan temperaturregleringen ge miljömässiga vinster? (4p) (b) Ett system G(s) återkopplas med en P-regulator med förstärkning K P = 2 vilket ger det slutna systemet Bestäm G(s). G c (s) = 2 s + 3 (c) Elin är ute och seglar med sin lillebror, som tycker att det är lite obehagligt när det lutar för mycket. Elin vill styra båten på ett sätt som minimerar lillebrors obehag, men hon vill också begränsa styrsignalen. Hon funderar på om LQ-reglering skulle kunna vara användbart och ställer upp en tillståndsmodell ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) för segelbåtens rörelse i roll-led, det vill säga runt en axel från för till akter. Tillståndsvektorn är ( ) T x(t) = x (t) x 2 (t) där x (t) betecknar rollvinkeln och x 2 (t) rollvinkelhastigheten. Från sin lillebror får Elin följande information: Det är lite otäckt när det lutar väldigt mycket, fast det går ganska bra om båten lutar lika mycket hela tiden. Det är lite otäckt när lutningen ändras väldigt fort, men det gör inte så mycket om den gör det när båten är upprätt. Allra otäckast är det när det lutar mycket och lutningen samtidigt snabbt blir större. Elin vill använda kriteriet min (x T (t)qx(t) + u 2 (t)) dt för att minimera lillebrors obehag. Föreslå en Q-matris och motivera ditt val. Kontrollera att din Q-matris är positivt semidefinit. (4p) 2

3 2. Följande deluppgifter handlar om ihopparning av olika system och systemegenskaper. Observera att det som vanligt krävs motiveringar för att få poäng. (a) Stegsvaret för tre olika öppna system G (a) (s) = s + s 2 + s +, G(a) 2 (s) = s s 2 + s +, G(a) 3 (s) = s 2 + s + ges i figur. Vilket stegsvar hör till vilket system? Step Response.5 A B C.5 Amplitude Time (sec) Figur : Stegsvar till uppgift 2(a). 3

4 (b) Ett öppet system G(s) = s+ återkopplas med med olika regulatorer, F (s) =, F 2 (s) = 5 eller F 3 (s) = + s. Bodediagrammen för de tre olika slutna systemen ges i figur 2. Vilket bodediagram hör till vilken regulator? Bode Diagram Magnitude (db) A B C Phase (deg) Frequency (rad/sec) Figur 2: De slutna systemens bodediagram i uppgift 2(b). 4

5 (c) Bodediagrammen för tre olika öppna system G (c) (s) = s 2 + 2s +, G(c) 2 (s) = 2 s + 2, G(c) 3 (s) = s + 2 ges i figur 3. Vilket bodediagram hör till vilket system? Bode Diagram 2 Magnitude (db) A B C Phase (deg) Frequency (rad/sec) Figur 3: De öppna systemens bodediagram i uppgift 2(c). 5

6 (d) Tre regulatorer har designats för ett visst insignal-utsignalstabilt system. Ingen av regulatorerna har några poler i höger halvplan. Stegsvaren ( 3) för de tre slutna systemen visas nedan tillsammans med nyquistkurvorna (A-C) för de olika kretsförstärkningarna. Nyquistkurva A och B fortsätter mot oändligheten utanför bilden. Para ihop stegsvaren och nyquistkurvorna. (4p) Nyquist Diagram Imaginary Axis - A B C (a) Stegsvar för de slutna systemen Real Axis (b) Nyquistkurvor för kretsförstärkningarna. Figur 4: Stegsvar och nyquistkurvor till uppgift 2(d). 6

7 3. En farkost antas kunna beskrivas av sambandet Y (s) = G(s)U(s) där u är insignal till drivsystemet och y är position och G(s) = s(s + ) 2 Modellens bodediagram ges i figur 5 på nästa sida. (a) Antag att man vill styra farkostens position automatiskt och använder en proportionell återkoppling U(s) = K(R(s) Y (s)) Vilken skärfrekvens kan maximalt uppnås om man vill att fasmarginalen ska vara minst 6? För vilket K erhålls denna skärfrekvens? (b) Antag att man vill att farkosten ska följa en bana som ges av en linjärt växande referenssignal, d v s r(t) =.5 t t Hur mycket kommer farkosten, i stationaritet, att avvika från den önskade banan om man använder återkopplingen från a)? (c) Bestäm nu en återkoppling på formen sådan att: U(s) = K τis + (R(s) Y (s)) τ I s + γ Det stationära reglerfelet reduceras till % av vad som erhölls i uppgift b). Regulatorns statiska förstärkning är ändlig. Fasmarginalen är minst 6. Skärfrekvensen är så hög som möjligt. (4p) (d) Antag att farkosten ska fjärrstyras och att styrsignalen till farkosten samt mätsignalen från farkosten överförs via radio. Informationen överförs med hastigheten 3 6 m/s. Kommer reglersystemet att blir stabilt om farkosten placeras på månen och styrs från jorden? Avståndet mellan jorden och månen är approximativt m. 7

8 Figur 5: Bodediagram. 8

9 4. (a) Beräkna en tillståndsåterkoppling för systemet ( ) 2 ẋ(t) = x(t) + 3 ( ) y(t) = 2 x(t) ( ) u(t) som placerar det slutna systemets båda poler i 2 och som gör att den statiska förstärkningen från referenssignal till utsignal blir. (3p) (b) Ange det slutna systemet (med återkopplingen från a-uppgiften) på tillståndsform och beräkna utifrån denna tillståndsbeskrivning överföringsfunktionen för det slutna systemet. (c) Antag att inte alla tillstånd kan mätas utan att man istället måste skatta dem med en observatör. Beräkna en observatör vars dynamik för skattningsfelet är dubbelt så snabb som det slutna systemet. (3p) (d) Antag att man inför nya tillståndvariabler genom basbytet z = ( ) 3 2 x Ange A-, B- och C-matriserna för den transformerade tillståndsbeskrivningen av det öppna systemet. 9

10 5. Betrakta ett styr- och observerbart system som har överföringsfunktionen G(s) = ẋ = Ax + Bu, y = Cx b j s n j + + b n s + b n s n + a s n + + a n s + a n där b j. Antag att man väljer ett initialtillstånd sådant att y() = dy dt () = = dj y () = () dtj (a) Skriv systemet på observerbar kanonisk form och analysera vad man kan säga om initialtillstånden x i () när utsignalen uppfyller (). (b) Betrakta den j:te tillståndsekvationen och ange en tillståndsåterkoppling u = Lx som gör att ẋ j inte beror av något x k för k > j. (c) Visa att valet av L från uppgift 5(b) gör att det för alla t gäller att y(t) = dy dt (t) = = dj y (t) = dtj om () gäller vid t =. (d) Med den i uppgift 5(b) framtagna tillståndsåterkopplingen räcker det att beskriva den kvarvarande dynamiken med n j tillstånd. Ange en sådan tillståndsbeskrivning och en ekvation för egenvärdena som beskriver dess dynamik. Vilken relation finns mellan dessa egenvärden och nollställena till G(s)? (4p)