REGLERTEKNIK KTH REGLERTEKNIK AK EL1000/EL1110/EL1120

Transkript

1 REGLERTEKNIK KTH REGLERTEKNIK AK EL000/EL0/EL0 Kortfattade lösningsförslag till tentamen , kl (a) Stegsvaret ges av y(t) =K( e t/t ). Från slutvärdet fås K =, och tiskonstanten kan avläsas till T =0.5. (b) I stationäritet ges utsignalen av y(t) = G(iω) sin(ωt +argg(iω)), K där G(iω) = och arg G(iω) = arctan ωt. +ω T (c) Systemet ges av ẋ = f(x, u) =x x + u och y = h(x) =x. De stationära punkterna ges av 0=f(x 0,u 0 )=x 0 x 0 + x 0 = 5 ±, eftersom u 0 =. Derivatorna blir f x (x, u) = x, f u (x, u) =, h x (x) =, h u (x) =0, och vi får då x 0 = + 5 A = f x (x 0,u 0 )= 5, B = f u (x 0,u 0 )=, C = h x (x 0 )=, D = h u (x 0 )=0, och då x 0 = 5 A = f x (x 0,u 0 )= 5, B = f u (x 0,u 0 )=, C = h x (x 0 )=, D = h u (x 0 )=0. Det linjäriserad systemet ges av Δẋ = AΔx + BΔu Δy = CΔx + DΔu, där Δx = x x 0,Δu = u, Δy = y x 0 och x 0,A,B,C,D anges ovan. Kring den stationära punkten x 0 = + 5 är systemet asymptotiskt stabilt, och kring den stationära punkten x 0 = 5 är systemet instabilt.. (a) Överföringsfunktionerna finnes genom:

2 i. X(s) =G (s)(u(s) G (s)x(s)) = G (s)u(s) G (s)g (s)x(s) X(s)( + G (s)g (s)) = G (s)u(s) G X(s) = (s) U(s) +G (s)g (s) G X (s) = G (s) +G (s)g (s) ii. Y (s) =G 4 (s)u(s)+g 3 (s)x(s) =G 4 (s)u(s)+g 3 (s)g X (s)u(s) =(G 4 (s)+ G (s)g 3 (s) )U(s) +G (s)g (s) G(s) =G 4 (s)+ (b) Vi kan skriva G(s) = s+ s G (s)g 3 (s) +G (s)g (s) som G(s) = s + s = s + s +0s +0 = b s + b s + a s + a Detta kan nu skrivas enkelt på t.ex. styrbar kanonisk form: ( ) ( ) ( ) ( ) a a ẋ = 0 0 x + u = x + u }{{}}{{} A s B s y = ( ) ( ) b b x = x }{{} C s () eller alternativt (det räcker att svara med en korrekt form för att få full poäng) på observerbar kanonisk form: ẋ = ( ) a x + a 0 y = ( 0 ) x }{{} C o ( b b ) ( ) ( ) 0 u = x + u 0 0 }{{}}{{} A o B o () Ett system är en minimal realisation om det är både styrbart och observerbart. Därför måste styrbarhetsmatrisen (S) och observherbarhetsmatrisen (O) hafull rang. [Bs ] det S =det( ) ([ ]) 0 A s B s =det = 0 0 ([ ]) ([ ]) Cs det O =det =det = 4 0 C s A s 0 Alternativt om en observerbar kanonisk represtation används:

3 [Bo ] det S =det( ) ([ ]) A o B o =det = ([ ]) ([ ]) Co 0 det O =det =det = 0 C o A o 0 Ibåda fallen har styrbarhetsmatrisen (S) och observerbarhetsmatrisen (O) full rang, eftersom determinanten är skilld från noll. Därför är systemet en minimal realisation. (c) Med tillståndsåterkopplingen u(t) = Lx(t)+l 0 r(t), blir tillståndsekvationen ẋ(t) =Ax(t)+Bu(t) =(A BL)x(t)+l 0 r(t) Polerna ges då av egenvärden till (A BL), d.v.s. genom karakteristiska ekvationen: ([ ] s 0 ( [ ] [ ] 0 0 [l ] )) det(si (A s B s L)) = det l 0 s 0 0 ([ ]) s + l l =det = s + l s s + l =0 (3) Önskade poler i {, } ger följande karakteristiska ekvation: (s +) = s +s + (4) Genom att identifiera koefficienter mellan (3) och (4) erhålles: l = l = Notera: Detta kundeäven inses snabbt genom att uppmärksamma att för system skrivna på styrbar kanonisk form är koefficenterna i den önskade karakteristiska ekvationen samma som parametrarna l i i L-matrisen för återkopplingen. Systemet från r(t) till y(t) är Y (s) =C(sI (A BL)) Bl 0 R(s). Den statiska förstärkningen erhålls då s = 0, vilket medför: l 0 = = C s ( A s + B s L) B s På liknande sätt kan L och l 0 erhållas om kanonisk observerbar form nyttjats, d.v.s. (A o,b o,c o ) i (). Då blir L = [ 3 4], l0 =. 3

