Systemteknik/Processreglering F3

Transkript

1 Systemteknik/Processreglering F3 Matematisk modellering Tillståndsmodeller Stabilitet Läsanvisning: Process Control:

2 Modellering av processer Dynamiken i våra processer beskrivs typiskt av en eller flera differentialekvationer. Två olika angreppssätt: 1. Matematisk modellering Använd fysikens lagar (balansekvationer mm) för att ställa upp en modell 2. Experiment Utför experiment (t.ex. stegsvarsexperiment) på processen och analysera in- och ut-data FRT041 Systemidentifiering I praktiken används ofta en kombination av båda sätten

3 Matematisk modellering Flödesbalanser Intensitetsbalanser Konstitutiva relationer

4 Flödesbalanser T.ex. volymflöde [m 3 /s] Ändring av upplagrad volym = [ Inflöde ] [ Utflöde ] per tidsenhet materialflöde [mol/s] Ändring av antalet upplagrade partiklar = per tidsenhet [ ] Inflöde av partiklar [ ] Utflöde av partiklar

5 Flödesbalanser energiflöde [W] Ändring av upplagrad energi = [ Effekt in ] [ Effekt ut ] per tidsenhet strömflöde [A] [ ] Summa ström in = till knutpunkt [ ] Summa ström ut från knutpunkt

6 Intensitetsbalanser T.ex. kraftbalans [N] Ändring av rörelsemängd = per tidsenhet [ ] Drivande krafter [ ] Bromsande krafter spänningsbalans [V] [ ] Summa spänning runt en krets = 0

7 Konstitutiva relationer T.ex. Ideala gaslagen p = nr V T Torricellis lag v = 2 h Energi i uppvärmd vätska W = C p ρvt Ohms lag u = Ri

8 Typiska balansekvationer för kemiprocesser Total massbalans: dρv dt = i=all inlets ρ i q i i=all outlets ρ i q i Massbalans för komponent j: dc j V dt = i=all inlets c j,i q i i=all outlets c j,i q i + r j V Total energibalans: de dt = ρ i V i H i ρ i V i H i + i=all i=all inlets outlets k=all phase boundaries Q k + W

9 Exempel: CSTR med exoterm reaktion q in, c A,in, T in q, c A, T T c Exoterm reaktion A B, r = k 0 e E/RT c A Kylslinga med temperatur T c Perfekt omrörning, konstant densitet ρ

10 Exempel: CSTR med exoterm reaktion Total massbalans: d(ρv ) dt = ρq in ρq Massbalans för komponent A: d(c A V ) dt = c A,in q in c A q rv Total energibalans: ρvc p dt dt = ρc pq in (T in T)+( Δ H r )rv + UA(T c T)

11 Exempel: CSTR med exoterm reaktion Efter förenklingar: dv dt = q in q dc A = q in V (c A,in c A ) k 0 e E/RT c A dt dt dt = q in V (T in T)+ ( Δ H r)k 0 e E/RT c A + UA (T c T) ρc p V ρc p Olinjär tredje ordningens modell Tillståndsvariabler: V, c A, T Möjliga insignaler: q in, q, c A,in, T in, T c Konstanta parametrar: ρ, C p, ( Δ H r ), k 0, E, R, U, A

12 Exempel: mekaniskt system k m F d 0 z Massa m med position z Yttre kraft: F Fjäderkraft: F k = kz Dämparkraft: F d = dż

13 Exempel: mekaniskt system Kraftbalans: m z = F kz dż Inför v = ż v = d m v k m z + 1 m F ż = v Linjär andra ordningens modell Tillståndsvariabler v, z Insignal: F Konstanta parametrar: m, k, d

14 Tillståndsformen x u System y Generellt är x, u och y vektorer: x 1 x n u 1 u m x =. u =. y =. y 1 y p n = antal tillståndsvariabler = systemets ordningstal m = antal insignaler, p = antal utsignaler

15 Tillståndsformen x kallas systemets tillstånd (state) och innehåller värdet av alla ackumulerade storheter i systemet (systemets minne ) Systemets dynamik beskrivs av n första ordningens ordinära differentialekvationer: dx 1 dt = f 1 (x 1,..., x n, u 1,..., u m ) dx n dt. = f n (x 1,..., x n, u 1,..., u m )

