Sammanfattning TSRT mars 2017

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Sammanfattning TSRT mars 2017"

Transkript

1 Sammanfattning TSRT2 3 mars 207

2 Innehåll Överföringsfunktion 4 2 Stegsvar, :a och 2:a ordningens system 4 2. Första ordningens system :a ordningens system, poler Icke min-fas system Stabilitet och poler Slutvärdessatsen Regulatorstruktur och blockschema 8 3. Allmän struktur Grundläggande struktur Reglerfel och felkoefficienter PID-reglering 0 4. P-delen I-delen D-delen Sammanfattning PID Rotort 2 6 Nyquistkriteriet, nyquistkurva 3 7 Frekvensbeskrivning (bodediagram) 4 7. Sinus in sinus ut Bodediagram Första ordningens faktorer Andra ordningens faktorer Kombinerat bodediagram Specifikationer i bodediagram Statisk förstärkning Amplitud- och fasmarginal Bodediagram för slutna systemet Tidsfördröjning i bodediagram Kompensering (lead-lag reglering) Från krav till specifikationer Krav på snabbhet Krav på stabilitet Krav på felmarginal P-reglering Lead-länk Lag-länk

3 9 Känslighet och robusthet Modellfel, robusthetskriteriet Störningskänslighet Tillståndsform Diffekvationer till tillståndsform Från överföringsfunktion till tillståndsform (styrbar kanonisk form) Från tillståndsform till överföringsfunktion Poler och nollställen Tillståndsåterkoppling 3. Styrbarhet Rekonstruktion av tillstånd Observerbarhet

4 Överföringsfunktion Alla system i kursen ges i grunden av linjära differentialekvationer på formen d n y dt n + a d n y dt n a dy n dt + a d m u ny = b 0 dt m b du m dt + b mu Laplacetransformerar man detta får man eftersom L{ dn y dt n } = s n Y (s): (s n + a s n a n s + a n )Y (s) = (b 0 s m b m s + b m )U(s) Kalla polynomet framför Y (s) för A(s) och det framför U(s) för B(s) så fås: A(s)Y (s) = B(s)U(s) Y (s) = B(s) B(s) U(s) {G(s) = } Y (s) = G(s)U(s) A(s) A(s) G(s) kallas för systemets överföringsfunktion. Lösningar till B(s) = 0 kallas för systemets nollställen, och lösningar till A(s) = 0 för systemets poler. A(s) kallas även för systemets karaktäristiska ekvation. 2 Stegsvar, :a och 2:a ordningens system Stegsvar kallas den utsignal som fås från systemet då referenssignalen är ett steg, alltså r(t) = A, t 0 där A är en konstant. Stegsvar för olika system säger en hel del om systemets egenskaper. 2. Första ordningens system Ett system vars diffekvation innehåller högst första ordningens derivator kallas för första ordningens system. Ex: ẏ + ay = bu {Laplace} (s + a)y (s) = bu(s) G(s) = b s + a Genom att införa K = b/a och T = /a får man G(s) = +st. K är det värde som stegsvaret kommer gå emot då t och T, som kallas för tidskonstant är tiden det tar för stegsvaret att nå 63 % av slutvärdet. Stegsvaret för K=T= ges i figur, notera att amplituden är 0.63 vid tiden sekund. Notera också att systemet har en enda pol i s = a och att T blir mindre ju större a är, systemet blir alltså snabbare ju längre denna pol ligger från origo. K 4

5 Figur : Stegsvar för första ordningens system 2.2 2:a ordningens system, poler System som innehåller derivator av andra ordningen kallas för andra ordningens system. Ex: ÿ+a ẏ+a 2 y = b 0 u {Laplace} (s 2 +a s+a 2 )Y (s) = b 0 U(s) G(s) = Systemets karaktäristiska ekvation ges alltså av s 2 + a s + a 2. Då man analyserar andra ordningens system brukar man jämföra denna med uttrycket s 2 + 2ζω 0 s + ω 2 0 där ζ som ligger mellan 0 och kallas relativ dämpning och ω 0 i sin tur avgör hur snabbt systemet är. Vi får alltså a = 2ζω 0 och a 2 = ω 2 0 b 0 s 2 + a s + a 2. Detta kan relateras till systemets poler genom att lösa s 2 + 2ζω 0 s + ω 2 0 = 0, vilket ger att polerna hamnar i s = ω 0 ( ζ ± i ζ 2 ). Vi ser att polerna hamnar längre från origo för större ω 0. Detta är samma sak som ett snabbt system (samma som i :a ordnings-fallet). Vi ser även att mindre ζ ger större imaginärdel. Mindre ζ är samma sak som sämre dämpat, så stor imaginärdel är alltså samma som ett dåligt dämpat system. Ett sådant är svängigare och har större översläng. I figur 2 ges två stegsvar med samma ω 0 men olika ζ, i det övre är ζ = 0.5 och i det undre är ζ =

6 Figur 2: Stegsvar för andra ordningens system 2.3 Icke min-fas system Ett viktigt specialfall är såkallade icke-minfas system som har nollställen i högra halvplanet. För dessa går stegsvaret initialt åt fel håll, se exempel i figur 3 Figur 3: Stegsvar för icke minfas system 6

7 2.4 Stabilitet och poler Ett av de viktigaste resultaten i kursen är följande: ett system är insignalutsignal stabilt om och endast om alla poler har strängt negativ realdel, det vill säga att alla poler ligger i vänstra halvplanet. För första ordningens system på den generella formen ovan gäller detta då a > 0 och för andra ordningens system gäller det då a > 0 och a 2 > 0 (det vill säga alla koefficienter är positiva och nollskilda). Figur 4: Stegsvar för instabila system I figur 4 ges stegsvar för två instabila system, det ena med en pol i origo (en såkallad integrator) och det andra med poler i s = ± 0i. Notera att även här ger imaginära poler ett oscillativt stegsvar. 2.5 Slutvärdessatsen En väldigt viktig sats är slutvärdessatsen: lim y(t) = lim sy (s) t s 0 Med Y (s) = G(s)U(s) och U(s) = A/s vilket är transformen av ett steg med amplitud A får vi: lim y(t) = lim sg(s)a t s 0 s = AG(0) Då tiden går mot oändligheten kommer alltså steget gå mot AG(0). G(0) kallas för statisk förstärkning, och skillnaden mellan statisk förstärkning och det värde man vill att steget skall gå mot kallas för stationärt fel. 7

8 Det är viktigt att notera att slutvärdessatsen endast gäller om systemet är stabilt, det vill säga att alla poler ligger i vänster halvplan. 3 Regulatorstruktur och blockschema 3. Allmän struktur Figur 5: Allmän regulatorstruktur Ett blockschema över en allmän regulatorstruktur finns i 6. Följande signaler och system ingår i den allmäna strukturen: r: referenssignalen, den signal som man vill att systemet skall följa eller ställa in sig på (t ex önskad temperatur) u: insignal till systemet, styrs av regulatorerna F r och F y v: störsignaler, yttre störningar z: faktisk utsignal n: mätstörningar, tex mätbrus i en sensor y: uppmätt utsignal F r (s): förkompensering (framkoppling) av referenssignalen r F y (s): återkopplingskompensering av utsignalen y G(s): det system vi vill reglera Ur blockschemat kan man genom att Laplacetransformera alla signaler och blockschemaräkning få fram följande samband mellan utsignal Z(s), referenssignal R(s), störsignal V(s) och mätstörningar N(s): Z(s) = G c (s)r(s) + S(s)V (s) T (s)n(s) 8

9 G c = GF r, S =, T = GF y + GF y + GF y + GF y Här är G c slutna systemets överföringsfunktion, S känslighetsfunktionen och T komplementära känslighetsfunktionen. S avgör alltså hur känsligt systemet är för yttre störningar, och T avgör hur känsligt systemet är för mätfel. 3.2 Grundläggande struktur I det mer grundläggande fallet har vi F y = F r = F och man får då följande system: Figur 6: Grundläggande struktur Signalen e = r y kallas för reglerfelet. Vi reglerar alltså med avseende på hur mycket utsignalen skiljer sig från den önskade utsignalen r. Med samma räkningar som ovan får man i detta fall: Z(s) = G c (s)r(s) + S(s)V (s) T (s)n(s) G c = GF + GF, S = + GF, T = GF + GF Notera att G c = T i detta fall! Notera även att faktorn GF förekommer i alla överföringsfunktioner. Denna faktor kallas för kretsförstärkning och betecknas G o. Man får alltid fram kretsförstärkningen genom att bortse från återkopplingen och beräkna förhållandet mellan utsignalen och insignalen. 9

10 Om man inte tar hänsyn till störningarna får man till slut följande enkla system: Figur 7: System utan störningar GF +GF Här är också G o = GF så att G c =, det vill säga Y (s) = F Detta är den struktur man oftast utgår ifrån. 3.3 Reglerfel och felkoefficienter (s)g(s) +F (s)g(s) R(s). Ur detta blockschema kan man också få ett utryck för reglerfelet: E(s) = +GF (R(s) V (s)). Med hjälp av slutvärdessatsen kan man här beräkna det stationära felet för ett steg med amplitud A (om vi bortser från störningar, dvs V(s)=0): lim e(t) = lim s A t s 0 + GF s = A + G o (0) Har vi stället en ramp som referenssignal, dvs r(t) = At, t 0 så att R(s) = A/s 2 får vi: lim e(t) = lim s t s 0 + GF A s 2 = lim s 0 Man definierar felkoefficienterna e 0 och e enligt: 4 PID-reglering A s + sg o (s) = e 0 = lim s 0 + G o (0), e = lim s 0 sg o (0) A sg o (0) PID är det generella fallet av regulator och delas upp i tre delar, P-del, I-del och D-del. 4. P-delen En P-regulator har den enkla överföringsfunktionen F (s) = K P där K P är en konstant. P står för proportionell, och P-regulatorn ger alltså en reglering som bara är en proportionalitetskonstant gånger reglerfelet. 0

