TSIU61: Reglerteknik. Poler och nollställen Stabilitet Blockschema. Gustaf Hendeby.

Transkript

1 TSIU61: Reglerteknik Föreläsning 3 Poler och nollställen Stabilitet Blockschema Gustaf Hendeby gustaf.hendeby@liu.se

2 TSIU61 Föreläsning 3 Gustaf Hendeby HT / 26 Innehåll föreläsning 3 ˆ Sammanfattning av föreläsning 2 ˆ Poler och nollställen ˆ Samband mellan polernas lägen och stegsvaret exempel ˆ Stabilitet ˆ Blockschema

3 TSIU61 Föreläsning 3 Gustaf Hendeby HT / 26 Sammanfattning från föreläsning 2 (1/3) Laplacetransformen: Y (s) = t 0 y(t)e st dt De vanligaste transformparen är: y(t) = 1 Y (s) = 1 s y(t) = e at Y (s) = 1 s + a Använd tabell för att förenkla beräkningarna! Om vi vet att y(t) har ett gränsvärde när t kan vi beräkna detta gränsvärde via slutvärdessatsen: lim y(t) = lim sy (s) t s 0

4 TSIU61 Föreläsning 3 Gustaf Hendeby HT / 26 Sammanfattning från föreläsning 2 (2/3) Lösningsgången för lineär differentialekvation i y(t). d n y dt n + a d n 1 y 1 dt n a d m u ny = b 0 dt n + b d m 1 u 1 dt m b mu 1. Laplacetransformera till en ekvation i Y (s). Utnyttja att 2. Lös ut Y (s) = G(s)U(s). L {ẏ(t)} = sy (s) L {ÿ(t)} = s 2 Y (s). 3. Inverstransformera för att få ut y(t). (Titta i tabell!)

5 TSIU61 Föreläsning 3 Gustaf Hendeby HT / 26 Sammanfattning från föreläsning 2 (2/3) Lösningsgången för lineär differentialekvation i y(t). d n y dt n + a d n 1 y 1 dt n a d m u ny = b 0 dt n + b d m 1 u 1 dt m b mu 1. Laplacetransformera till en ekvation i Y (s). Utnyttja att 2. Lös ut Y (s) = G(s)U(s). L {ẏ(t)} = sy (s) L {ÿ(t)} = s 2 Y (s). 3. Inverstransformera för att få ut y(t). (Titta i tabell!)

6 TSIU61 Föreläsning 3 Gustaf Hendeby HT / 26 Sammanfattning från föreläsning 2 (3/3) Laplacetransformen för (antag att systemet är i vila) d n y dt n + a d n 1 y 1 dt n a d m u ny = b 0 dt n + b d m 1 u 1 dt m b mu ges av s n Y (s) + a 1 s n 1 Y (s) + + a n Y (s) Överföringsfunktionen, G(s) = b 0 s m U(s) + b 1 s m 1 U(s) + + b m U(s) Y (s) = b 0s m + b 1 s m b m s n + a 1 s n 1 U(s) + + a }{{ n } G(s) Överföringsfunktionen G(s) beskriver sambandet mellan insignalens Laplacetransform U(s) och utsignalens Laplacetransform Y (s).

7 Poler och nollställen

8 TSIU61 Föreläsning 3 Gustaf Hendeby HT / 26 Överföringsfunktion: poler och nollställen G(s) = b 0s m + b 1 s m b m s n + a 1 s n a n kallas för systemets överföringsfunktion. Rötterna till nämnaren s n + a 1 s n a n = 0 kallas för systemets poler. Rötterna till täljaren kallas för systemets nollställen. b 0 s m + b 1 s m b m = 0 Samband Rötterna till den karakteristiska ekvationen Polerna till G(s)

9 TSIU61 Föreläsning 3 Gustaf Hendeby HT / 26 Poler De n rötterna till s n + a 1 s n a n = 0 p 1, p 2,..., p n kallas för systemet poler. För en pol p j gäller Y (p j ) =. Motsvarande tidsfunktion blir y(t) = A 1 e p 1t + + A n e pnt

10 TSIU61 Föreläsning 3 Gustaf Hendeby HT / 26 Komplexa exponentialfunktioner Polerna blir exponenter i tidsfunktionen. Polerna kan vara komplexa, om p j = σ + iω så blir motsvarande exponentialfunktion e pjt = e (σ+iω)t = e σt e iωt = e σt (cos ωt + i sin ωt) I uttrycket y(t) = A 1 e p 1t + + A n e pnt kan alltså såväl exponentialfunktionerna som talen A j vara komplexa. Vid addition tar imaginärdelarna ut varandra, så att y(t) blir reell.

