Lektion 1. Bo Bernhardsson FRT130 Control Theory, Lecture 1

Transkript

1 Lektion 1 Kursinnehåll - kursprogram - schema Det praktiska - boken - idag sid Mattebakgrund - Spannes Blixtkurs Laplacetransform AK 17 Koppling till tillståndsbeskrivning AK 18 Betoning av transienter och inverkan av initialtillstånd AKbakgrund - frekvenskurvor AK 27-39

2 Kursen framöver 28 jan Laplacetransform och Frekvenskurvor. 4 feb Argumentvariation, Nyquistteoremet, Bodes relationer 11 feb Stabilitet, robusthet, känslighetsfunktionen v7 INLäMNING 1: Laplacetransform och Frekvenskurvor. 18 feb Koordinatbyte i tillståndsrummet, nollställen, tillståndsåterkoppling, observerare 25 feb Styrbarhet och observerbarhet, Kalmans uppdelningssats 3 mar Linjära avbildningar och minsta-kvadrat-problem v10 INLäMNING 2: Tillståndsbeskrivningar Redovisning INL1: v7(?) Ingen redovisning INL2

3 Mattebakgrund - Spannes Blixtkurs C f(z)dz, C : {z(t), t [a, b]}, b återför på flerdim a f(z) dz dt dt, f(z) = 1 z a, C : {z(t) = a + reit, t [0, 2π]}, enda exemplet f(z) analytisk, sluten kurva, Cauchys integralsats, olika vägar lika, deformation av integrationsväg f(z) C z a dz = f(a)2πi, Cauchys integralformel {z k } n 1 poler innanför C till f(z), C = C C n, Res z=zi f(z) = 1 2πi C i f(z)dz, residuekalkyl

4 Laplacetransform Dubbelsidig/enkelsidig - Kausala system Definitionsremsa. Olika för olika signaler? Överföringsfunktion. Oberoende av insignal? Enkelsidig plus analytisk fortsättning Klarar även instabila system

5 Laplacetransform - definition - konvergens Dubbelsidig: Betrakta tidsfunktioner f(t), < t < F (s) = (L II f)(s) = e st f(t)dt Konvergerar i remsa Ω : α < Re s < β, F (s) analytisk i Ω. f(t)e αt 0, t, och f(t)e βt 0, t. Tex α < 0 och β > 0 kräver exp. konvergens t, och t. Enkelsidig: Betrakta tidsfunktioner f(t), 0 t < F (s) = (L I f)(s) = 0 e st f(t)dt Konvergerar i halvplan Ω : α < Re s, F (s) analytisk i Ω. f(t)e αt 0, t, dvs α > 0 tillåter f(t), t.

6 Laplacetransform - kausalitet Observera att L I df dt = sf (s) f(0) Viktfunktion t t y(t) = h(t τ)u(τ)dτ = h(τ)u(t τ)dτ 0 0 h(τ), 0 τ < G(s) = (L I h)(s) Y (s) = G(s)U(s)

7 Laplacetransform - exempel Alltså T f(t) = e 2t, t 0, F = L{f}, F (s) = lim e 2t e st dt T 0 [ ] 1 T F (s) = lim T 2 s e(2 s)t 0 lim T e(2 s)t = 0, Re s > 2 F (s) = 1 s 2, Re s > 2 = 1 { } 2 s lim e (2 s)t 1 T Utvidga def-området med analytisk fortsättning till C {s = 2}, enda möjliga funktionen.

8 Transienter och initialtillstånd ẋ = Ax + Bu x(0) = x 0 y = Cx + Du Laplacetransformering ger sx(s) x 0 = AX(s) + BU(s) X(s) = (si A) 1 (BU(s) + x 0 ) Y = [C(sI A) 1 B + D] U(s) + C(sI A) 1 x 0 }{{} G(s)

9 Exempel: Sinus in och inverkan av initialtillstånd ẋ = x + u x(0) = x 0 u(t) = sin t ger efter Laplacetransformering sx(s) x(0) = X(s) + U(s) U(s) = 1 s Här kan X lösas ut: X(s) = 1 s + 1 (U(s) + x 0) = 1 = s s Inverstransformering ger x 0 s + 1 s + 1 ( 1 ) s x 0 x(t) = 1 2 sin t 1 2 cos t + (x )e t