11 Om vi tittar på e 0 från förra avsnittet, med F = K P får vi lim e(t) = A t + K P G(0) Oavsett G(s) kan vi alltså göra stationära felet godtyckligt lite genom att låta K p. Stort K p riskerar dock att ge oss ett instabilt system. 4.2 I-delen τ En I-regulator ger en utsignal u(t) = K I e(τ)dτ. I denna verkan tar man 0 alltså med en integral över alla tidigare reglerfel. Överföringsfunktionen ges av F (s) = K I /s. Om man kombinerar en I-regulator med en P-regulator får man en PI-regulator med överföringsfunktion F (s) = K P + K I /s. Insättning i formeln för stationära felet ger: lim e(t) = lim t s 0 A + (K P + K I /s)g(s) = lim s 0 sa s + (sk P + K I )G(s) = 0 Med I-delen får man alltså alltid stationärt fel = 0. Stort K I ger dock också ett oscillativt och eventuellt instabilt system. 4.3 D-delen de(t) En D-regulator ger en utsignal u(t) = K D dt. Överföringsfunktionen blir alltså F (s) = sk D. I denna verkan använder man derivatan av referenssignalen, vilket motverkar svängningar och instabilitet. Kombinerar man P, I och D till en fullständig PID-regulator kan man placera polerna till slutna systemets överföringsfunktion godtyckligt, vilket gör att man kan få vilken dynamik man vill i systemet. Ofta använder man sig av ett lågpassfilter i D-delen, då derivering förstärker högfrekvent brus. Då får man överföringsfunktionen F (s) = 4.4 Sammanfattning PID Exempel på godtycklig polplacering med PID-regulator: och detta system skall återkopplas med en PID regu-. Polerna ges av den karaktäristiska ekvationen + GF = 0 Om t. ex. G(s) = lator fås G c = b 0 s 2 +a s+a 2 GF +GF τ Ds ατ D s+. b 0 +GF = +(K P +K I /s+k D s) s 2 = s(s 2 +a s+a 2 )+(K P s+k I +K D s 2 ) = + a s + a 2 s 3 + ( + K D )s 2 + (a + K P )s + (a 2 + K I ) Här kan man välja koefficienterna godtyckligt med K P, K I och K D och alltså placera polerna var man vill. Sammanfattningsvis har vi alltså:

12 K P : Stort K P ger mindre stationärt fel men riskerar att ge instabilt system K I : Tar bort stationärt fel, stort K I ger oscillativt och instabilt system K D : Motverkar oscillationer och instabilitet, möjliggör godtycklig polplacering 5 Rotort Rotort är en plot över var polerna till ett system hamnar som funktion av återkopplingsparametern K. Med hjälp av en sådan kan man t. ex. se för vilka värden på K P eller K I som man får ett instabilt system. I figur 8 visas rotorten för systemet G(s) = Figur 8: Rotort s 3 + 7s 2 + 5s + 9 som återkopplas med en proportionell regulator (P-regulator). För K= befinner sig polerna i kryssen, och vi har ett stabilt system. För högre K ser vi att polerna får större imaginärdel (mer oscillativt) för att sedan gå över i högra halvplanet, så att systemet blir instabilt. Obs att rotorten ritas för det slutna systemet G c, så plotten ovan är alltså polerna för GF +GF med G(s) enligt ovan och F (s) = K 2

13 6 Nyquistkriteriet, nyquistkurva Ett alternativt sätt att undersöka stabiliteten hos ett system är att undersöka nyquistkurvan. Denna kurvan defineras som G o (s) då s genomlöper kurvan γ som omsluter högra halvplanet (se boken sidan 75). Ur detta får vi Nyquistkriteriet: Antalet poler i höger halvplan till det återkopplade systemet G c är lika med antalet poler i höger halvplan för G o plus antalet gånger som nyquistkurvan omsluter -. Om G o saknar poler i höger halvplan vilket oftast är fallet får man istället förenklade Nyquistkriteriet: Det återkopplade systemet G c är stabilt om nyquistkurvan skär realaxeln till höger om punkten -. Figur 9: Nyquistkurva I figur 9 visas nyquistkurvan för systemet G(s) = s 3 + 7s 2 + 5s + 9 Om vi återkopplar detta system med en P-regulator får vi G o = KG och kurvan ovan är alltså för fallet K=. Vi ser likt i rotorten att systemet är stabilt då. Eftersom G o (s) = K G(s) kommer vi då vi ökar förstärkningen flytta skärningspunkten med realaxeln längre från origo. Ur figuren kan man avläsa att skärningspunkten är s = 0.0. För K = /0.0 = 00 får vi skärning i s =, så systemet är alltså stabilt för K < 00. 3

14 Viktigt att tänka på med nyquistkriteriet är att man endast kan dra slutsatser om stabilitet utifrån nyquistkurvan om man dessutom känner till antalet poler i högra halvplanet för G o. 7 Frekvensbeskrivning (bodediagram) Bodediagram är en användbar metod för att ta reda på hur systemet påverkar insignaler med olika frekvens. 7. Sinus in sinus ut Givet ett stabilt system med överföringsfunktion G(s) och insignal u(t) = sin(ωt) kommer utsignalen i stationäritet (då t ) vara y(t) = G(iω) sin(ωt + φ) φ = argg(iω). Detta kallas också att utsignalen går mot detta y(t) asymptotiskt. Utsignalen kommer alltså vara amplitudskalad och fasförskjuten. Om vi tillexempel har systemet G(s) = ω = får vi utsignalen som s+ och skickar in u(t) = sin(t), dvs y(t) = G(i) sin(t + argg(i)). Insättning ger G(i) = + i = argg(i) = arg( + i ) = arctan() = π 4 I figur 0 visas insignal (överst) och utsignal (underst). 4

15 Figur 0: Sinus in sinus ut Om man vill räkna ut fasförskjutningen ur en sådan figur kan man använda formeln φ = δt T 2π där δt är tidsförskjutningen hos utsignalen relativt insignalen. Om man istället plottar G(iω och argg(iω) för alla värden på ω > 0 får man systemets Bodediagram. Ur detta kan man sedan enkelt läsa av amplitudskalning och fasförskjutning för den frekvens man har på insignalen. 7.2 Bodediagram I ett bodediagram plottas beloppet och argumentet av systemets G(iω) för alla frekvenser ω. Istället för att använda sig av vanlig skala använder man sig dock av logaritmisk skala. Man använder sig av decibelskala, där värdet i decibel ges av db = 20 log G(iω). Vill man gå tillbaks från decibelskala till amplitud använder man G(iω) = 0 db 20 Anledningen till detta är att överföringsfunktionen till ett system består av potenser i s, det vill säga faktorer som sånär som på en konstant är s p och s q. Logaritmerar man sådana faktorer får man log(s p ) = p log(s) och log( s q ) = q log(s). Vi får alltså att amplitudkurvan blir linjär som funktion av log(ω) och lutningen för höga frekvenser blir p q där p är täljarens högsta gradtal och q är nämnarens högsta. En annan viktig konsekvens av log-skalan är att om man vill rita bodediagrammet för två överföringsfunktioner multiplicerade med varandra, t ex för 5

16 F (s)g(s) när man har regulatorn F (s) får man: log(f (s)g(s)) = log(f (s)) + log(g(s)) Multiplikation blir alltså addition i bodediagrammet. Eftersom samma räkneregel gäller för argumentet blir multiplikation addition också i faskurvan. För en generell överföringsfunktion G(s) kan man alltid faktorisera A(s) och B(s) i första- och andragradsfaktorer på formen + s a, + 2ζ s ω 0 + s2 ω 2 0 Det är därför intressant att kolla på hur bodediagramen för dessa faktorer ser ut, det fullständiga bodediagramet fås sedan bara genom att addera faktorerna i täljaren och subtrahera faktorer i nämnaren. 7.3 Första ordningens faktorer För första ordningens faktorer + s a får vi för låga frekvenser G(iω) så att log G(iω) = 0, och för höga frekvenser G(iω) iω a så att log G(iω) = log ω log a, alltså lutning. Brytpunkten fås då ω = a. Argumentkurvan fås enligt argg(iω) = arctan( + iω a ) = arctan ω a Ex: Systemet G(s) = b s+a, ett första ordningens system, kan skrivas som G(s) = b/a + s a Vi har en första ordningens faktor i nämnaren så den ska alltså subtraheras. Vi får log G(iω) = log(b/a) log + iω a. För låga frekvenser får vi log G(iω) = log(b/a), brytpunkt för ω = a och för höga frekvenser log G(iω) = log(b/a) (log ω log a). Eftersom argumentet av en konstant är 0 är argumentkurvan argg(iω) = arg( + iω a ) = arctan ω a. För systemet G(s) = s+, dvs a=b= får vi följande bodediagram: 6

17 Figur : Bode för första ordningens system För exemplet innan med sinus in- sinus ut kan vi här direkt läsa av amplitudskalningen och fasförskjutningen vid ω = 7.4 Andra ordningens faktorer För andra ordningens faktorer + 2ζ s ω 0 + s2 får vi för låga frekvenser likt ovan ω0 2 G(iω) så att log G(iω) = 0 och för höga frekvenser G(iω) (iω)2 så att ω0 2 log G(iω = 2 log ω log ω0. 2 Lutningen blir alltså 2 för höga frekvenser. Brytpunkten ges av ω = ω 0. Här fås också en resonanstopp som är högre ju mindre relativ dämpning ζ man har. Uttrycket för faskurvan hos en andra ordningens faktor finns på sidan 86 i boken. får man med omskriv- Ex: För ett andra ordningens system G(s) = ning G(s) = b 0 /a 2 + as a 2 b 0 s 2 +a s+a 2 + s2 a 2 7

18 . Som vi såg i fallet med första ordningens faktorer kommer b 0 endast påverka amplitudkurvan genom addition med en konstant, så vi kan titta på fallet b 0 /a 2 =. Genom att sedan identifiera a = 2ζω 0 och a 2 = ω0 2 får vi G(s) = + 2ζ s ω 0 + s2 ω0 2. Vi har alltså en andra ordningens faktor i nämnaren som skall subtraheras, så vi kommer ha lutning 0 för låga frekvenser, -2 för stora och en resonanstopp vid ω = ω 0. I figur 2 visas bode för två andra ordningens system med ω 0 =, det översta med ζ = 0.5 och det understa med ζ =