16 Tillståndsformen Utsignalerna ges av p algebraiska ekvationer (anges inte alltid): y 1 = 1 (x 1,..., x n, u 1,..., u m ). y p = p (x 1,..., x n, u 1,..., u m ) Systemet kan skrivas på vektorform som dx = f (x, u) dt (tillståndsekvation) y = (x, u) (mätekvation) f och kan vara olinjära funktioner

17 Tillståndsformen för linjära system dx 1 dt = a 11x a 1n x n + b 11 u b 1m u m. dx n dt = a n1 x a nn x n + b n1 u b nm u m y 1 = c 11 x c 1n x n + d 11 u d 1m u m. y p = c p1 x c pn x n + d p1 u d pm u m

18 Tillståndsformen för linjära system På matrisform: dx = Ax + Bu dt (tillståndsekvation) y = Cx + Du (mätekvation) x och u anger avvikelser från en jämviktspunkt (x, u) =(0, 0) är alltid en jämviktslösning D kallas systemets direktterm och är ofta 0 för verkliga processer Miniproblem: Vilka dimensioner har matriserna A, B, C och D?

19 Exempel: mekaniska systemet Tillståndsvektor: x = v z Vi styr u = F och mäter y = z Modellen skriven på tillståndsform med matriser blir dx dt = k m d m 1 0 }{{} A y = 0 1 } {{ } C x + x + 1 m 0 }{{} B 0 u }{{} D u

20 Exempel: compartmentmodeller Erik Widmark modellerade spridningen av alkohol i kroppen, 1922 Torsten Teorell myntade begreppet compartment model, 1936 Compartmentmodeller krävs av FDA för att godkänna nya läkemedel

21 Exempel: compartmentmodell Systemet består av förbundna avdelningar (compartments) En tillståndsvariabel för varje avdelning representerar massan eller koncentrationen av det studerade ämnet Transporthastigheterna är proportionella mot koncentrationsskillnaderna Exempel med två avdelningar: u k k 0

22 Exempel: compartmentmodell Inför tillståndsvariablerna c 1 = koncentrationen i avdelning 1 c 2 = koncentrationen i avdelning 2 Dynamiken ges då av dc 1 V 1 dt = k 12(c 2 c 1 ) k 0 c 1 + u dc 2 V 2 dt = k 12(c 1 c 2 )

23 Exempel: compartmentmodell Antag V 1 = V 2 = k 12 = k 0 = 1 och att systemet är i vila, c 1 (0) =c 2 (0) =0. Svar vid injektion av enhetsvolym vid tiden 0 ( impulssvar ): c1, c c c t

24 Inlämningsuppgift 1 Compartmentsystem med tre avdelningar: u k 12 k k 0 MATLAB med Control System Toolbox

25 Lösning av den linjära tillståndsekvationen x u System y dx = Ax + Bu dt y = Cx + Du Hur svarar tillståndet x (och utsignalen y) på insignalen u och initialtillståndet x(0)?

26 Lösning av tillståndsekvationen skalära fallet System med en tillståndsvariabel och en insignal: dx(t) dt = ax(t)+bu(t) Lösning: t x(t) =e at x(0)+ e a(t τ ) bu(τ ) dτ 0 Exempel: Konstant insignal u(t) =u 0 och a = 0: x(t) begränsad om a < 0 x(t) =e at x(0)+ b a (eat 1)u 0

27 Simulering med u(t) =1 och x(0) =0 2 1 x(t) för a = 1, b = 0.5, 1, 2 b = 2 b = 1 b = Tid x(t) för a = 0.5, 1, 2, omb/a = 1 1 a = 2 a = 1 a = Tid

28 Lösning av tillståndsekvationen allmänna fallet t x(t) =e At x(0)+ e A(t τ ) Bu(τ ) dτ 0 där e At är matrisexponentialfunktionen, definierad som e At = I + At + (At)2 2! + (At)3 3! +

29 Exempel: Mekaniska systemet dx dt = d m 1 0 k m 1 x + m u 0 Antag: Ingen dämpning (d = 0), ingen yttre kraft (F = u = 0), initialvillkor x(0) =[v(0) z(0)] T =[01] T, m = k = 1: dx dt = 0 1 x 1 0 }{{} A Exponentialmatris: e At = cos t sin t sin t cos t Ger lösningen x(t) =e At x(0) = cos t sin t 0 = sin t sin t cos t 1 cos t

