Formalia. Reglerteknik, TSRT12. Föreläsning 1. Första föreläsningen. Vad är reglerteknik?

Transkript

1 Formalia Reglerteknik, TSRT12 Föreläsning 1 Hemsida. Föreläsnings-oh läggs ut ca en dag i förväg. Lablistor på första lektionen. Läroboken tillåten på tentan även om den innehåller anteckningar. Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet Första föreläsningen Vad är reglerteknik? Finns nästan överallt men är ofta dold. 1. Vad är reglerteknik? 2. Tre exempel i ett, modellering 3. Laplacetransformen 4. Tre exempel i ett, lösningar 5. Enkla reglerprinciper Mobiltelefoner: rätt effektnivå Hemelektronik: läsning av CD, DVD, hårddiskar Bilar: låsningsfria bromsar, antisladdsystem Husuppvärmning: rätt temperatur Tvättmaskiner: rätt vätskemängd och temperatur Elnätet: rätt spänning och frekvens Internet: trafikflöden

2 Bilkörning utan antisladd Bilkörning med antisladd Mobiltelefoni Flygplan effektstyrning trafikstyrning demodulering signalgenerering stabilisering farthållning, höjdhållning navigering automatsiktning...

3 Medicinsk teknik Processindustri dialysapparatur pacemakers anestesi... pappersindustri stålverk raffinaderier... Uppvärmning Abstrakt reglerproblem Alla dessa reglerproblem kan beskrivas på följande sätt: v Välj u så att y antar önskade värden. u styrsignal, insignal u y mätsignal, utsignal S v störsignal S process, system y En termostat på elementet håller temperaturen (ungefär) konstant.

4 Exemplet antisladd Vilka är svårigheterna? Selektiv bromsning för att få rätt rotationshastighet Insignal: bromsverkan på olika hjul Utsignal: rotationshastighet Störningar: Externa vridmoment (väglag), föraren(?) Det finns störningar på processen som man inte har kontroll över. Processen är aldrig känd exakt. Kursens syfte Matematisk beskrivning Visa principerna i de vanligaste reglersystemen. Lära ut utvärdering konstruktion av regulatorer för linjära system med en insignal och en utsignal Utvärdering och konstruktion kräver en kvantitativ matematisk beskrivning av processen. Vi kommer att använda: differentialekvationer laplacetransformer

5 Tre exempel i ett. Förenklade modeller Laplacetransformens idé Antisladd. ẏ = ay + bu + fv y rotationshast., u vridmoment från selektiv bromsning, v störande vridmoment, a > 0, b > 0 Uppvärmning. ẏ = ay + bu + av y rumstemperatur, u värmeeffekt, v utetemperatur, (avvikelser från nominella värden) a > 0, b > 0 Tippledsstyrning av Gripen. ẏ = ay + bu + fv (kraftigt förenklat) y anfallsvinkel, u höjdroderutslag, v störande tippmoment, a 1, b > 0 Våra modeller är linjära differentialekvationer Derivering, integrering och differentialekvationslösning viktiga Dessa operationer blir ofta komplicerade Idé: ersätt y(t) (t tiden) med en funktion Y(s) (s komplext), så att derivation, integration och differentialekvationslösning blir mycket lättare för Y(s) än för y(t) Laplacetransformen Derivator Definition: Y(s) = 0 y(t)e st dt Några transformer: Om y(t) har Laplacetransformen Y(s) så gäller att y(t) = 1 Y(s) = 1 s ẏ(t) = dy dt har Laplacetransformen sy(s) y(0) y(t) = t Y(s) = 1 s 2 y(t) = e at Y(s) = 1 s + a y(t) = sin ω o t Y(s) = ω o s 2 + ω 2 o ÿ(t) = d2 y dt 2 osv. har Laplacetransformen s 2 Y(s) sy(0) ẏ(0) Begynnelsevärdena y(0), ẏ(0) är oftast noll i reglertekniska tillämpningar.

6 Begynnelse- och slutvärden Laplacetransformen i Matlab Om man vet att y(t) har ett gränsvärde när t kan man räkna ut det med slutvärdessatsen: lim y(t) = lim sy(s) t s 0 Omvändningen är begynnelsevärdessatsen: lim y(t) = lim sy(s) t 0 s» syms t s» laplace(exp(-2*t)) ans = 1/(s + 2)» ilaplace(1/((s+1)*(s+2))) ans = 1/exp(t) - 1/exp(2*t) Från Y(s) till y(t) Komplexa exponentialfunktioner I våra tillämpningar är Y(s) alltid en kvot mellan polynom, med högst gradtal i nämnaren. Y(s) kan då alltid skrivas Y(s) = B(s) (s p 1 ) (s p n ) = A 1 s p A n s p n där B(s) är ett polynom och A 1,..,A n konstanter (formeln modifieras något om samma faktor förekommer flera gånger i nämnaren) Talen p 1,..,p n kallas poler. För en pol p j gäller Y(p j ) =. Motsvarande tidsfunktion är y(t) = A 1 e p 1t + + A n e p nt Observera att polerna p j kan vara komplexa. Om p j = σ + iω så är motsvarande exponentialfunktion I uttrycket e (σ+iω)t = e σt e iωt = e σt (cos ωt + i sin ωt) y(t) = A 1 e p 1t + + A n e p nt kan alltså både exponentialfunktionerna och talen A j vara komplexa. Vid additionen tar imaginärdelarna ut varandra så att y(t) blir reell. Polerna blir alltså exponenter i tidsfunktionen.

7 Två grundläggande reglerprinciper 1. Öppen styrning. Basera styrsignalen på Vad man vill uppnå (referenssignalen). Framkoppling från referens Mätta störningar. Framkoppling från störning En matematisk modell av systemet. 2. Återkoppling. Basera styrsignalen på mätningar av vad som faktiskt händer i systemet.