19 Figur 2: Bode för andra ordningens system 7.5 Kombinerat bodediagram Som nämnt ovan kan man få bodediagramet för en generell överföringsfunktion genom att faktorisera den i enkla faktorer och addera dessa. Ex: G(s) = 000(s + 0.) s 2 + 0s

20 kan skrivas om till G(s) = + s 0. ( + s)( + s 00 ). Vi har alltså brytpunkterna ω = 0. (uppåt), (nedåt) och 00 (nedåt). Figur 3: Bode för generellt system I figur 3 ges amplitudkurvan, vi ser att lutningen bryter uppåt till vid ω = 0. för att sedan bryta nedåt till 0 vid ω = och till - vid ω = Specifikationer i bodediagram Då man undersöker bodediagramet för ett generellt system finns det vissa saker man kan läsa ut som har stor betydelse för systemets egenskaper då det gäller stabilitet och förstärkning. 20

21 7.6. Statisk förstärkning Den statiska förstärkningen definierades innan i samband med slutvärdessatsen. Den kan enkelt läsas av i bodediagramet som G(0) och är alltså hur mycket systemet förstärker signaler med frekvensen 0, det vill säga steg Amplitud- och fasmarginal När man diskuterar stabilitet utifrån bodediagramet så tittar man på systemets amplitud - och fasmarginal, A m och φ m. Utifrån nyquistkriteriet konstaterade vi innan att systemet är precis på stabilitetsgränsen om nyquistkurvan skär punkten -. Detta är samma sak som att amplituden (beloppet, avståndet från origo) är när argumentet är 80. Om argumentet är större än 80 vid denna amplitud kommer vi inte skära i - och systemet är stabilt. På samma sätt, om amplituden är mindre än vid argumentet 80 har vi också stabilitet. Frekvensen där G(iω) = betecknas ω c och kallas skärfrekvens. Frekvensen där argg(iω) = 80 betecknas ω p och kallas fas-skärfrekvens. A m defineras sedan som A m = G(iω p ) och är alltså hur mycket vi kan öka amplituden (förstärkningen) utan att få G(iω p =. φ m definieras som φ m = argg(iω c ) + 80 och är alltså fasskillnaden mellan argg(iω c ) och 80. I figur 4 visas amplitud - och fasmarginalen i ett bodediagram. 2

22 Figur 4: Amplitud - och fasmarginal 7.7 Bodediagram för slutna systemet De bodediagram vi studerat hittills är endast för G(s). Det finns dock kopplingar mellan vissa specifikationer i detta bodediagram och bodediagramet för det slutna systemet G c = Go +G o. Då vi inte diskuterat någon regulator har vi G o = G men kopplingarna är desamma. 22

23 Figur 5: Bodediagram för slutet system I figur 5 visas bodediagramet för G c då G o har bodediagram enligt figur 4. Utifrån slutna systemets bodediagram definierar man bandbredden ω b som den frekvens där amplituden har sjunkit en faktor 3 db, resonanstoppen M p som det högsta värdet på amplitudkurvan och resonansfrekvensen ω r som den frekvens vid vilken denna inträffar. Kopplingarna till specifikationerna i G o kan sammanfattas som: ω b är proportionell mot ω c. Bandbredden avgör dessutom hur snabbt systemet är. För att få ett dubbelt så snabbt system kan man dubbla bandbredden, vilket i sin tur alltså är samma som att dubbla skärfrekvensen Har man liten φ m får man en stor resonanstopp M p. Detta svarar alltså mot ett dåligt dämpat system. Den statiska förstärkningen kan läsas av i slutna systemets bodediagram. Om G c (0) = är G o (0) =, det vill säga vi har en integrator i systemet. Annars har vi stationärt fel vilket ses genom att G c (0) <. 23

24 7.8 Tidsfördröjning i bodediagram En tidsfördröjning på T sekunder ges enligt teori för laplacetransformen som multiplikation med e T s. Vi har G(iω) = men argg(iω) = ωt. Tidsfördröjning påverkar alltså inte amplitudkurvan, men faskurvan försämras med ωt, vilket gör att fasmarginalen blir mindre. 8 Kompensering (lead-lag reglering) När man skall designa en regulator har man ofta krav på stabilitet, snabbhet och felmarginal hos det återkopplade systemet. Med hjälp av öppna systemets bodediagram och de specifikationer som togs fram i förra avsnittet kan man skapa en regulator som uppfyller dessa krav med så kalla lead-lag reglering. 8. Från krav till specifikationer För att bestämma sin regulator måste man först översätta kraven till krav på specifikationer hos systemet. 8.. Krav på snabbhet Krav på snabbhet är alltid relaterat till skärfrekvensen ω c. Vill man öka snabbheten hos systemet en faktor K betyder det att man vill ha skärfrekvens ω c,d = Kω c (d står för desired). Snabbhet kan relateras till t. ex. stigtid, så dubblering av skärfrekvens ger halvering av stigtiden. Om kravet är att göra systemet så snabbt som möjligt handlar det om att välja så hög skärfrekvens som möjligt samtidigt som man uppfyller övriga krav på stabilitet och felmarginal Krav på stabilitet Krav på stabilitet hör ihop med fasmarginalen φ m. Ofta har man ett direkt krav på ett tröskelvärde som fasmarginalen inte får underskrida. Har man krav på att t. ex. behålla samma översläng eller resonanstopp kan det tolkas som att man vill ha kvar samma fasmarginal Krav på felmarginal Krav på felmarginalen är relaterat till felkoefficienterna e 0 och e, samt den statiska förstärkningen G(0). Har man kravet e 0 = 0 måste G o innehålla en integrator, det vill säga en faktor s. Detta motsvarar att G(0) =. Om systemet man skall reglera, G(s) redan innehåller en integrator är detta uppfyllt. Detta kan ses i bodediagramet som att amplitudkurvan har lutning - för låga frekvenser, eftersom log s = log s. Har man kravet e = 0 måste G o på samma sätt innehålla en faktor s. 2 Om man har krav på att någon av dessa koefficienter inte skall vara noll har man 24

25 istället ett tröskelvärde som dessa inte får överskrida. Man får då bestämma sin regulator så att detta tröskelvärde inte överskrids. 8.2 P-reglering Den enklaste regulatorn man kan kompensera med är en P-regulator F (s) = K P. Eftersom argf (iω) = argk P = 0 påverkar denna regulator endast amplitudkurvan. Om man vill flytta skärfrekvensen till ω c,d görs detta genom att välja K P så att K P G(iωc, d) = Om man forfarande har önskvärd fasmarginal vid den nya skärfrekvensen är man då klar. Om så inte är fallet behöver man använda en fasavancerande länk eller lead-länk. 8.3 Lead-länk Överföringsfunktionen till en lead-länk ges av F lead (s) = K τ Ds + βτ D s +. Detta är alltså en PD-regulator med lågpassfilter. Koefficienten β avgör hur stor fasavancering man kan få, men stort β leder till stor förstärkning (risk för oscillationer). Stort τ D ger större deriveringsverkan (motverkar oscillationer). När man designar lead-länken börjar man med att avläsa fasmarginalen vid den nya skärfrekvensen ω c,d ur bode-diagramet för G(s). Nödvändig fasavancering fås ur φ = φ m,d φ m Med hjälp av fasavanceringen kan sedan β bestämmas ur fig 5.3, sid 06 i boken. När man bestämt β bestäms τ D ur τ D = ω c,d β Detta val gör att man får maximal fasavancering vid ω c,d. K-delen bestäms sedan på samma sätt som då man bestämmer en P-regulator, fast nu får vi F lead (iω c,d ) G(iω c,d ) = { F lead (iω c,d ) = K β } K = β G(iω c,d ) Denna regulator uppfyller kraven på snabbhet (skärfrekvens) och stabilitet (fasmarginal). Om den dessutom uppfyller kraven på felmarginal är vi klara. Om inte måste vi komplettera med en fasretarderande länk eller lag-länk 25

26 8.4 Lag-länk Överföringsfunktionen till en lag-länk ges av F lag (s) = τ Is + τ I s + γ Som man hör på namnet retarderar denna länk fasen, och minskar alltså fasmarginalen. För att inte få för stor minskning väljer man τ I = 0 ω c,d Detta gör att man får en fasretardering på ca 6. OBS: använder man en laglänk måste man därför lägga till 6 till önskad fasavancering i lead-länken för att få rätt fasmarginal. Väljer vi γ = 0 här får vi en ren I-regulator som ger e 0 = 0 om G(s) ej innehåller en integrator, eller e = 0 om G(s) innehåller en integrator. Ofta vill man dock inte ha ren integration utan har istället ett tröskelvärde som krav. Man får då räkna ut felkoefficienterna för G o med regulatorn: 26

27 e 0 = lim s 0 + G o (0) = lim s 0 + F lead (s)f lag (s)g(s) = lim s 0 = + K γ G(0) e = lim s 0 sg o (0) = lim s 0 sf lead (s)f lag (s)g(s) = lim s 0 9 Känslighet och robusthet + K τ Ds+ sk τ Ds+ τ I s+ βτ D s+ τ I s+ βτ D s+ τ I s+γ G(s) = τ I s+γ G(s) Det finns tre huvudsakliga saker som försämrar prestandan hos ett reglersystem: Begränsad styrsignal, man kan av fysikaliska skäl inte generera för stora insignaler Modellfel, modellen G(s) är en uppställd modell som inte överensstämmer helt med verkligheten Störningar, likt v(t) och n(t) som vi såg i avsnitt 3 9. Modellfel, robusthetskriteriet Om man antar att den verkliga modellen G 0 (s) ges av ( + α)g(s) har vi ett relativt modellfel G(s) = G0 (s) G(s) = α G(s) Notera att G kan vara en funktion av s, så att vi har olika stort modellfel för olika frekvenser. Givet G kan vi använda robusthetskriteriet för att avgöra om systemet fortfarande är stabilt trots modellfelet: Det återkopplade systemet är stabilt om: γ skg(0) G(iω) < T (iω) ω Där T (iω) är den komplementära känslighetsfunktionen, se avsnitt 3. Kom också ihåg att i det grundläggande fallet är G c = T! Om G inte är konstant kan man rita bodediagram för G(iω), om beloppskurvan för denna ligger över beloppskurvan för T (iω) är systemet robust. Notera också att systemet kan vara stabilt om robusthetskriteriet inte är uppfyllt, men kriteriet garanterar stabilitet. 27

