Reglerteori. Föreläsning 11. Torkel Glad

Transkript

1 Reglerteori. Föreläsning 11 Torkel Glad

2

3 Föreläsning 11 Torkel Glad Februari Sammanfattning av föreläsning 10. Fasplan Linjärisering av ẋ = f(x) kring jämviktspunkt x o, (f(x o ) = 0) f 1 x 1... A =. f n x 1... f 1 x n. f n x n x=x o Uppförandet nära x o ges av matrisen A:s egenvärden och egenvektorer.

4 Föreläsning 11 Torkel Glad Februari Olika typer av jämviktspunkter Egenvärdesekvation: λ 2 tr (A) λ + det A = 0 det A det A = (tr A) 2 /4 tr A

5 Föreläsning 11 Torkel Glad Februari Samband linjärt olinjärt ẋ = Ax har tvåtangentnod, fokus eller sadelpunkt ẋ = Ax + g(x), g(x) / x 0, x 0 har samma kvalitativa uppförande nära origo. Däremot: Ett centrum för A kan ge stabilt eller instabilt fokus eller bibehållet centrum när man tar hänsyn till olinjäriteten.

6 Föreläsning 11 Torkel Glad Februari Två exempel med tre tillståndsvariabler stabilt nodfokus och stabil tretangentnod

7 Föreläsning 11 Torkel Glad Februari Syntes för olinjära system Linjär design, olinjär verikatin Prediktionsregleringn MPC. Optimal styrning Exakt linjärisering

8 Föreläsning 11 Torkel Glad Februari Linjär design, olinjär verikation Bestäm en jämviktspunkt. Gör linjärisering kring jämviktspunkten. Använd linjära metoder (t.ex. LQG) för att ta fram en linjär regulator för det linjäriserade systemet. Simulera det olinjära systemet med den linjära regulatorn. Veriera att det fungerar tillfredsställande. Använd eventuellt analysmetoder (t. ex. beskrivande funktion) för att kontrollera att olinjäriteterna inte ger problem.

9 Föreläsning 11 Torkel Glad Februari Prediktionsreglering: MPC Modierat linjärkvadratiskt problem: min (x T Q 1 x + u T Q 2 u) dt 0 ẋ = Ax + Bu u i (t) a i, x j (t) b j Det är mycket svårt att beräkna en explicit återkoppling. MPC inför två förenklande approximationer. Gör optimeringen över ett ändligt rullande intervall. Gör problemet tidsdiskret genom att använda en styckvis konstant styrsignal. I övrigt: se Industriell Reglerteknik.

10 Föreläsning 11 Torkel Glad Februari Optimal styrning Minimera för systemet 0 L(x, u)dt ẋ = f(x, u) Mycket kraftfull metod att beräkna regulatorer Extremt beräkningstung Kursen Optimal styrning, tsrt08.

11 Föreläsning 11 Torkel Glad Februari Exakt linjärisering ẋ = f(x) + ug(x) y = h(x) Exakt insignal-utsignallinjärisering: Återkoppla så att sambandet mellan referens och y blir exakt linjärt. Vad händer med tillstånd som inte syns i u? Exakt tillståndslinjärisering: Återkoppla så att hela tillståndsbeskrivningen blir exakt linjär (eventuellt i transformerade variabler). Det är detta vi vill ha.

12 Föreläsning 11 Torkel Glad Februari Exempel 1 Mekanik, x 1 läge, x 2 hastighet: ẋ 1 = x 2 ẋ 2 = k(x 1 ) b(x 2 ) + u k t.ex. fjäderkraft, b t.ex. friktion u kan väljas så att olinjäriteterna direkt kompenseras. Computed Force, Computed Torque.

13 Föreläsning 11 Torkel Glad Februari Exempel 2 Farthållning i ygplan, x 1 hastighet, x 2 motordragkraft: ẋ 1 = D(x 1 ) + x 2 ẋ 2 = x 2 + u Här kan inte olinjäriteten direkt kompenseras bort.