11 Stegsvar

12 d d TSIU61 Föreläsning 3 Gustaf Hendeby HT / 26 Stegsvar Steg Myf y r yf Stegsvar e0r 0.9yf 0.1yf t Ts Stegsvar = Systemets utsignal när vi använder ett steg som insignal. Används pga ˆ Enkel insignal, kan utföra experiment enkelt ˆ Ger information om systemet Tr

13 TSIU61 Föreläsning 3 Gustaf Hendeby HT / 26 Samband mellan polernas läge och stegsvaret Pol för G 1 : Pol för G 2 : s = 1 s = 10 Ju längre polen är från origo, desto snabbare system. Ingen svängning. Pol för G 1 : s = 1 + i, s = 1 i Pol för G 2 : s = i, s = i Ju större vinkeln till negativa reella axeln är, desto svängigare system.

14 TSIU61 Föreläsning 3 Gustaf Hendeby HT / 26 Samband mellan polernas läge och stegsvaret Poler för G 1 : s = 0.5 ± 1.32i Poler för G 2 : s = 0.1, s = 0.5 ± 1.32i För system med fler poler är det endast de dominerande polerna som syns. Den dominerande polen är den som ligger närmast origo.

15 TSIU61 Föreläsning 3 Gustaf Hendeby HT / 26 Principutseende hos ett stegsvar (1/2) Insignal: steg med amplitud r y d Myf y f r 0.9y f e0r d 0.1y f t T r Ts M yf : Översläng T r : Stigtid T s : Insvängningstid

16 TSIU61 Föreläsning 3 Gustaf Hendeby HT / 26 Principutseende hos ett stegsvar (2/2) Stegsvarsspecifikationer Snabbhetsmått: Stigtiden (T r ) är den tid det tar för stegsvaret att gå från 10 % till 90 % av slutvärdet. Svängighetsmått: Översläng (ges i %) M yf = max(y) y f y f Mått på båda: Insvängningstiden (T s ) Det minsta t sådant att y f p y(t) y f + p, t > T s

17 Stabilitet

18 TSIU61 Föreläsning 3 Gustaf Hendeby HT / 26 Stabilitet instabilt system y h (t) = C 1 e 3t +C 2 e t Poler i s = 3, s = 1.

19 TSIU61 Föreläsning 3 Gustaf Hendeby HT / 26 Konsekvenser av instabilitet ˆ Segway ramlar omkull ˆ Bilen snurrar runt vid halt väglag ˆ Flygmaskin vänder flygriktning

20 TSIU61 Föreläsning 3 Gustaf Hendeby HT / 26 Stabilitet i tidsplanet Theorem Ett system är insignal-utsignalstabilt om och endast om viktfunktionen g(t) uppfyller 0 g(t) dt < Viktfunktionen ges av g(t) = L 1 {G(s)} (t) (Se boken för bevis)

21 Blockschema

22 TSIU61 Föreläsning 3 Gustaf Hendeby HT / 26 Blockschemaräkning ˆ Vi har evaluerat regulatorerna genom att studera det slutna systemets beteende i stegsvarsexperiment. ˆ Vi behöver smidiga metoder för att ta fram det sluta systemet, dvs överföringsfunktionen från referens R(s) till utsignal Y (s). ˆ Det är nu vi verkligen får användning av våra Laplacetransformer. Vi börjar lite med räkneregler som lätt härleds ifrån de underliggande differentialekvationerna och transformerna.

23 TSIU61 Föreläsning 3 Gustaf Hendeby HT / 26 Blockschemaräkning Summationspunkt Transformer adderas enkelt: Y (s) = U(s) + V (s) + W (s)

24 TSIU61 Föreläsning 3 Gustaf Hendeby HT / 26 Blockschemaräkning Seriekoppling Den interna signalen Z kan elimineras och överföringsfunktionen från X till Y ges av produkten av de två delsystemen F (s) och G(s)

25 TSIU61 Föreläsning 3 Gustaf Hendeby HT / 26 Blockschemaräkning Parallellkoppling De interna signalerna Z och X kan elimineras och överföringsfunktionen från V till Y gest av summan av de två delsystemen F (s) och G(s).

26 TSIU61 Föreläsning 3 Gustaf Hendeby HT / 26 Blockschemaräkning Slutna systemet G c (s) = G(s)F (s) 1 + G(s)F (s) Slutna systemets överföringsfunktion (c från closed-loop ) Öppna systemet G o (s) = G(s)F (s) Öppna systemets överföringsfunktion, kallas kretsförstärkning (o från open-loop )

27 Sammanfattning

28 TSIU61 Föreläsning 3 Gustaf Hendeby HT / 26 Några begrepp som får summera föreläsning 3 Poler: Rötterna till överföringsfunktionens nämnare. Innehåller mycket information om systemets egenskaper. Nollställen: Rötterna till överföringsfunktionens täljare. Insignal-utsignalstabilitet: Ett system är insignal-utsignalstabilt om en begränsad insignal leder till en begränsad utsignal. Detta svarar mot att alla polerna ska vara i vänster halvplan. Blockschema: Grafisk beskrivning av sambandet mellan olika signaler och system. Slutna systemet: Överföringsfunktionen från referenssignalen till utsignalen. Känslighetsfunktion: Överföringsfunktionen från additiv störning på utsignalen till utsignalen.

29 Gustaf Hendeby