28 9.2 Störningskänslighet Yttre störningar relateras till känslighetsfunktionen S(s). Idealt skulle man därför vilja att S(s) = 0, men detta går inte att uppnå. En fundamental gräns är Bodes integral (se sid 23 i boken) som säger att integralen av känslighetsfunktioner över alla frekvenser alltid är lika stor. Detta innebär att om man sänker förstärkningen för känslighetsfunktionen för vissa frekvenser så höjs den för andra, man måste alltså kompromissa! 0 Tillståndsform Som nämndes i avsnitt beskrivs systemen i kursen av linjära differentialekvationer. Ett annat sätt att representera ett sådant system, istället för att använda överföringsfunktionen är genom tillståndsform: ẋ = Ax + Bu, y = Cx Här är A, B och C matriser, och x är en vektor som innehåller systemets tillstånd. Beroende på hur man väljer att modellera systemet kan man beskriva samma system med olika tillstånd, men typiska tillstånd är t. ex. hastighet, läge, vinkel, vinkelhastighet etc. 0. Diffekvationer till tillståndsform Det finns inget recept på hur man går från beskrivningen av ett system till tillståndsform. I grunden handlar det dock om att först bestämma vad man ska använda som tillstånd, sedan sätta upp differentialekvationer för dessa. Om diffektvationerna är olinjära måste man linjärisera dom. Man skriver sedan diffekvationerna på matrisform. Ex (från tenta 40822): Figur 6: System med två tankar 28

29 I figur 6 ges ett system som består av två tankar. Överföringsfunktionerna för dessa tankar ges av: Y (s) = k T sτ T + Q(s), Q(s) = k V sτ V + U(s) Vi vill skriva systemet på tillståndsform med tillstånden x = y och x 2 = q. Genom att multiplicera upp nämnarna i överföringsfunktionerna får vi: { (sτt + )Y (s) = k T Q(s) (sτ V + )Q(s) = k V U(s) Invers laplacetransform av båda ekvationer ger: { dy(t) τ T dt + y(t) = k T q(t) + q(t) = k V u(t) τ V dq(t) dt Insättning av tillstånden x = y och x 2 = q ger: { τt x + x = k T x 2 x = x /τ T + k T /τ T x 2 x 2 + x 2 = k V u(t) x 2 = x 2 /τ V + k V /τ V u τ V På matrisform får vi: ( /τt k ẋ = T /τ T 0 /τ V Vi har alltså: A = y = ( ) ( ) 0 x + u k V /τ V 0 ) x ( ) ( ) /τt k T /τ T 0, B =, C = ( 0 ) 0 /τ V k V /τ V Matrisen A kallas för systemets systemmatris och har den mycket viktiga egenskapen att A:s egenvärden är samma som polerna till överföringsfunktionen för systemet. C bestämmer vilket av tillstånden som skall mätas som utsignal, i ovanstående modell har vi ju som bekant x = y. 0.2 Från överföringsfunktion till tillståndsform (styrbar kanonisk form) Det finns flera sätt att gå från överföringsfunktion till tillståndsform. Ett enkelt sådant är styrbar kanonisk form Om överföringsfunktionen ges av: G(s) = b s n b n s + b n s n + a s n a n s + a n 29

30 Får man matriserna: a a 2... a n a n A = , B = 0, C = ( ) b b 2... b n En lika enkel motsvarighet är observerbar kanonisk form, se sidan 5 i boken. 0.3 Från tillståndsform till överföringsfunktion För att gå från tillståndsform till överföringsfunktion utgår man från ẋ = Ax + Bu Det vi vill ha är överföringsfunktionen G(s) i uttrycket Y (s) = G(S)U(S). Genom att laplacetransformera tillståndsformen får man sx(s) = AX(s)+BU(s) (si A)X(s) = BU(s) X(s) = (si A) BU(s) Laplacetransformerar man y(t) = Cx(t) får vi Y (s) = CX(s) vilket ger Y (s) = C(sI A) BU(s) Jämför vi med det vanliga uttrycket ovan ser vi att G(s) = C(sI A) B Om A är en 2x2 matris kan vi använda formeln ( ) ( ) A a b d b = = c d det(a) c a där det(a) = ad bc, för att räkna ut (si A). 0.4 Poler och nollställen Polerna till ett system i tillståndsform ges som nämndes ovan av egenvärden till systemmatrisen A, det vill säga lösningar till 0 = det(si A) En förklaring till detta kan ses i fallet med 2x2 matris ovan: Insättning av (si A) i inversformeln ger att vi får en faktor det(si A) i nämnaren till överföringsfunktionen. det(si A) är alltså samma som polpolynomet eller karaktäristiska ekvationen. För att få fram nollställen till ett system på tillståndsform kan man använda formeln ovan för att få fram överföringsfunktionen, och beräkna nollställen ur denna. 30

31 Tillståndsåterkoppling När man återkopplar ett system på tillståndsform kallas det för tillståndsåterkoppling. Man återkopplar alltså relativt de olika tillstånden i systemet som hastighet, läge eller vinkel. Detta görs genom att sätta u = Lx + l 0 r Här är L = ( l l 2... l n ) återkopplingsvektorn som bestämmer hur mycket man ska återkoppla på respektive tillstånd, och l 0 är en framkoppling på referenssignalen för att nå önskad förstärkning. Insättning av detta i tillståndsformen ger ẋ = Ax + B( Lx + l 0 r) ẋ = (A BL)x + l 0 Br Polerna till detta system ges nu istället av 0 = det(si (A BL)) så genom att ändra vektorn L kan man ändra placering av polerna. L bestäms genom att räkna ut det(si (A BL)) och jämföra detta med önskat polpolynom. Vill vi t. ex. ha poler i -2 får vi i 2x2 fallet: det(si (A BL)) = (s + 2) 2 = s 2 + 4s + 4 Ur detta får man ett ekvationssystem för l och l 2. l 0 bestäms sedan så att man får statisk förstärkning G c (0) =. Notera alltså att om man går från denna tillståndsform till överföringsfunktion så får man överföringsfunktionen G c för det slutna systemet. Tillståndsåterkopplingen kan alltså delas upp i två steg: Bestäm först L så att önskade poler fås Räkna sedan ut G c = C(sI (A BL)) l 0 B och bestäm l 0 så G c (0) =. Styrbarhet En fråga som kommer upp i samband med tillståndsåterkoppling är om man alltid kan placera polerna för slutna systemet godtyckligt. Svaret är att så är fallet om systemet är styrbart. För att avgöra styrbarhet använder man styrbarhetsmatrisen: S = ( B AB... A n B ) Systemet är styrbar endast om denna matris är inverterbar det vill säga det(s) 0 Ex (från tenta 6089) Systemet ges av ẋ = ( ) ( 0 0 x + u 2 ) 3

32 Är systemet styrbart? Vi får S = ( B AB ) = ( ) Vi ser enkelt att det(s) = 0 så systemet är inte styrbart. Om vi återkopplar systemet med u = Lx får vi polpolynomet ( ) s + 0 det(a BL) = det = (s + )(s + l 2 + l s + l 2 ) 2 Vi får alltså en pol i s = oavsett val av l, så vi kan inte placera poler godtyckligt. Som tur är ligger dock denna pol i vänstra halvplanet, så systemet kan göras stabilt genom att välja l 2 så att den andra polen också hamnar där. 2 Rekonstruktion av tillstånd Ofta kan det vara svårt att mäta alla tillstånd i en modell. Isåfall kan man istället göra en skattning av tillstånden. Detta går ut på att man endast mäter utsignalen y(t). Matriserna A, B och C är samma då dessa ju utgör den modell man ställt upp av systemet. Man får då på tillståndsform ˆx = Aˆx + Bu Där ˆx är en skattning av de verkliga tillstånden. Man känner alltså inte till x, men man mäter y och vet ju att y = Cx. Om vi visste det exakta värdet på x så att ˆx = x vore alltså y C ˆx = 0. Vi inför denna signal i tillståndsmodellen och får ˆx = Aˆx + Bu + K(y C ˆx) Där K = ( k k 2... k n ) T kallas för observatör. Om man inför skattningsfelet x = x ˆx får man med omskrivningar av ovanstående tillståndsform x = (A KC) x Med K kan man alltså placera egenvärden till matrisen A KC (likt L till matrisen (A BL)) och ju snabbare denna matris görs (poler längre från origo) desto snabbare avtar skattningsfelet. Vill man t. ex. att skattningsfelet skall avta som e 2 ska polerna placeras i Observerbarhet I tillståndsformen har vi som bekant y(t) = Cx. När vi skattar tillstånd får vi istället y(t) ˆ = C ˆx. Med C-matrisen väljer vi alltså vilket av tillstånden vi ska ha som utsignal, och kunna skatta de andra tillstånden med. Om vi kan skatta 32

33 alla övriga tillstånd med vårt val av utsignal är systemet observerbart. Ett sätt att ta reda på om systemet är observerbart är observerbarhetsmatrisen: C CA O =. CA n Systemet är observerbart om denna matris är inverterbar, det vill säga det(o) 0 Detta innebär också att polerna till observatören K kan väljas godtyckligt, alltså observatören kan göras godtyckligt snabb. Ex (från tenta 30828): Figur 7: Sjösystem I figur 7 visas ett sjösystem. Vi har valt tillståndsvariablerna x n som vattennivån i respektive sjö. Vi har också följande tillståndsmodell: ẋ = α 0 x + u α 0 Frågan är vilket av dessa tillstånd vi ska välja att mäta som utsignal för att vi ska kunna skatta de andra tillstånden. Vi skall alltså avgöra för y = x, x 2 eller x 3 dvs C = ( 0 0 ), ( 0 0 ) eller ( 0 0 ) om systemet är observerbart. 33

