Välkomna till TSRT19 Reglerteknik M Föreläsning 9

Transkript

1 Välkomna till TSRT19 Reglerteknik M Föreläsning 9 Sammanfattning av föreläsning 8 Prestandabegränsningar Robusthet Mer generell återkopplingsstruktur

2 Sammanfattning föreläsning 8 2 F(s) Lead-lag design: Givet ett Bode-diagram för ett öppet system, beräkna en regulator F(s)=F lead (s)f lag (s) så att den nya kretsförstärkningen får fasmarginal, skärfrekvens och lågfrekvensförstärkning enligt specifikation. Fasmarginal+skärfrekvens hanteras med lead-länken Lågfrekvensförstärkning med lag-länken -1

3 Sammanfattning föreläsning 8 3 Önskad fasmarginal 50º (dvs önskad fas -130 º) Önskad skärfrekvens 10 rad/s Önskad e0 0

4 Sammanfattning föreläsning 8 4 Lead-länk fås ur fasökningskravet D fås ur kravet att fasökningen skall vara som störst i den önskade skärfrekvensen K fås ur från kravet att F lead G =1 i önskade skärfrekvensen

5 Sammanfattning föreläsning 8 5 Lag-länk För att få e 0 =0 krävs att kretsförstärkningen innehåller en integration, således =0 Notera att lag-länken sänker fasen i den önskade skärfrekvensen

6 Prestandabegränsningar 6 V(s) R(s) F(s) U(s) G(s)? Z(s) -1 Y(s) N(s) Vad kan ställa till med problem och vad begränsar prestanda? V(s): Modellfel och störningar. Vi tror utsignalen är G(s)U(s), men vi får något annat. Systemets utsignal (som vi vill reglera) är alltså Z(s) N(s): Mätfel. Vår mätsignal y(t) är inte exakt p.g.a brus etc. U(s): Begränsad insignal. Vi kan inte använda godtyckligt stora insignaler (begränsad motoreffekt, pumpkapacitet osv)

7 Prestandabegränsningar 7 Störningar Förenklat kan vi modellera detta som att vi inte riktigt får den utsignal vi hade väntat oss, så vi inför en fiktiv signal V(s) för att beskriva detta V(s) är alltså differensen mellan förväntad och faktisk utsignal från systemet, givet insignalen U(s) Blockschemaräkning ger För att reducera inverkan av störningar så måste vi göra känslighetsfunktionen liten, dvs göra kretsförstärkningen G O (s)=f(s)g(s) stor

8 Prestandabegränsningar 8 Styrsignalsbegränsningar Blockschemaräkning ger Om vi har valt F(s)G(s) stort (enligt förra sidan) så gäller Dvs, om vi har gjort kretsförstärkningen stor (i ett frekvensområde) så kommer styrsignalerna bli stora om G(s) är liten

9 Prestandabegränsningar 9 Mätfel Blockschemaräkning ger Överföringsfunktionen från mätfel till signalen vi vill reglera är alltså T(s) kallas den komplementära känslighetsfunktionen

10 Prestandabegränsningar 10 Komplementära känslighetsfunktionen Ett av det mest centrala problemet i reglerteknik uppenbarar sig Vi kan inte skapa ett reglersystem som är godtyckligt robust mot både störningar och mätfel samtidigt! Om S(i ) är liten i en frekvens (störningar med den frekvensen dämpas väl) så kommer T(i ) vara nära 1 (mätfel med den frekvensen dämpas ej) Intuitivt rimligt: Om vi har mycket mätfel måste vi lita på vår modell. Om vi har en dålig modell måste vi lita på mätdata. Om vi har både har en dålig modell och dåliga mätdata så vet vi inget om vad som faktiskt händer

11 Prestandabegränsningar 11 Bodes integral S(s)+T(s)=1 säger att vi måste kompromissa mellan störningars inverkan och mätfelets inverkan Tyvärr är det ännu värre. Känslighetsfunktionen kan inte göras godtyckligt liten överallt, den måste uppfylla Bodes integral Antag att kretsförstärkningen har m instabila poler p 1,p 2,,p m samt minst två poler mer än nollställen, och att slutna systemet är stabilt. Då gäller alltid att Tänk på en vattensäng! Om känslighetsfunktionen trycks ner i ett område måste den öka i ett annat

12 Prestandabegränsningar 12 Trycker ner känslighetsfunktionen (störningar dämpas väl) vilket ger negativt bidrag till integral Förstärkningen måste då öka i något annat område (störningar förstärks)

13 Robusthet 13 De modeller vi använder är bara approximationer av verkligheten Vi har alltid modellfel (osäker massa, okända fenomen, olinjära effekter som vi försummar, tidsfördröjningar i beräkningar, etc etc) Vår stabilitets- och prestandaanalys bygger dock på väldigt precisa mått på modellen (poler för slutna systemet, kretsförstärkningar osv) Vad händer om modellen är fel? Kan vi fortfarande garantera stabilitet? Hur mycket fel får vi ha?