10 Laplacetransform i Matlab (eller Maple) >> s=tf( s ) >> G = (1-s)/(sˆ2+s+1) G = -s sˆ2 + s + 1 >> step(g)

11 Laplacetransform i Matlab (eller Maple) >> clear s >> syms s t x0 >> ilaplace((1-s)/(sˆ2+s+1)) ans = -exp(-t/2)*(cos((3ˆ(1/2)*t)/2) - 3ˆ(1/2)*sin((3ˆ(1/2)*t)/2) >> ilaplace(( *s)/(sˆ2+1) + (0.5+x0)/(s+1)) ans = sin(t)/2 - cos(t)/2 + exp(-t)*(x0 + 1/2) >> latex(ans) ( ) sin(t) 2 cos(t) 2 + e t x

12 Begynnelse- och Slutvärdessatserna Begynnelsevärdessatsen. Antag att f är kausal och att Laplacetransformen F är rationell strikt proper. Då är lim f(t) = lim sf (s) t +0 s + Slutvärdessatsen. Antag att f är kausal med rationell Laplacetransform F. Om alla poler till sf (s) har negativ realdel, så är lim f(t) = lim sf (s) t + s +0 Bevisskiss för rationella F (s): Sant om F (s) = (s p) k. Använd partialbråksuppdelning av F (s).

13 Bevis av (lite mer generell) slutvärdessats

14 En kloss glider enligt Glidande kloss - Var stannar den? ÿ(t) + cẏ(t) = 0 (1) med startläge y(0) = a och hastighet ẏ(0) = b. Bestäm lim t y(t)! Laplacetransformering av (1) ger 0 = s 2 Y (s) sy(0) ẏ(0) + c[sy (s) y(0)] Y (s) = Slutvärdesteoremet ger sy(0) + ẏ(0) + cy(0) s 2 + cs sy(0) + ẏ(0) + cy(0) lim y(t) = lim sy (s) = lim t s +0 s +0 s + c ẏ(0) + cy(0) = = b c c + a

15 Rötter - Stabilitet Lösningar till diff. ekvationen y n + a 1 y n a n 1 y + a n y = 0 Kar. polynom a(s) = s n + a 1 s n a n 1 s + a n = 0 Om a(α) = 0 så är y(t) = Ce αt en lösning till diff. ekvationen Allmän lösning y(t) = k C k (t)e α kt Om α k rot multiplicitet m så C k polynom av gradtal m 1 y(t) 0 om alla rötter ligger i öppna vänstra halvplanet

16 Egenvärden - Stabilitet G(s) = C(sI A) 1 B = Egenvärden: det(si A) = 0. 1 Cadj(sI A)B det(si A) [ ] θ1 = v θ 2 [ Hur beror egenvärdena på hastigheten v? ] [ ] θ1 + v θ 2 [ ] 2 u 0

17 AKbakgrund Frekvenskurvor Frekvenskurvor u(t) = sin ωt, y(t) = A(ω) sin(ωt + ϕ(ω)) A(ω) = G(iω), ϕ(ω) = arg G(iω) Representation av G(s) och G(iω) Nyquistdiagram - komplexa talet G(iω) Bodediagram G(iω) och arg G(iω) G = G 1 G 2 G 3 G 4...

18 Värmeledande stav Temperaturen i en värmeledande stav beskrivs av z t = κ 2 z 2 x där κ är den termiska diffusiviteten. Med Laplacetransformen Z(s, x) = e st z(t, x)dt 0 kan ekvationen skrivas sz = κ d2 Z dx 2 med lösningen Z(s, x) = Ae x s/κ + Be x s/κ. För en oändligt lång stav med ändlig tempertur måste B = 0. Temperaturen y(t) i punkten x = a ges då av Y (s) = e a s/κ U(s) där U(s) är Laplacetransformen av ändpunktstemperaturen u(t).

19 Kursen framöver 28 jan Laplacetransform och Frekvenskurvor. 4 feb Argumentvariation, Nyquistteoremet, Bodes relationer 11 feb Stabilitet, robusthet, känslighetsfunktionen v7 INLäMNING 1: Laplacetransform och Frekvenskurvor. 18 feb Koordinatbyte i tillståndsrummet, nollställen, tillståndsåterkoppling, observerare 25 feb Styrbarhet och observerbarhet, Kalmans uppdelningssats 3 mar Linjära avbildningar och minsta-kvadrat-problem v10 INLäMNING 2: Tillståndsbeskrivningar Redovisning INL1: v7(?) Ingen redovisning INL2