34 Intuitivt verkar det svårt att skatta alla tillstånd om vi mäter vattennivån i sjö eller 2, eftersom dessa inte är kopplade på något sätt. Eftersom systemet är 3x3 får vi C O = CA CA 2 Första valet på C, dvs y = x ger: 0 0 O = Vi ser enkelt att det(o) = 0, systemet är alltså inte observerbart. För andra valet på C, dvs y = x 2 får vi: 0 0 O = 0 α 0 0 α 2 0 Här är också det(o) = 0. För tredje valet y = x 3 får vi: 0 0 O = α 2 (α 2 + α) och beräknar vi determinanten fås det(o) = (α 2 + α) + 2α = α( α + ) Systemet är alltså observerbart om α. α är i detta fall proportionalitetskonstanten med vilken man mäter nivån i sjö och 2, och man får alltså inte mäta dessa nivåer med samma konstant. Som slutsats måste man alltså mäta nivån i sjö nr 3 för att skatta nivån i övriga sjöar, och nivån i sjö och 2 måste påverka utsignalen olika mycket vilket känns rimligt. 34

Figure 1: Blockdiagram. V (s) + G C (s)y ref (s) 1 + G O (s)

Figure 1: Blockdiagram. V (s) + G C (s)y ref (s) 1 + G O (s) Övning 9 Introduktion Varmt välkomna till nionde övningen i Reglerteknik AK! Håkan Terelius hakante@kth.se Repetition Känslighetsfunktionen y ref + e u F (s) G(s) v + + y Figure : Blockdiagram Känslighetsfunktionen

Läs mer

Figur 2: Bodediagrammets amplitudkurva i uppgift 1d

Figur 2: Bodediagrammets amplitudkurva i uppgift 1d Lösningsförslag till tentamen i Reglerteknik Y (för Y och D) (TSRT) 008-06-0. (a) Vi har systemet G(s) (s3)(s) samt insignalen u(t) sin(t). Systemet är stabilt ty det har sina poler i s 3 samt s. Vi kan

Läs mer

Frekvenssvaret är utsignalen då insginalen är en sinusvåg med frekvens ω och amplitud A,

Frekvenssvaret är utsignalen då insginalen är en sinusvåg med frekvens ω och amplitud A, Övning 8 Introduktion Varmt välkomna till åttonde övningen i Reglerteknik AK! Håkan Terelius hakante@kth.se Repetition Frekvenssvar Frekvenssvaret är utsignalen då insginalen är en sinusvåg med frekvens

Läs mer

REGLERTEKNIK KTH REGLERTEKNIK AK EL1000/EL1110/EL En tillståndsmodell ges t.ex. av den styrbara kanoniska formen: s 2 +4s +1.

REGLERTEKNIK KTH REGLERTEKNIK AK EL1000/EL1110/EL En tillståndsmodell ges t.ex. av den styrbara kanoniska formen: s 2 +4s +1. REGLERTEKNIK KTH REGLERTEKNIK AK EL000/EL0/EL20 Lösningsförslag till tentamen 2009 2 5, kl. 4.00 9.00. (a) Laplacetransform av () ger s 2 Y (s)+4sy (s)+y (s) =U(s), och överföringsfunktionen blir G(s)

Läs mer

REGLERTEKNIK KTH. REGLERTEKNIK AK EL1000/EL1110/EL1120 Kortfattade lösningsförslag till tentamen , kl

REGLERTEKNIK KTH. REGLERTEKNIK AK EL1000/EL1110/EL1120 Kortfattade lösningsförslag till tentamen , kl REGLERTEKNIK KTH REGLERTEKNIK AK EL000/EL0/EL20 Kortfattade lösningsförslag till tentamen 202 2 7, kl. 9.00 4.00. (a) (i) Överföringsfunktionen ges av G(s)U(s) = G 0 (s)u(s)+g (s)(u(s)+g 0 (s)u(s)) = [G

Läs mer

Lösningsförslag till tentamen i Reglerteknik Y/D (TSRT12)

Lösningsförslag till tentamen i Reglerteknik Y/D (TSRT12) Lösningsförslag till tentamen i Reglerteknik Y/D (TSRT) 0-03-8. (a) Nolställen: - (roten till (s + ) 0 ) Poler: -, -3 (rötterna till (s + )(s + 3) 0) Eftersom alla poler har strikt negativ realdel är systemet

Läs mer

REGLERTEKNIK KTH REGLERTEKNIK AK EL1000/EL1110/EL1120

REGLERTEKNIK KTH REGLERTEKNIK AK EL1000/EL1110/EL1120 REGLERTEKNIK KTH REGLERTEKNIK AK EL000/EL0/EL0 Kortfattade lösningsförslag till tentamen 00 0 4, kl. 4.00 9.00. (a) Stegsvaret ges av y(t) =K( e t/t ). Från slutvärdet fås K =, och tiskonstanten kan avläsas

Läs mer

Lösningar till Tentamen i Reglerteknik AK EL1000/EL1100/EL

Lösningar till Tentamen i Reglerteknik AK EL1000/EL1100/EL Lösningar till Tentamen i Reglerteknik AK EL000/EL00/EL20 20-0-3 a. Överföringsfunktionen från u(t) till y(t) ges av Utsignalen ges av G(s) = y(t) = G(iω) A sin(ωt + ϕ + arg G(iω)) = 2 sin(2t). Identifierar

Läs mer

Reglerteknik AK Tentamen

Reglerteknik AK Tentamen Reglerteknik AK Tentamen 20-0-7 Lösningsförslag Uppgift a Svar: G(s) = Uppgift b G c (s) = G(s) = C(sI A) B + D = s. (s+)(s+2) Slutna systemets pol blir s (s + )(s + 2). G o(s) + G o (s) = F (s)g(s) +

Läs mer

1RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del B

1RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del B RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del B Tid: Torsdag 5 december 206, kl. 3.00-6.00 Plats: Fyrislundsgatan 80, sal Ansvarig lärare: Fredrik Olsson, tel. 08-47 7840. Fredrik kommer och svarar på frågor

Läs mer

1RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del B

1RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del B RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del B Tid: Tisdag 23 oktober 208, kl. 4.00-7.00 Plats: Polacksbackens skrivsal Ansvarig lärare: Hans Rosth, tel. 08-473070. Hans kommer och svarar på frågor ungefär kl

Läs mer

Lösningsförslag till tentamen i Reglerteknik (TSRT19)

Lösningsförslag till tentamen i Reglerteknik (TSRT19) Lösningsförslag till tentamen i Reglerteknik (TSRT9) 26-3-6. (a) Systemet är stabilt och linjärt. Därmed kan principen sinus in, sinus ut tillämpas. Givet insignalen u(t) sin (t) sin ( t) har vi G(i )

Läs mer

Lösningar Reglerteknik AK Tentamen

Lösningar Reglerteknik AK Tentamen Lösningar Reglerteknik AK Tentamen 060 Uppgift a G c (s G(sF (s + G(sF (s s + 3, Y (s s + 3 s ( 3 s s + 3 Svar: y(t 3 ( e 3t Uppgift b Svar: (i insignal u levererad insulinmängd från pumpen, mha tex spänningen

Läs mer

Välkomna till TSRT19 Reglerteknik M Föreläsning 9

Välkomna till TSRT19 Reglerteknik M Föreläsning 9 Välkomna till TSRT19 Reglerteknik M Föreläsning 9 Sammanfattning av föreläsning 8 Prestandabegränsningar Robusthet Mer generell återkopplingsstruktur Sammanfattning föreläsning 8 2 F(s) Lead-lag design:

Läs mer

Välkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 7

Välkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 7 Välkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 7 Sammanfattning av föreläsning 6 Kretsformning Lead-lag design Labförberedande exempel Instabila nollställen och tidsfördröjning (tolkning i frekvensplanet)

Läs mer

Välkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 8. Sammanfattning av föreläsning 7 Framkoppling Den röda tråden!

Välkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 8. Sammanfattning av föreläsning 7 Framkoppling Den röda tråden! Välkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 8 Sammanfattning av föreläsning 7 Framkoppling Den röda tråden! Sammanfattning föreläsning 8 2 Σ F(s) Lead-lag design: Givet ett Bode-diagram för ett öppet

Läs mer

Reglerteknik AK, FRT010

Reglerteknik AK, FRT010 Institutionen för REGLERTEKNIK Reglerteknik AK, FRT Tentamen januari 27 kl 8 3 Poängberäkning och betygssättning Lösningar och svar till alla uppgifter skall vara klart motiverade. Tentamen omfattar totalt

Läs mer

TSIU61: Reglerteknik. Regulatorsyntes mha bodediagram (1/4) Känslighet Robusthet. Sammanfattning av föreläsning 7

TSIU61: Reglerteknik. Regulatorsyntes mha bodediagram (1/4) Känslighet Robusthet. Sammanfattning av föreläsning 7 TSIU6 Föreläsning 8 Gustaf Hendeby HT 207 / 8 Innehåll föreläsning 8 TSIU6: Reglerteknik Föreläsning 8 Känslighet Robusthet Gustaf Hendeby ˆ Sammanfattning av föreläsning 7 ˆ Känslighet mot störningar

Läs mer

1RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del B

1RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del B RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del B Tid: Fredag 9 mars 208, kl. 4.00-7.00 Plats: BMC B:3 Ansvarig lärare: Hans Rosth, tel. 08-473070. Hans kommer och svarar på frågor ungefär kl 5.30. Tillåtna hjälpmedel:

Läs mer

Välkomna till TSRT19 Reglerteknik M Föreläsning 9

Välkomna till TSRT19 Reglerteknik M Föreläsning 9 Välkomna till TSRT19 Reglerteknik M Föreläsning 9 Sammanfattning av föreläsning 8 Prestandabegränsningar Robusthet Mer generell återkopplingsstruktur Sammanfattning av förra föreläsningen H(s) W(s) 2 R(s)

Läs mer

Reglerteknik AK. Tentamen 24 oktober 2016 kl 8-13

Reglerteknik AK. Tentamen 24 oktober 2016 kl 8-13 Institutionen för REGLERTEKNIK Reglerteknik AK Tentamen 24 oktober 26 kl 8-3 Poängberäkning och betygsättning Lösningar och svar till alla uppgifter skall vara klart motiverade. Tentamen omfattar totalt

Läs mer

Reglerteknik AK. Tentamen 9 maj 2015 kl 08 13

Reglerteknik AK. Tentamen 9 maj 2015 kl 08 13 Institutionen för REGLERTEKNIK Reglerteknik AK Tentamen 9 maj 5 kl 8 3 Poängberäkning och betygssättning Lösningar och svar till alla uppgifter skall vara klart motiverade. Tentamen omfattar totalt 5 poäng.