14 Föreläsning 11 Torkel Glad Februari Derivering av utsignalen ẋ = f(x) + ug(x) ẏ = i y = h(x) f i h x i + u i g i h x i Beteckning: i f i = L f, x i i g i = L g x i ẏ = L f h + ul g h

15 Föreläsning 11 Torkel Glad Februari Variabelbyte ẋ = f(x) + ug(x) y = h(x), z 1 = y = h(x) ż 1 = L f h + ul g h Om L g h = 0 tag z 2 = L f h och derivera vidare ż 2 = L 2 f h + ul gl f h Om L g L f h = 0 tag z 3 = L 2 f h och derivera vidare

16 Föreläsning 11 Torkel Glad Februari Olinjär kanonisk form Man fortsätter derivera tills man har ż 1 = z 2 ż 2 = z 3. ż n 1 = z n ż n = L n f h + L gl n 1 f u Förutsätter att man kan välja h så att L g h = 0,..., L g L n 2 f h = 0

17 Föreläsning 11 Torkel Glad Februari Olinjär kanonisk form möjliggör exakt linjärisering u kan väljas så att olinjäriteterna kompenseras bort. (Om koecienten framför u inte är noll) Villkoren L g h = 0,..., L g L n 2 f h = 0 är partiella dierentialekvationer. Svåra att hantera. Villkoren L g h = 0,..., L g L n 2 f h = 0 kan vara matematiskt omöjliga att uppfylla. Trots det nns många system inom t.ex. yg, robotik och kemi som kan linjäriseras exakt. Farthållningsexemplet...

18 Föreläsning 11 Torkel Glad Februari Exakt tillståndslinjärisering. Begränsningar Bara möjlig för vissa klasser av system Ofta komplicerade beräkningar Trots det åtskilliga framgångsrika tillämpningar Styrsignalbegränsning en svårighet Robusthet svår att analysera

19 Föreläsning 11 Torkel Glad Februari Olinjära observatörer Olinjärt system: ẋ = f(x, u), y = h(x) Naturlig observatör: ˆx = f(ˆx, u) + K(ˆx)(y h(ˆx)) Svårighet: visa konvergens. Om K i varje tidpunkt väljs som kalmanlterförstärkningen till det linjäriserade systemet, talar man om ett extended Kalmanlter.

20 Föreläsning 11 Torkel Glad Februari Fundamentala begränsningar: Stabilitet Stabilitet är nästan alltid ett absolut krav Grundläggande faktum: Styrbar linjärisering nns återkoppling som gör linjäriserade systemet as. stabilt Dår är även det olinjära systemet as. stabilt Finns ändå praktiska svårigheter: Stabilisering av instabila system Konsekvenser av misslyckande Tillförlitlighetskrav Styrsignalen är begränsad

21 Föreläsning 11 Torkel Glad Februari Konsekvenser av misslyckande Exempel: Tjernobyl 1986 Instabil process Urkopplad regulator Resultat: Explosionsartad eektökning som förstörde reaktorn och gav stora radioaktiva utsläpp Not: Normalt byggs kärnkraftverk så att neutronfysiken gör dem självstabiliserande. Undantaget är några gratmodererade verk i f d Sovjetunionen.

22 Föreläsning 11 Torkel Glad Februari Fler instabila system Cykel (I princip en inverterad pendel) Exoterm kemisk reaktion. Vissa ygplan med höga prestanda. (Gripen)

23 Föreläsning 11 Torkel Glad Februari Instabilitet och styrsignalbegränsning Exemplet JAS 39 Gripen Instabilt ygplan Begränsad styrsignal Konsekvens: stabilisering bara möjlig i begränsad del av tillståndsrummet Även begränsning av styrsignalens derivata är viktig i detta fall Metodiken från beskrivande funktion viktig för att lösa problemet.

24 Föreläsning 11 Torkel Glad Februari En mer subtil konsekvens av pol i HHP p i pol till kretsförstärkningen GF y T (p i ) = 1 Om p i ligger i HHP (höger halvplan) medför detta sup W T (iω)t (iω) 1 W T (p i ) 1

25 Föreläsning 11 Torkel Glad Februari Konsekvenser för T av pol i p 1 > 0 T o ω. o. ω Om T skall ligga under denna begränsning, så måste gälla: p 1 ω o 1 1/T o

26 Tack