Formalia. Modellbygge & Simulering, TSRT62. Föreläsning 1. Varför modeller? Föreläsning 1: Modeller och modellbygge

Transkript

1 Formalia Modellbygge & Simulering, TSRT62 Föreläsning 1 Labanmälan via länk på kurshemsidan Datortenta i datorsal Fem av lektionerna i datorsal Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet Identifieringslabben ett miniprojekt Skriftlig rapport Recension av rapport Föreläsning 1: Modeller och modellbygge Varför modeller? Varför modellbygge? Modell = matematisk modell Enkla modeller direkt från data Reglerteknik kräver modeller. Fysikaliska modeller Simulering kräver modeller. Modelltyper, linjärisering Förståelse kräver oftast modeller.

2 Varför simulering? Krocktest Varför simulering? Flygplansprestanda bildkälla: Brady Holt foto: Stefan Kalm, Copyright: Saab AB Krocktester är dyra. Hur bedömer man flygplanprestanda innan planet är byggt? Billigare att göra datorsimulering. Kräver matematisk modell av det dynamiska förloppet. Varför simulering? Klimatet Datorsimulering Matematisk modell Varför simulering? Processindustri Hur mycket stiger havsytan år 21 om en viss mängd CO2 tillförs atmosfären? Optimering av processen Vi vill inte vänta till år 21 för att veta. Optimering av produktionen Simulering kräver matematisk modell Foto: NASA

3 Simulering Simulering, modeller förståelse Simulering: Att göra experiment i datorn i stället för i verkligheten. Principiell gång Klassiskt inom fysik, kemi På gång i biologi 1. Ställ upp ekvationer som beskriver verkligheten en modell Ökat intresse industriellt 2. Lös dem i datorn 3. Presentera resultatet Simulering kräver en modell Exempel. Bufferttank Två vägar: u? Fysikaliskt (kemiskt, biologiskt,..) modellbygge Grundekvationer ger modell 6 h Identifiering Mätdata ger modell qtillverkning av myrsyra, Perstorp Karakterisering av tanksystemet: Yttre signal (insignal): u Utsignal ( resultat ): q och/eller h Inre variabel: h

4 Metod 1: Identifiering Stegsvarsexperiment för tanken 25 Enkla identifieringsexperiment: Stegsvar Impulssvar Sinus in h 5 u En enkel modell Impulssvarsmodell G(s) = k 1 + st k = stegsvarets amplitud 15.3 m. T = tidskonstanten 17 s. Stegsvar för modellen (rött) h L h u Modell för godtyckligt linjärt system: y(t) = h(τ)u(t τ)dτ Funktionen h, impulssvaret är en icke-parametrisk modell. u = impuls y(t) = h(t) Enkelt identifieringsexperiment: lägg impuls på ingången. Stegsvarsexperiment samma idé (stegsvaret = integralen av impulssvaret)

5 Impulssvar för blandningskar (Fiskeby) Frekvensanalys x Litiumkoncentration (mg/liter) x.4 xxx.2 xxx xx xx x x tid (min) Impulssvar x Sinussignal som insignal. Vid gott signal-brusförhållande fås en skattning av G direkt ur amplituder och faslägen hos u, y. u(t) = A sin ωt y(t) = A G(iω) sin(ωt + argg(iω)) xxx 1 xxx xx xx tid (min) Pupilldynamik: data Bodediagram:.4 Ljusflode (mlm) 1 Amplitud Tid (sek) 25 Pupillarea (kvadrat mm) Tid (sek) Frekvens (rad/sek) Fas Frekvens (rad/sek)

6 Begränsningar hos enkla experiment Metod 2: Fysikaliskt modellbygge Tar inte hänsyn till störningar (på ett systematiskt sätt) Tillåter inte godtyckliga insignaler Hanterar inte olinjära modeller Utnyttjar inte modern beräkningskapacitet. Fysikaliska principer som är relevanta: Massbalans för inkompressibel vätska Volymbalans: (A = tvärsnittsarea) Bernoullis lag: d dt (Ah) = u q q = a 2gh (a = utloppsarea) Tankmodell Biologiskt exempel Resulterande modell för tanksystemet: dh dt = a u 2gh + A A q = a 2gh tusen skinn Variationer i antal lodjur (heldraget) och harar (streckat) i Kanada. Kan man förklara de periodiska variationerna?

7 Populationsmodell N 1 antalet lodjur, N 2 antalet harar d dt N 1(t) = (λ 1 γ 1 )N 1 (t) + α 1 N 1 (t)n 2 (t) d dt N 2(t) = (λ 2 γ 2 )N 2 (t) α 2 N 1 (t)n 2 (t) tusental individer Struktur hos modeller Gemensam struktur i exemplen: x tillstånd u insignal y utsignal ẋ = f (x, u) y = h(x, u) Dessa kan vara skalärer eller vektorer (eller frånvarande) Ovanstående är en standardform för matematiker, numeriska analytiker och simuleringsprogram: Tillståndsform t Tillståndsform DAE-modeller Vad är så speciellt med tillståndsform? ẋ = f (x, u) Antag x(t ) och u(t) (kontinuerlig) givna. f kontinuerlig: lösning existerar nära startpunkten f kontinuerligt deriverbar: entydig lösning nära startpunkten. numeriska metoder välutvecklade Idealet är ofta att uttrycka modeller på tillståndsform. Ofta får man nöja sig med en samling av ekvationer, där vissa variabler i vissa ekvationer är deriverade. Beteckning: F(ż, z, u) = F, z, u är vektorer. Ofta används beteckningen DAE (differential-algebraisk ekvation)

8 Stationära punkter, linjärisering ẋ = f (x, u) y = h(x) Stationär punkt, (jämviktspunkt, singulär punkt) x, ū: f ( x, ū) =, ȳ = h( x) ( x, ū konstanter) Linjärisering: d (x x) = A(x x) + B(u ū), dt y ȳ = C(x x) A = f x ( x, ū), B = f u ( x, ū), C = h x ( x)