4 (d) En observatör införs i systemet enligt: ẋ(t) =Ax(t) +Bu(t) +K(y(t) C ˆx(t)) Polerna ges nu av egenvärden till (A KC), d.v.s. genom karakteristiska ekvationen genom matriserna i (): ([ ] s 0 ( [ ] [ ] 0 0 k [ ] )) det(si (A s KC s )) = det 0 s 0 k ([ ]) s + k k =det = s +(k k s +k +k )s +k =0 (5) Önskade poler i { 0, 0} till observatören ger en följande karakteristiska ekvation: (s +) = s +0s + 00 (6) Genom att identifiera koefficienter mellan (5) och (6) erhålles: k =50, k = 5, K = [ 50 5 ] T På liknande sätt kan K erhållas om kanonisk observerbar form nyttjats. För system skrivna på observerbar kanonisk form är koefficenterna i den önskade karakteristiska ekvationen samma som parametrarna k i i K-matrisen för observatören, d.v.s.: K = [ 0 00 ] T. 3. (a) Låt ω c vara skärfrekvensen för F (s)g(s) då F (s) =K P. Eftersom fasmarginalen ska vara ϕ m =45 och ϕ m =arg(f (iω c )G(iω c ))+80 =arg(g(iω c ))+80 med en P-regulator, får vi arg(g(iω c )) = 35. I figur 3 ser vi att ω c =.0 rad/s. (b) Vi har F (s) =F lead (s)f lag (s). Vi börjar med den fasavancerande länken F lead (s) =K τ Ds + βτ D s +. Eftersom det nya systemet ska vara två gånger snabbare än i uppgift 3a, ska skärfrekvensen vara ω c =4rad/s. Då fasmarginalen ska vara ϕ m =45 and ϕ m =arg(f (iω c )G(iω c )) + 80 = arg(f lead (iω c )) + arg(f lag (iω c )) + arg(g(iω c )) + 80,får vi arg(f lead (iω c )) = 35 arg(f lag (iω c )) arg(g(iω c )). Från Bodediagrammet får vi arg(g(iω c )) 4

5 65 och enligt tumregeln för fasretarderande länkar vet vi att arg(f lag (iω c ) 6. Alltså arg(f lead (iω c )) = =36 och β =0.6. Med detta β, får vi τ D =(ω c β) =0.49. Nästa steg är att välja K såatt F lead (iω c ) F lag (iω c ) G(iω c ) =. Enligt tumregeln gäller F lag (iω c ) ochvifår alltså K k β iω c (iω c + a)(iω c + b) =, vilket ger K =. För den fasretarderande länken F lag (s) = τ Is + τ I s + γ, använder vi tumregeln och sätter τ I =0/ω c =.5. Vi väljer γ så att statiska felet vid en rampsignal är noll. Slutvärdesteoremet (slutna systemet är stabilt!) ger vilket ger lim s 0 lim t e(t) = lim se(s) = lim s s 0 s 0 +F lead (s)f lag (s)g(s) s, s(s + a)(s + b)(βτ D s +)(τ I s + γ) s(s + a)(s + b)(βτ D s +)(τ I s + γ)+kk (τ D s +)(τ I s +) s = abγ. Kk Alltså skavivälja γ =0. Den resulterande regulatorn blir 0.49s + F (s) =F lead (s)f lag (s) = 0.3s +.5s +..5s (c) Först tar vi fram det relativa modellfelet G Δ (s), G o (s) =G(s)( + G Δ (s)): G o (s) =G(s)( + ( + 0.θ)s +0 ( + 0.θ)s +0 ) G Δ (s) = + s +0 s +0 Enligt robusthetskriteriet är slutna systemet stabilt om T (iω) <, ω 0, G Δ (iω) = 0.θs s +0. där T (s) är den komplementära känslighetsfunktionen med G o (s) =G(s). I detta fallet är T (s) =G c (s) så figur 4 visar T (iω). iω +0 Notera att = har en pol i origo och ett nollställe i ω = G Δ (iω) 0.θiω 0 rad/s. Alltså har amplitudkurvans lågfrekvensasymptot lutning fram 5