30 Simulering av mekaniska systemet z v x t

31 Egenvärden A:s egenvärden ges av de n rötterna till den karakteristiska ekvationen det(λ I A) =0 det(λ I A) =P(λ) kallas karakteristiskt polynom Egenvärdena kan vara komplexa (komplexkonjugerade) Multiplicitet av egenvärde = antal egenvärden med samma värde

32 Egenvärden Antag diagonal A-matris med egenvärden λ 1,...,λ n : λ λ A = λ n Då e λ 1t e λ 2t e At = e λ nt Varje egenvärde λ i ger en term e λ it i lösningen

33 Egenvärden För en generell A-matris ger varje egenvärde en term P mi 1(t)e λ it i e At där P mi 1(t) är ett polynom i t av högst gradtal m i 1 m i är egenvärdets multiplicitet Exempel: Egenvärden: Exponentialmatris: A = λ 1 = λ 2 = 1 (m = 2) e At = e t te t 0 e t

34 Stabilitet för linjära system Stabilitet är en inneboende systemegenskap beror ej på hur insignalen ser ut Vi kan studera det fria systemet dx dt = Ax Lösning: x(t) =e At x(0)

35 Stabilitetsbegrepp Asymptotisk stabilitet: x(t) 0 då t för alla initialvärden Stabilitet: x(t) begränsad då t för alla initialvärden Instabilitet: x(t) obegränsad då t för något initialvärde (Stabila men ej asymptotiskt stabila system kallas marginellt stabila)

36 Exempel Asymptotiskt stabila system: Vattentank med hål i botten Temperaturen i en ugn Hastigheten i en bil Stabila system: Vattentank utan hål i botten Massa fjäder-system utan dämpning Tillryggalagd sträcka i en bil Instabila system: Pendel i inverterat läge Segway

37 Stabilitet i det skalära fallet dx(t) = ax(t) dt x(t) =e at x(0) 2 a < 0 a = 0 a > x 1 x 1 x t t t asymptotiskt stabilt om a < 0 stabilt om a 0 instabilt om a > 0

38 Stabilitet i det allmänna fallet Egenvärdena λ i till A-matrisen avgör stabiliteten. Ett linjärt system är: Asymptotiskt stabilt om alla Re(λ i )<0 Instabilt om något Re(λ i )>0 Stabilt om alla Re(λ i ) 0och eventuella egenvärden på imaginära axeln har multiplicitet 1

39 Routh Hurwitz stabilitetskriterum 2:a ordningens karakteristiskt polynom (för 2 2-matris A): det(λ I A) =P(λ) =λ 2 + p 1 λ + p 2 Alla rötter ligger i vänster halvplan (alltså alla Re(λ i )<0) omoch endast om p 1 > 0 och p 2 > 0 3:e ordningens karakteristiskt polynom (för 3 3-matris A): det(λ I A) =P(λ) =λ 3 + p 1 λ 2 + p 2 λ + p 3 Alla rötter ligger i vänster halvplan (alltså alla Re(λ i )<0) omoch endast om p 1 > 0, p 2 > 0, p 3 > 0 och p 1 p 2 > p 3.

40 Exempel: mekaniska systemet dx dt = d m y = 0 k m x 1 x + m u 0 Karakteristisk ekvation: det(λ I A) = λ + d m 1 k m λ = λ2 + d m λ + k m = 0 Antag m, k, d > 0: Asymptotiskt stabilt Antag m, k > 0, d = 0: Vi får egenvärden k λ 1,2 =±i m Alltså är systemet stabilt (men ej asymptotiskt stabilt)

41 Simulering av mekaniska systemet m = k = d = 1: z v m = k = 1, d = 0: z v x 0 x t t

42 Linjära system på tillståndsform i MATLAB % Definiera systemmatriser A = [1 2; 3 4]; B = [0; 1]; C = [1 0]; D = 0; % Skapa tillståndsmodell sys = ss(a,b,c,d); % Beräkna egenvärden till A-matrisen eig(a) % Simulera systemet utan insignal från ett % visst initialvärde initial(sys,x0)