Läs mer

TENTAMEN I REGLERTEKNIK

TENTAMEN I REGLERTEKNIK TENTAMEN I REGLERTEKNIK TID: 29-6-4, kl 4.-9. KURS: TSRT9 PROVKOD: TEN INSTITUTION: ISY ANTAL UPPGIFTER: 5 ANSVARIG LÄRARE: Johan Löfberg, tel 7-339 BESÖKER SALEN: 5., 7.3 KURSADMINISTRATÖR: Ninna Stensgård,

Läs mer

Specifikationer i frekvensplanet ( )

Specifikationer i frekvensplanet ( ) Föreläsning 7-8 Specifikationer i frekvensplanet (5.2-5.3) Återkopplat system: Enligt tidigare gäller att där och Y (s) =G C (s)r(s) G C (s) = G O(s) 1+G O (s) G O (s) =F (s)g(s) är det öppna systemet

Läs mer

A. Stationära felet blir 0. B. Stationära felet blir 10 %. C. Man kan inte avgöra vad stationära felet blir enbart med hjälp av polerna.

A. Stationära felet blir 0. B. Stationära felet blir 10 %. C. Man kan inte avgöra vad stationära felet blir enbart med hjälp av polerna. Man använder en observatör för att skatta tillståndsvariablerna i ett system, och återkopplar sedan från det skattade tillståndet. Hur påverkas slutna systemets överföringsfunktion om man gör observatören

Läs mer

1RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del B

1RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del B RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del B Tid: Måndag 8 januari 08, kl. 4.00-7.00 Plats: Bergsbrunnagatan 5, sal Ansvarig lärare: Hans Rosth, tel. 08-473070. Hans kommer och svarar på frågor ungefär kl

Läs mer

TSIU61: Reglerteknik. Lead-lag-regulatorn. Gustaf Hendeby.

TSIU61: Reglerteknik. Lead-lag-regulatorn. Gustaf Hendeby. TSIU61: Reglerteknik Föreläsning 7 Lead-lag-regulatorn Tidsfördröjning Gustaf Hendeby gustaf.hendeby@liu.se TSIU61 Föreläsning 7 Gustaf Hendeby HT1 2017 1 / 24 Innehåll föreläsning 7 ˆ Sammanfattning av

Läs mer

Lead-lag-reglering. Fundera på till den här föreläsningen. Fasavancerande (lead-) länk. Ex. P-regulator. Vi vill ha en regulator som uppfyller:

Lead-lag-reglering. Fundera på till den här föreläsningen. Fasavancerande (lead-) länk. Ex. P-regulator. Vi vill ha en regulator som uppfyller: TSIU61 Föreläsning 7 Gustaf Hendeby HT1 2017 1 / 24 Innehåll föreläsning 7 TSIU61: Reglerteknik Föreläsning 7 Lead-lag-regulatorn Tidsfördröjning Gustaf Hendeby Sammanfattning av föreläsning 6 Regulatorsyntes

Läs mer

TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 2

TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 2 Föreläsningar / TSRT9 Reglerteknik: Föreläsning 2 Martin Enqvist Reglerteknik Institutionen för systemteknik Linköpings universitet Inledning, grundläggande begrepp. 2 Matematiska modeller. Stabilitet.

Läs mer

Reglerteknik AK, FRTF05

Reglerteknik AK, FRTF05 Institutionen för REGLERTEKNIK Reglerteknik AK, FRTF05 Tentamen 3 april 208 kl 4 9 Poängberäkning och betygssättning Lösningar och svar till alla uppgifter skall vara klart motiverade. Tentamen omfattar

Läs mer

Reglerteknik AK. Tentamen 27 oktober 2015 kl 8-13

Reglerteknik AK. Tentamen 27 oktober 2015 kl 8-13 Institutionen för REGLERTEKNIK Reglerteknik AK Tentamen 27 oktober 205 kl 8-3 Poängberäkning och betygsättning Lösningar och svar till alla uppgifter skall vara klart motiverade. Tentamen omfattar totalt

Läs mer

Reglerteknik AK, Period 2, 2013 Föreläsning 6. Jonas Mårtensson, kursansvarig

Reglerteknik AK, Period 2, 2013 Föreläsning 6. Jonas Mårtensson, kursansvarig Reglerteknik AK, Period 2, 213 Föreläsning 6 Jonas Mårtensson, kursansvarig Senaste två föreläsningarna Frekvensbeskrivning, Bodediagram Stabilitetsmarginaler Specifikationer (tids-/frekvensplan, slutna/öppna

Läs mer

TSIU61: Reglerteknik. Sammanfattning av kursen. Gustaf Hendeby.

TSIU61: Reglerteknik. Sammanfattning av kursen. Gustaf Hendeby. TSIU61: Reglerteknik Föreläsning 12 Sammanfattning av kursen Gustaf Hendeby gustaf.hendeby@liu.se TSIU61 Föreläsning 12 Gustaf Hendeby HT1 2017 1 / 56 Innehåll föreläsning 12: 1. Reglerproblemet 2. Modellbygge

Läs mer

ERE103 Reglerteknik D Tentamen

ERE103 Reglerteknik D Tentamen CHALMERS TEKNISKA HÖGSKOLA Institutionen för signaler och system System- och reglerteknik ERE03 Reglerteknik D Tentamen 207-0-2 08.30-2.30 Examinator: Jonas Fredriksson, tel 359. Tillåtna hjälpmedel: Typgodkänd

Läs mer

Reglerteknik AK. Tentamen kl

Reglerteknik AK. Tentamen kl Institutionen för REGLERTEKNIK Reglerteknik AK Tentamen 20 0 20 kl 8.00 3.00 Poängberäkning och betygssättning Lösningar och svar till alla uppgifter skall vara klart motiverade. Tentamen omfattar totalt

Läs mer

Överföringsfunktion 21

Överföringsfunktion 21 Vad är reglerteknik? 8 Analys och styrning av dynamiska system Välj styrsignalen (u(t)) så att systemet (mätsignalen y(t)) uppför sig som önskat (referenssignalen r(t)) trots störningar (v(t)) Vi betraktar

Läs mer

Välkomna till TSRT19 Reglerteknik M Föreläsning 8

Välkomna till TSRT19 Reglerteknik M Föreläsning 8 Välkomna till TSRT19 Reglerteknik M Föreläsning 8 Sammanfattning av föreläsning 7 Kretsformning Lead-lag design Instabila nollställen och tidsfördröjning (tolkning i frekvensplanet) Sammanfattning av förra

Läs mer

Välkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 6. Sammanfattning av föreläsning 5 Lite mer om Bodediagram Den röda tråden!

Välkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 6. Sammanfattning av föreläsning 5 Lite mer om Bodediagram Den röda tråden! Välkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 6 Sammanfattning av föreläsning 5 Lite mer om Bodediagram Den röda tråden! Sammanfattning av förra föreläsningen 2 G(s) Sinus in (i stabilt system) ger sinus

Läs mer

Reglerteknik AK. Tentamen 16 mars 2016 kl 8 13

Reglerteknik AK. Tentamen 16 mars 2016 kl 8 13 Institutionen för REGLERTEKNIK Reglerteknik AK Tentamen 6 mars 26 kl 8 3 Poängberäkning och betygssättning Lösningar och svar till alla uppgifter skall vara klart motiverade. Tentamen omfattar totalt 25

Läs mer

TENTAMEN Reglerteknik 3p, X3

TENTAMEN Reglerteknik 3p, X3 OBS: Kontrollera att du har fått rätt tentamen! Denna tentamen gäller i första hand för Reglerteknik 3p. På sista sidan av tentamen finns ett försättsblad, som ska fyllas i och lämnas in tillsammans med

Läs mer

TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 10

TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 10 TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 10 Martin Enqvist Reglerteknik Institutionen för systemteknik Linköpings universitet Föreläsningar 1 / 15 1 Inledning, grundläggande begrepp. 2 Matematiska modeller. Stabilitet.

Läs mer

Välkomna till TSRT15 Reglerteknik Föreläsning 12

Välkomna till TSRT15 Reglerteknik Föreläsning 12 Välkomna till TSRT15 Reglerteknik Föreläsning 12 Sammanfattning av föreläsning 11 Återkoppling av skattade tillstånd Integralverkan Återblick på kursen Sammanfattning föreläsning 11 2 Tillstånden innehåller

Läs mer

Välkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 3. Sammanfattning av föreläsning 2 PID-reglering Blockschemaräkning Reglerdesign för svävande kula

Välkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 3. Sammanfattning av föreläsning 2 PID-reglering Blockschemaräkning Reglerdesign för svävande kula Välkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 3 Sammanfattning av föreläsning 2 PID-reglering Blockschemaräkning Reglerdesign för svävande kula Sammanfattning av förra föreläsningen 2 Vi modellerar system

Läs mer

Lösningar Reglerteknik AK Tentamen

Lösningar Reglerteknik AK Tentamen Lösningar Reglerteknik AK Tentamen 15 1 3 Uppgift 1a Systemet är stabilt ( pol i ), så vi kan använda slutvärdesteoremet för att bestämma Svar: l = lim y(t) = lim sg(s)1 t s s = G()1 = 5l = r = 1 Uppgift

Läs mer

Nyquistkriteriet, kretsformning

Nyquistkriteriet, kretsformning Sammanfattning från föreläsning 5 2 Reglerteknik I: Föreläsning 6 Nyquistkriteriet, kretsformning Fredrik Lindsten fredrik.lindsten@it.uu.se Kontor 2236, ITC Hus 2, Systemteknik Institutionen för informationsteknologi

Läs mer

TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 9

TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 9 TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 9 Martin Enqvist Reglerteknik Institutionen för systemteknik Linköpings universitet Föreläsningar 1 / 20 1 Inledning, grundläggande begrepp. 2 Matematiska modeller. Stabilitet.

