TENTAMEN: DEL A Reglerteknik I 5hp

Transkript

1 TENTAMEN: DEL A Reglerteknik I 5hp Tid: Torsdag 28 april 20, kl Plats: Gimogatan 4 sal 2 Ansvarig lärare: Hans Norlander, tel Hans kommer och svarar på frågor ungefär kl 9.30 och kl.30. Tillåtna hjälpmedel: Kursboken (Glad-Ljung), miniräknare, Laplace-tabell och matematisk formelsamling. Skrivningen består av två delar, del A och del B. För att bli godkänd på skrivningen krävs att man är godkänd på del A. Del A omfattas av detta provhäfte (uppgifterna 3). För godkänt på del A krävs godkänt på varje uppgift. Preliminära betygsgränser: Betyg 3: Godkänt på del A Betyg 4: Godkänt på del A och minst 0 poäng på del B (inkl. bonuspoäng) Betyg 5: Godkänt på del A och minst 8 poäng på del B (inkl. bonuspoäng) OBS: Svar och lösningar/motiveringar ska skrivas på angiven plats i detta provhäfte, och provhäftet ska lämnas in. Lösningarna ska vara tydliga och väl motiverade (om inget annat anges). LYCKA TILL! Tentamenskod (6 siffror) Utbildningsprogram Bordsnummer (alt. namn och personnummer) Termin och år då du först registrerades på kursen Klockslag för inlämning Resultat: Uppg. Uppg. 2 Uppg. 3 Del A G/U G/U G/U G/U

2 Uppgift Ett system beskrivs av 3 3 Ü = Ü Ù 0 0 Ý = 0 4 Ü µ ( ) = Í( ) (a) Visa att tillståndsbeskrivningen ovan är en minimal realisation. (b) Systemet ovan styrs med styrlagen Ù = 5 Ü 2ÝÖ. Ringa in den av överföringsfunktionerna nedan som är Ñ ( ) för det slutna systemet (i sambandet ( ) = Ñ ( ) Ö ( )). Motivering: ( 2) 2 4 (c) Styrlagen i (b) förutsätter ju att man kan mäta hela tillståndsvektorn Ü. Normalt kan man dock inte mäta Ü utan bara utsignalen Ý. Det är ändå möjligt att använda en styrlag liknande den i (b) och samtidigt få samma överföringsfunktion Ñ ( ) som i (b), genom återkoppling från Ý. Förklara hur man åstadkommer detta, samt ange hur styrlagen i (b) ska modifieras.

3 Uppgift 2 Betrakta det återkopplade systemet i blockdiagrammet nedan. Ö Ó ( ) Ú Ý Ò Referenssignalen är Ö = 0. Systemet påverkas också (som framgår av blockdiagrammet) dels av en processtörning Ú, dels av en mätstörning Ò. Nominellt antas Ú = Ò = 0. Den komplementära känslighetsfunktionen för det återkopplade systemet är Ì ( ) = (a) Anta att det inträffar en mätstörning i form av en Dirac-puls, så att Ò(Ø) = Æ(Ø). Ange hur detta yttrar sig på utsignalen Ý(Ø), d.v.s. bestäm impulssvaret från Ò till Ý. (Impulssvaret är ju samma sak som viktfunktionen.) (b) Anta nu istället att det inträffar en processtörning i form av ett enhetssteg (d.v.s. Ú är ett enhetssteg). Vad blir då lim Ø ½ Ý(Ø)? 2

4 Uppgift 3 Ett system beskrivs av blockdiagrammet nedan. Ù 2 Ü 2 Ü Ý Systemet styrs med styrlagen Í( ) = ( )( Ö ( ) är ( ) = à ( )), där regulatorn (a) Ställ upp tillståndsbeskrivningen för (det öppna) systemet ovan, med insignalen Ù, utsignalen Ý, och tillståndsvariablerna Ü och Ü 2 enligt blockdiagrammet. (b) Regulatorn ( ) är av en standardtyp. Ringa in den av nedanstående benämningar som avser just denna regulatortyp: P- PI- PD- PID-regulator Ev. motivering (ej nödvändig): (c) Ange för vilka à ¾ Ê som det slutna systemet är stabilt. 3

5 Vid behov kan du fortsätta dina lösningar/motiveringar på detta ark. Markera tydligt vilken uppgift som avses. 4

6 Lösningar till tentamen i Reglerteknik I 5hp (a) Minimal realisation µ både styrbart och observerbart. Systemet är på styrbar kanonisk form =µ styrbart. Observerbarhetsmatrisen är Ç = = och Ç har full rang =µ observerbart. (b) Med tillståndsåterkoppling, Ù = ÄÜ ÑÝ Ö blir Ñ ( ) = Ñ ( ) Ô( ) där Ô( ) = det( Á Ä) och ( ) är öppna systemets täljarpolynom, d.v.s. ( ) = 4 här. Här blir Ô( ) = det( Á Ä) = det 3 Ð 3 Ð 2 = 2 (3Ð ) 3Ð 2 = Alltså blir Ñ ( ) = 2 4 = ( 2) 2 4 (c) Om man istället för styrlagen Ù = ÄÜ ÑÝ Ö använder styrlagen Ù = ÄˆÜ ÑÝ Ö, där ˆÜ är en skattning av Ü som fås från en observatör, så blir överföringsfunktionen Ñ ( ) ändå densamma. 2. (a) Överföringsfunktionen från Ò till Ý är Ì ( ), och impulssvaret (=viktfunktionen) fås som Ý(Ø) = Ä [ Ì ( )] = 2Ø 2 3Ø. (b) Använd slutvärdesteoremet: lim Ý(Ø) = lim ( ) = lim Ë( ) = Ë(0). Ø ½ Eftersom Ë( ) Ì ( ) = blir lim Ý(Ø) = Ì (0) = =. Ø ½ (a) Från blockdiagrammet fås Ü = 0 Ü 0 2 Ý = Ü Ù (b) Regulatorn har en proportionell del () och en integrerande del ( à ) och är alltså en PI-regulator. (c) Polerna ges av rötterna till 0 = Ó ( ), där Ó ( ) = ( ) ( ), och från (a) har vi att ( ) = ( Á ) = 0 = =. Alltså ges polerna av 2 ( )( 2) 0 = ( à ) ( )( 2) = à ( )( 2) 0 2 µ 0 = ( )( 2) à = Ã

7 Stabiliteten undersöks med Rouths algoritm: Ã 0 3 Ã 3 0 Ã Enligt Rouths sats är systemet stabilt för 0 Ã 9. 2