6 till brytpunkten ω = 0 rad/s. Från figur 4 ser vi att robusthetskriteriet är uppfyllt om G Δ (iω) ligger ovanför resonanstoppen till G c(iω), d.v.s., G Δ (iω r ) > G c (iω r ) >.33 θ<3.9. Alltså kommer systemet vara 0.47θ stabilt i minst 3 år. 4. (a) Stegsvar3och4går mot och har alltså inget statiskt fel. Alltså måste systemet innehålla en integrator (/s). I Nyquistkurvan motsvaras detta av att kurvan går mot oändligheten när ω går mot 0. Stegsvar 3 och 4 hör alltsåihop med kurva B och E. Svängigheten avgörs av fasmarginal och amplitudmarginal. Kurva B har lägre fasmarginal och amplitudmarginal än E. B 4, E 3. Stegsvarochgår båda mot 0.4. Slutvärdet ges av (slutvärdessatsen) G(s) +G(s) lim s 0. Alltså måste Nyquistkurvorna börja i samma punkt. Kurva AochDbörjar i samma punkt (G(0) 0.67) medan kurva C börjar i en annan punkt (G(0) = ). Stegsvar och hör ihop med kurva A och D. Kurva A har lägre amplitudmarginal än D (närmare punkten -) och ska alltså geettsvängigare stegsvar. A, D. (b) P-regulator skalar om amplituden på Nyquistkurvan men ändrar inte fasen. Det återkopplade systemet självsvänger när det öppna systemet har fasmarginal noll. Detta sker när Nyquistkurvan skär punkten -. Nyquistkurvan skär negativa reella axeln vid ω =0.9. Från figuren fås G(i0.9) 0.7. Självsvängning när 0.7K p = = K p =/ Frekvensen på självsvängningen kommer att vara frekvensen där det öppna systemet skär punkten -. Alltså kommer den att ha frekvens ω =0.9. Periodtiden blir då T = π 6.8s. ω (c) D-regulatorn påverkar både amplitud och fas för Nyquistkurvan. F (iω)g(iω) = K D iω G(iω) = K D ω G(iω) Amplituden skalas om med K D ω. arg(f (iω)g(iω)) = arg(k D iω)+arg(g(iω)) = 90 +arg(g(iω)) Fasen vrids 90. Nyquistkurvan kommer då att skära reella axeln vid ω =.37 och ha amplitud K D ω G(i.37) K d K d. Stabilt om 0.33K D ligger till höger om = 0.33K D K D (a) S(s) är överföringsfunktionen från störsignal till utsignal. För att undertrycka en störning av frekvens ω ska S(iω) <. G c (s) är överföringsfunktionen från 6

7 mätbruset till systemets utsignal. För att undertrycka mätbrus av frekvens ω ska G c (iω) <.Viharföljande samband mellan S(s) ochg c (s) S(s)+G c (s) = +G 0 (s) + G 0(s) +G 0 (s) =. På grund av detta samband såkanintebåde S(s)ochG c (s)göras små oberoende av varandra. Således kan vi inte både undertrycka störningen och mätbruset godtyckligt mycket samtidigt. (b) S(s) är stabil så vikananvända slutvärdessatsen: lim t e(t) = lim se(s) = lim s 0 (c) Det slutna systemets överföringsfunktion blir ss(s) s 0 s = lim S(s) ={nollställe i origo} =0. s 0 G c (s) = G o(s) +G o (s) = K P (s ) (s )(s 3) + K P (s ). Den karakteristiska ekvationen är alltså P (s)+k P Q(s) =(s )(s 3) + K P (s ) = 0. Rotorten har två startpunkter, s =ochs =3,ochenändpunkt i s =. En av rotortens grenar kommer att gå motoändligheten. Enligt Resultat 3. i Glad & Ljung tillhör de delar av reella axeln som har ett udda antal start- och ändpunkter till höger rotorten. Alltså tillhör intervallen s<och <s<3 rotorten enligt figur. Eftersom en rot (den i intervallet <s<3) ligger i högra halvplanet oavsett storleken på K P kan slutna systemet aldrig bli stabilt. B(s) (d) För ett minfasystem F (s) =K P (där A(s),B(s) är polynom med normaliserade högstagradskoefficienter och K P en positiv konstant) gäller att rötterna A(s) till A(s) = 0(polerna) ochb(s) = 0 (nollställena) ligger i vänstra komplexa halvplanet, se Resultat 5. i Glad & Ljung. Det slutna systemets karakteristiska ekvation blir P (s)+k P Q(s) =A(s)(s )(s 3) + K P B(s)(s ) = 0. Alltså kommer F (s) bara att tillföra start- och ändpunkter för rotorten i vänsta komplexa halvplanet. Enligt Resultat 3. i Glad & Ljung tillhör då intervallet <s<3 rotorten oberoende av valet av A(s),B(s),K P. Slutna systemet kommer alltså alltid ha en instabil pol i det intervallet och vi kan aldrig stabilisera G o (s) med en minfasregulator F (s). (I själva verket kan man visa att regulatorn måste vara instabil.) 7

8 Root Locus Imaginary Axis Real Axis Figur : Rotort i Uppgift 5c. 8