Läs mer

Välkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 12

Välkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 12 Välkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 12 Sammanfattning av föreläsning 11 Integralverkan Återkoppling av skattade tillstånd Återblick på kursen LABFLYTT! 2 PGA felbokning datorsal så måste ett

Läs mer

TENTAMEN I TSRT19 REGLERTEKNIK

TENTAMEN I TSRT19 REGLERTEKNIK SAL: XXXXX TENTAMEN I TSRT9 REGLERTEKNIK TID: 25-8-2 kl. 8:-3: KURS: TSRT9 Reglerteknik PROVKOD: TEN INSTITUTION: ISY ANTAL UPPGIFTER: 5 ANSVARIG LÄRARE: Inger Erlander Klein, tel. 3-28665,73-9699 BESÖKER

Läs mer

TSIU61: Reglerteknik. Sammanfattning från föreläsning 5 (2/4) Stabilitet Specifikationer med frekvensbeskrivning

TSIU61: Reglerteknik. Sammanfattning från föreläsning 5 (2/4) Stabilitet Specifikationer med frekvensbeskrivning TSIU6 Föreläsning 6 Gustaf Hendeby HT 206 / 7 Innehåll föreläsning 6 TSIU6: Reglerteknik Föreläsning 6 Stabilitet Specifikationer med frekvensbeskrivning Gustaf Hendeby ˆ Sammanfattning av föreläsning

Läs mer

TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 12

TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 12 TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 12 Martin Enqvist Reglerteknik Institutionen för systemteknik Linköpings universitet Föreläsningar 1 / 15 1 Inledning, grundläggande begrepp. 2 Matematiska modeller. Stabilitet.

Läs mer

ÖVNINGSTENTAMEN Reglerteknik I 5hp

ÖVNINGSTENTAMEN Reglerteknik I 5hp ÖVNINGSTENTAMEN Reglerteknik I 5hp Tid: När det passar dig Plats: Där det passar dig Ansvarig lärare: Någon bra person. Tillåtna hjälpmedel: Kursboken (Glad-Ljung), miniräknare, Laplace-tabell och matematisk

Läs mer

TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 11

TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 11 Föreläsningar / 5 TSRT9 Reglerteknik: Föreläsning Martin Enqvist Reglerteknik Institutionen för systemteknik Linköpings universitet Inledning, grundläggande begrepp. 2 Matematiska modeller. Stabilitet.

Läs mer

Reglerteknik AK, Period 2, 2013 Föreläsning 12. Jonas Mårtensson, kursansvarig

Reglerteknik AK, Period 2, 2013 Föreläsning 12. Jonas Mårtensson, kursansvarig Reglerteknik AK, Period 2, 213 Föreläsning 12 Jonas Mårtensson, kursansvarig Sammanfattning Systembeskrivning Reglerproblemet Modellering Specifikationer Analysverktyg Reglerstrukturer Syntesmetoder Implementering

Läs mer

Reglerteknik I: F6. Bodediagram, Nyquistkriteriet. Dave Zachariah. Inst. Informationsteknologi, Avd. Systemteknik

Reglerteknik I: F6. Bodediagram, Nyquistkriteriet. Dave Zachariah. Inst. Informationsteknologi, Avd. Systemteknik Reglerteknik I: F6 Bodediagram, Nyquistkriteriet Dave Zachariah Inst. Informationsteknologi, Avd. Systemteknik 1 / 11 Frekvensegenskaper Hur svarar ett (slutet) system på oscillerande signaler? 2 / 11

Läs mer

Reglerteknik AK, FRTF05

Reglerteknik AK, FRTF05 Institutionen för REGLERTEKNIK Reglerteknik AK, FRTF05 Tentamen 23 augusti 207 kl 8 3 Poängberäkning och betygssättning Lösningar och svar till alla uppgifter skall vara klart motiverade. Tentamen omfattar

Läs mer

Försättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings universitet

Försättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings universitet Försättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings universitet Datum för tentamen 23-- Sal () T,T2,KÅRA (Om tentan går i flera salar ska du bifoga ett försättsblad till varje sal och ringa in vilken sal

Läs mer

Föreläsning 9. Reglerteknik AK. c Bo Wahlberg. 30 september Avdelningen för reglerteknik Skolan för elektro- och systemteknik

Föreläsning 9. Reglerteknik AK. c Bo Wahlberg. 30 september Avdelningen för reglerteknik Skolan för elektro- och systemteknik Föreläsning 9 Reglerteknik AK c Bo Wahlberg Avdelningen för reglerteknik Skolan för elektro- och systemteknik 30 september 2013 Tillståndsåterkoppling Antag att vi återkopplar ett system med hjälp av u

Läs mer

TENTAMEN I REGLERTEKNIK TSRT03, TSRT19

TENTAMEN I REGLERTEKNIK TSRT03, TSRT19 TENTAMEN I REGLERTEKNIK TSRT3, TSRT9 TID: 23 april 29, klockan 4-9 KURS: TSRT3, TSRT9 PROVKOD: TEN INSTITUTION: ISY ANTAL UPPGIFTER: 5 ANSVARIG LÄRARE: Johan Löfberg, 7-339 BESÖKER SALEN: 5.3, 7.3 KURSADMINISTRATÖR:

Läs mer

TENTAMEN Reglerteknik 4.5hp X3

TENTAMEN Reglerteknik 4.5hp X3 OBS: Kontrollera att du har fått rätt tentamen! Denna tentamen gäller i första hand för Reglerteknik 4.5hp. På sista sidan av tentamen finns ett försättsblad, som ska fyllas i och lämnas in tillsammans

Läs mer

1RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del B

1RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del B RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del B Tid: Tisdag 8 oktober 206, kl. 2.00-5.00 Plats: Fyrislundsgatan 80, sal Ansvarig lärare: Hans Rosth, tel. 08-47070. Hans kommer och svarar på frågor ungefär kl.0.

Läs mer

TENTAMEN I REGLERTEKNIK Y/D

TENTAMEN I REGLERTEKNIK Y/D TENTAMEN I REGLERTEKNIK Y/D SAL: T1, KÅRA TID: 9 juni 2017, klockan 14-19 KURS: TSRT12, Reglerteknik Y/D PROVKOD: TEN1 INSTITUTION: ISY ANTAL UPPGIFTER: 5 ANTAL SIDOR PÅ TENTAMEN (INKLUSIVE FÖRSÄTTSBLAD):

Läs mer

TSIU61: Reglerteknik. Sammanfattning från föreläsning 3 (2/4) ˆ PID-reglering. ˆ Specifikationer. ˆ Sammanfattning av föreläsning 3.

TSIU61: Reglerteknik. Sammanfattning från föreläsning 3 (2/4) ˆ PID-reglering. ˆ Specifikationer. ˆ Sammanfattning av föreläsning 3. TSIU6 Föreläsning 4 Gustaf Hendeby HT 207 / 22 Innehåll föreläsning 4 TSIU6: Reglerteknik Föreläsning 4 PID-reglering Specifikationer Gustaf Hendeby gustaf.hendeby@liu.se ˆ Sammanfattning av föreläsning

Läs mer

Föreläsning 7. Reglerteknik AK. c Bo Wahlberg. 26 september Avdelningen för Reglerteknik Skolan för elektro- och systemteknik

Föreläsning 7. Reglerteknik AK. c Bo Wahlberg. 26 september Avdelningen för Reglerteknik Skolan för elektro- och systemteknik Föreläsning 7 Reglerteknik AK c Bo Wahlberg Avdelningen för Reglerteknik Skolan för elektro- och systemteknik 26 september 2013 Introduktion Förra gången: Känslighet och robusthet Dagens program: Repetion

Läs mer

TSIU61: Reglerteknik. PID-reglering Specifikationer. Gustaf Hendeby.

TSIU61: Reglerteknik. PID-reglering Specifikationer. Gustaf Hendeby. TSIU61: Reglerteknik Föreläsning 4 PID-reglering Specifikationer Gustaf Hendeby gustaf.hendeby@liu.se TSIU61 Föreläsning 4 Gustaf Hendeby HT1 2017 1 / 22 Innehåll föreläsning 4 ˆ Sammanfattning av föreläsning

Läs mer

TSIU61: Reglerteknik. Reglerproblemet. Innehåll föreläsning 12: 1. Reglerproblemet: Ex design av farthållare. Sammanfattning av kursen

TSIU61: Reglerteknik. Reglerproblemet. Innehåll föreläsning 12: 1. Reglerproblemet: Ex design av farthållare. Sammanfattning av kursen TSIU6: Reglerteknik Föreläsning 2 Sammanfattning av kursen gustaf.hendeby@liu.se TSIU6 Föreläsning 2 / 56 Innehåll föreläsning 2:. Reglerproblemet 2. Modellbygge ˆ Fysikalisk modell ˆ Identifiering (t

Läs mer

TENTAMEN Reglerteknik 4.5hp X3

TENTAMEN Reglerteknik 4.5hp X3 OBS: Kontrollera att du har fått rätt tentamen! Denna tentamen gäller i första hand för Reglerteknik 4.5hp för X3. På sista sidan av tentamen finns ett försättsblad, som ska fyllas i och lämnas in tillsammans