14 Robusthet 14 (s) R(s) F(s) G(s) Y(s) -1 Vi måste ha ett antagande om vad det är vi inte vet om vi skall kunna säga något! Vi antar att det finns relativt modellfel (s) som vi ej känner. Det verkliga systemet är alltså G(s)(1+ (s))

15 Robusthet 15 Exempel: Svävande kulan Vi approximerade modellen för den svävande kulan med en dubbelintegrator (dvs ett enkelt kraft-massa system) u(t) Vi känner inte kulan massan exakt utan har y(t) Den verkliga överföringsfunktionen kan efter lite omskrivningar skrivas som

16 Robusthet 16 Stabilitet med modellfel Antag att vi har designat en regulator F(s) baserat på en modell G(s) Vi använder nu denna regulator på det sanna systemet G 0 (s)=g(s)(1+ (s)) Fas- och amplitudmarginalskraven säger att den frekvens där kretsförstärkningen har amplitud 1 och fas -180 är kritisk för stabilitet. I stabilitetsmarginalen gäller det såldes att kretsförstärkningen är lika med -1 Detta kan skrivas som

17 Robusthet 17 Robusthetskriteriet Ett tillräckligt krav för att instabilitet ej skall kunna inträffa ges av följande sats Sats: Antag att G(s) och G 0 (s) har lika många instabila poler samt att kretsförstärkningen går mot 0 då går mot oändligheten. Ett tillräckligt krav för stabilitet är Med andra ord, modellfelet måste vara litet i de frekvensområden där komplementära känslighetsfunktionen T(s) är stor.

18 Robusthet 18 Exempel: Svävande kulan Nominell modell med u(t) Regulator baserad på nominell modell (PD med approximerad derivata) y(t) Komplementär känslighetsfunktion

19 Robusthet 19 Som störst T(i )

20 Robusthet 20 Prestanda med modellfel Givet att systemet fortfarande är stabilt, vad händer med prestanda? Om Y(s) är den designade utsignalen och Y 0 (s) är den utsignal som fås med det verkliga systemet G(s)(1+ (s)) så fås Om vi antar att designade känslighetsfunktionen S(s) och verkliga känslighetsfuntionen S 0 (s) är någorlunda lika, gäller alltså att robustheten hos det slutna systemets beteende till stor del bestäms av känslighetsfunktionen. Än en gång: kom ihåg T(s)+S(s)=1

21 Alternativ regulatorstruktur 21 Problem: Robusthet styrs till stor del av komplementära känslighetsfunktionen som även är lika med slutna systemets överföringsfunktion. Vi kan alltså inte designa slutna systemets dynamik godtyckligt, om vi samtidigt har robusthetskrav

22 Alternativ regulatorstruktur 22 Lösning: Dela upp i förkompensering och återkoppling V(s) R(s) F r (s) U(s) G(s) Z(s) -F y (s) Y(s) N(s) Slutna systemet och komplementära känslighetsfunktionen kan designas (så gott som) oberoende av varandra

23 Alternativ regulatorstruktur 23 Exempel: Lyftkranen Vi designade en lead-lag regulator som gav specifierad fasmarginal och skärfrekvens

24 Alternativ regulatorstruktur 24 Förstärker störningar i frekvensområdet 1-3 rad/s, dock inte mer än 5dB T S

25 Alternativ regulatorstruktur 25 Stegsvaret var inte perfekt, för mycket oscillationer

26 Alternativ regulatorstruktur 26 Vi löser det genom att använda en annan förkompensering K väljs så G c (0)=1 Alla robusthetsegenskaper hos den ursprungliga leadlag regulatorn behålls eftersom T(s) och S(s) förblir oförändrade

27 Alternativ regulatorstruktur 27 Det visar sig att vår modell antagligen är fel. Vi har missat/försummat resonansfrekvenser

28 Alternativ regulatorstruktur 28 Stabilitet är fortfarande garanterat enligt robusthetskriteriet! Vanligt scenario: Modellen är dålig i höga frekvenser vilket ger en bandbreddsbegränsning på T(s)

29 Sammanfattning 29 Sammanfattning av dagens föreläsning Styrsignalsbegränsningar, störningar, modellfel och mätfel är de faktorer som hindrar godtycklig prestanda i ett reglersystem Det är fundamentalt omöjligt att konstruera en regulator som är störningsokänslig och mätfelsokänslig i samma frekvensområde Störningsundertryckning kan ej göras godtycklig god, även med perfekt mätdata, pga Bodes integral För robust stabilitet krävs liten komplementär känslighetsfunktion För robust prestanda krävs liten känslighetsfunktion Regulatorstrukturer med två frihetsgrader ger mer frihet att designa komplementära känslighetsfunktionen och slutna systemet

30 Sammanfattning 30 Viktiga begrepp Komplementära känslighetsfunktionen: Överföringsfunktionen från mätbrus till utsignal. Robusthet: Förmåga att motstå felaktiga antaganden om modellen vid design av regulator.