Läs mer

Välkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 10

Välkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 10 Välkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 10 Sammanfattning av föreläsning 9 Tillståndsbeskrivningar Överföringsfunktion vs tillståndmodell Stabilitet Styrbarhet och observerbarhet Sammanfattning föreläsning

Läs mer

TENTAMEN: DEL B Reglerteknik I 5hp

TENTAMEN: DEL B Reglerteknik I 5hp TENTAMEN: DEL B Reglerteknik I 5hp Tid: Torsdag 20 oktober 20, kl. 4.00-7.00 Plats: Gimogatan 4, sal Ansvarig lärare: jartan Halvorsen, kommer och svarar på frågor ungefär kl 5.30. Tillåtna hjälpmedel:

Läs mer

REGLERTEKNIK KTH. REGLERTEKNIK AK EL1000/EL1110/EL1120 Tentamen , kl

REGLERTEKNIK KTH. REGLERTEKNIK AK EL1000/EL1110/EL1120 Tentamen , kl REGLERTEKNIK KTH REGLERTEKNIK AK EL1000/EL1110/EL1120 Tentamen 2009 12 15, kl. 14.00 19.00 Hjälpmedel: Kursboken i Reglerteknik AK (Glad, Ljung: Reglerteknik eller motsvarande) räknetabeller, formelsamlingar

Läs mer

Fredrik Lindsten Kontor 2A:521, Hus B, Reglerteknik Institutionen för systemteknik (ISY)

Fredrik Lindsten Kontor 2A:521, Hus B, Reglerteknik Institutionen för systemteknik (ISY) Innehåll föreläsning 12 2 Reglerteknik, föreläsning 12 Sammanfattning av kursen Fredrik Lindsten fredrik.lindsten@liu.se Kontor 2A:521, Hus B, Reglerteknik Institutionen för systemteknik (ISY) 1. Sammanfattning

Läs mer

Reglerteknik I: F3. Tidssvar, återkoppling och PID-regulatorn. Dave Zachariah. Inst. Informationsteknologi, Avd. Systemteknik

Reglerteknik I: F3. Tidssvar, återkoppling och PID-regulatorn. Dave Zachariah. Inst. Informationsteknologi, Avd. Systemteknik Reglerteknik I: F3 Tidssvar, återkoppling och PID-regulatorn Dave Zachariah Inst. Informationsteknologi, Avd. Systemteknik 1 / 12 Poler och tidssvar Stegsvar u(t) G y(t) Modell Y (s) = G(s)U(s) med överföringsfunktion

Läs mer

En allmän linjär återkoppling (Varför inför vi T (s)?)

En allmän linjär återkoppling (Varför inför vi T (s)?) TSRT9 Reglerteknik Föreläsning 3 Inger Erlander Klein REGLERTEKNIK Avdelningen för Reglerteknik Institutionen för systemteknik inger.erlander.klein@liu.se Tel: 28665 Kontor: B-huset ingång 23-25 www.control.isy.liu.se/student/tsrt9/vt/

Läs mer

Föreläsning 3. Reglerteknik AK. c Bo Wahlberg. 9 september Avdelningen för reglerteknik Skolan för elektro- och systemteknik

Föreläsning 3. Reglerteknik AK. c Bo Wahlberg. 9 september Avdelningen för reglerteknik Skolan för elektro- och systemteknik Föreläsning 3 Reglerteknik AK c Bo Wahlberg Avdelningen för reglerteknik Skolan för elektro- och systemteknik 9 september 2013 Introduktion Förra gången: PID-reglering Dagens program: Stabilitet Rotort

Läs mer

Övning 3. Introduktion. Repetition

Övning 3. Introduktion. Repetition Övning 3 Introduktion Varmt välkomna till tredje övningen i Reglerteknik AK! Håkan Terelius hakante@kth.se Nästa gång är det datorövning. Kontrollera att ni kan komma in i XQ-salarna. Endast en kort genomgång,

Läs mer

TSIU61: Reglerteknik. Frekvensbeskrivning Bodediagram. Gustaf Hendeby.

TSIU61: Reglerteknik. Frekvensbeskrivning Bodediagram. Gustaf Hendeby. TSIU61: Reglerteknik Föreläsning 5 Frekvensbeskrivning Bodediagram Gustaf Hendeby gustaf.hendeby@liu.se TSIU61 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT1 2017 1 / 1 Innehåll föreläsning 5 ˆ Sammanfattning av föreläsning

Läs mer

1RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del A Tid: Onsdag 22 augusti 2018, kl

1RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del A Tid: Onsdag 22 augusti 2018, kl Tentamenskod Klockslag för inlämning Utbildningsprogram Bordnummer RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del A Tid: Onsdag 22 augusti 208, kl. 4.00-7.00 Plats: Bergsbrunnagatan 5, sal Ansvarig lärare: Hans

Läs mer

TENTAMEN: DEL B Reglerteknik I 5hp

TENTAMEN: DEL B Reglerteknik I 5hp TENTAMEN: DEL B Reglerteknik I 5hp Tid: Fredag 8 mars 0, kl. 4.00-9.00 Plats: Gimogatan 4 sal Ansvarig lärare: Hans Norlander, tel. 08-473070. Hans kommer och svarar på frågor ungefär kl 5.30 och kl 7.30.

Läs mer

Kap 3 - Tidskontinuerliga LTI-system. Användning av Laplacetransformen för att beskriva LTI-system: Samband poler - respons i tidsplanet

Kap 3 - Tidskontinuerliga LTI-system. Användning av Laplacetransformen för att beskriva LTI-system: Samband poler - respons i tidsplanet Kap 3 - Tidskontinuerliga LTI-system Användning av Laplacetransformen för att beskriva LTI-system: Överföringsfunktion Poler, nollställen, stabilitet Samband poler - respons i tidsplanet Slut- och begynnelsevärdesteoremen

Läs mer

Reglerteknik I: F10. Tillståndsåterkoppling med observatörer. Dave Zachariah. Inst. Informationsteknologi, Avd. Systemteknik

Reglerteknik I: F10. Tillståndsåterkoppling med observatörer. Dave Zachariah. Inst. Informationsteknologi, Avd. Systemteknik Reglerteknik I: F10 Tillståndsåterkoppling med observatörer Dave Zachariah Inst. Informationsteknologi, Avd. Systemteknik 1 / 14 2 / 14 F9: Frågestund F9: Frågestund 1) När ett system är observerbart då

Läs mer

TENTAMEN Reglerteknik I 5hp

TENTAMEN Reglerteknik I 5hp OBS: Kontrollera att du har fått rätt tentamen! Denna tentamen gäller Reglerteknik I 5hp för F4/IT4/STS3. På sista sidan av tentamen finns ett försättsblad, som ska fyllas i och lämnas in tillsammans med

Läs mer

Kretsformning och känslighet

Kretsformning och känslighet Innehåll föreläsning 7 2 Reglerteknik, föreläsning 7 Kretsformning och känslighet Fredrik Lindsten fredrik.lindsten@liu.se Kontor 2A:521, Hus B, Reglerteknik Institutionen för systemteknik (ISY) 1. Sammanfattning

Läs mer

ERE 102 Reglerteknik D Tentamen

ERE 102 Reglerteknik D Tentamen CHALMERS TEKNISKA HÖGSKOLA Institutionen för signaler och system Reglerteknik, automation och mekatronik ERE 02 Reglerteknik D Tentamen 202-2-2 4.00 8.00 Examinator: Bo Egar, tel 372. Tillåtna hjälpmedel:

Läs mer

Lösningsförslag TSRT09 Reglerteori

Lösningsförslag TSRT09 Reglerteori Lösningsförslag TSRT9 Reglerteori 217-3-17 1. (a) Underdeterminanter 1 s + 2, 1 s + 3, 1 s + 2, 1 (s + 3)(s 3), s 4 (s + 3)(s 3)(s + 2), vilket ger MGN dvs ordningstal 3. P (s) = (s + 3)(s 3)(s + 2), (b)

Läs mer

REGLERTEKNIK KTH. REGLERTEKNIK AK EL1000/EL1110/EL1120 Tentamen , kl

REGLERTEKNIK KTH. REGLERTEKNIK AK EL1000/EL1110/EL1120 Tentamen , kl REGLERTEKNIK KTH REGLERTEKNIK AK EL/EL/EL2 Tentamen 2 2 4, kl. 4. 9. Hjälpmedel: Kursboken i glerteknik AK (Glad, Ljung: glerteknik eller motsvarande) räknetabeller, formelsamlingar och räknedosa. Observeraattövningsmaterial

Läs mer

TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 4

TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 4 TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 4 Martin Enqvist Reglerteknik Institutionen för systemteknik Linköpings universitet Föreläsningar 1 / 16 1 Inledning, grundläggande begrepp. 2 Matematiska modeller. Stabilitet.

Läs mer

1RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del A Tid: Torsdag 17 mars 2016, kl

1RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del A Tid: Torsdag 17 mars 2016, kl Tentamenskod Klockslag för inlämning Utbildningsprogram Bordnummer 1RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del A Tid: Torsdag 17 mars 2016, kl. 8.00-11.00 Plats: Fyrislundsgatan 80, sal 1 Ansvarig lärare:

Läs mer

Från tidigare: Systemets poler (rötterna till kar. ekv.) påverkar egenskaperna hos diffekvationens lösning.

Från tidigare: Systemets poler (rötterna till kar. ekv.) påverkar egenskaperna hos diffekvationens lösning. Föreläsning 4 Stabilitet (2.5) Från tidigare: Systemets poler (rötterna till kar. ekv.) påverkar egenskaperna hos diffekvationens lösning. Definition av insignal-utsignalstabilitet: OH-bild Sats 2.1: OH-bild

Läs mer

TENTAMEN Reglerteknik I 5hp

TENTAMEN Reglerteknik I 5hp TENTAMEN Reglerteknik I 5hp Tid: Tisdag 8 juni 00, kl 8.00 3.00 Plats: Polacksbackens skrivsal Ansvarig lärare: Kjartan Halvorsen, tel 08-473070. Kjartan kommer och svarar på frågor ungefär kl 9.30 och

Läs mer