TSIU61: Reglerteknik. PID-reglering Specifikationer. Gustaf Hendeby.

Transkript

1 TSIU61: Reglerteknik Föreläsning 4 PID-reglering Specifikationer Gustaf Hendeby gustaf.hendeby@liu.se

2 TSIU61 Föreläsning 4 Gustaf Hendeby HT / 22 Innehåll föreläsning 4 ˆ Sammanfattning av föreläsning 3 ˆ PID-reglering P -reglering (minskar reglerfelet) I -reglering (tar bort stationärt fel) D -reglering (stabiliserar) ˆ Specifikationer

3 TSIU61 Föreläsning 4 Gustaf Hendeby HT / 22 Sammanfattning från föreläsning 3 (1/4) Överföringsfunktion G(s) = b 0s m + b 1 s m b m s n + a 1 s n a n Poler Rötterna till nämnaren kallas för systemets poler: För en pol p j gäller Y (p j ) =. Motsvarande tidsfunktion blir s n + a 1 s n a n = 0 y(t) = A 1 e p 1t + + A n e pnt

4 TSIU61 Föreläsning 4 Gustaf Hendeby HT / 22 Sammanfattning från föreläsning 3 (2/4) Koppling mellan poler och stegsvar: 1. Ökat avstånd från origo snabbare system 2. Polen närmast origo bestämmer mest (dominerande) 3. Komplexa poler svängigt system

5 TSIU61 Föreläsning 4 Gustaf Hendeby HT / 22 Sammanfattning från föreläsning 3 (3/4) (Insignal-utsignal) stabilitet ˆ En systemegenskap som innebär att utsignalen är begränsad om insignalen är det. ˆ Överföringsfunktionens poler ger oss ett enkelt kriterium ˆ Alla poler har realdelar < 0 stabilt ˆ Någon pol har realdelar > 0 instabilt

6 TSIU61 Föreläsning 4 Gustaf Hendeby HT / 22 Sammanfattning från föreläsning 3 (4/4) + r u y + Σ F G + Σ v Regulator: F (s) System: G(s) Öppna systemet: G o (s) = F (s)g(s) Slutna systemet: Y (s) = F (s)g(s) 1 + F (s)g(s) R(s) = G c(s)r(s) Reglerfel: e(t) = r(t) y(t), E(s) = R(s) Y (s) E(s) = S(s) kallas för känslighetsfunktionen 1 R(s) = S(s)R(s) 1 + G o (s)

7 TSIU61 Föreläsning 4 Gustaf Hendeby HT / 22 Sammanfattning från föreläsning 3 (5/4) Principutseende hos ett stegsvar y Insignal: steg med amplitud r d Myf y f r 0.9y f e0r d 0.1y f t T r Ts M yf : Översläng T r : Stigtid T s : Insvängningstid

8 PID-regulator

9 TSIU61 Föreläsning 4 Gustaf Hendeby HT / 22 Exempel: P-regulator för farthållare

10 TSIU61 Föreläsning 4 Gustaf Hendeby HT / 22 Exempel: P-regulator för farthållare

11 TSIU61 Föreläsning 4 Gustaf Hendeby HT / 22 P-regulator: egenskaper P-regulator: Insignalen är proportionell mot reglerfelet ( ) u(t) = K P r(t) y(t) = KP e(t) Fördelar ˆ Minska statiska reglerfelet lim t e(t) samt göra systemet snabbare genom att öka K P. ˆ Extremt enkel implementering. Nackdelar ˆ Visst statiskt reglerfel uppstår oftast. ˆ Stora styrsignaler krävs när K ökas för att minska reglerfelet.

12 TSIU61 Föreläsning 4 Gustaf Hendeby HT / 22 Exempel: PI-regulator för farthållare

13 TSIU61 Föreläsning 4 Gustaf Hendeby HT / 22 Exempel: PI-regulator för farthållare

14 TSIU61 Föreläsning 4 Gustaf Hendeby HT / 22 Exempel: PI-regulator för farthållare

15 TSIU61 Föreläsning 4 Gustaf Hendeby HT / 22 PI-regulator: egenskaper PI-regulator: Lägg till en term som ökar så länge reglerfelet kvarstår Fördelar t u(t) = K P e(t) + K I e(τ) dτ Vi kan reglera bort det statiska reglerfelet (vid ett steg) Nackdelar Kan ofta bli instabilt (litar för mycket på gammal information) samt leda till ett oscillativt system. 0

16 TSIU61 Föreläsning 4 Gustaf Hendeby HT / 22 PID-regulator: egenskaper D-del PID-regulator: Lägg till en term som tar hänsyn till vad som troligtvis kommer att hända (derivatadelen predikterar) Fördelar: t u(t) = K P e(t) + K I e(τ) dτ + K D ė(t) Kan krävas för stabilitet samt kan reducera oscillationer. Nackdelar: Deriverar en mätsignal som ofta är brusig 0 (Farthållaren redan tillräckligt bra, vi behöver ej D-del.)

17 TSIU61 Föreläsning 4 Gustaf Hendeby HT / 22 PID-regulator t u(t) = K P e(t) + K I e(τ) dτ }{{} t 0 Proportionell }{{} Integrerande e(t) = r(t) y(t) är reglerfelet. PID formuleringar Laplacetransform för PID regulatorn ( U(s) = K P + K ) I s + K Ds E(s) En alternativ parametrisering ( U(s) = K ) T I s + K Ds E(s) + K D de(t) dt }{{} Deriverande

18 TSIU61 Föreläsning 4 Gustaf Hendeby HT / 22 Att tänka på till nästa övning ˆ För farthållaren använde vi en PI-regulator P minskar reglerfeltet, snabbar upp I tar bort stationära fel, bilen uppnår önskad hastighet ˆ Fundera på vilken typ av regulator som passar för andra tillämpningar!

19 TSIU61 Föreläsning 4 Gustaf Hendeby HT / 22 Vilken regulator passar här? Reglermål: Låt vinkeln mellan bil och släp följa rattens rörelse ˆ Regulatorn påverkar framhjulens vinkel (aktiv styrning). ˆ Vilken typ av regulator passar P, PI, PD, PID? Filmerna med tillstånd från ZF Lenksysteme

20 TSIU61 Föreläsning 4 Gustaf Hendeby HT / 22 Modellfri inställning av PID-regulator (1/2) PID-regulatorn beskrivs av ekvationen t u(t) = K P e(t) + K I e(τ) dτ + K D ė(t) eller Laplacetransformerat U(s) = 0 ( K P + K ) I s + K Ds E(s) ofta skriver man om PID-regulatorn som ( U(s) = K ) T I s + K Ds E(s)

21 TSIU61 Föreläsning 4 Gustaf Hendeby HT / 22 Modellfri inställning av PID-regulator (2/2) Ziegler-Nicholds metod ( U(s) = K ) T I s + K Ds E(s) 1. Ställ in T I = och T D = 0, dvs koppla bort I- och D-del 2. Öka K tills systemet börjar självsvänga 3. Notera detta K = K 0, och periodtiden T 0 4. Ställ in enligt tabell: Regulator K T I T D P 0.50K 0 PI 0.45K 0 T 0 /1.2 PID 0.60K 0 T 0 /2 T 0 /8

22 Felkoefficienter

23 TSIU61 Föreläsning 4 Gustaf Hendeby HT / 22 Felkoefficienter (1/2) v + r u y + Σ F G + Σ Vi vill ha G c (s) = 1, S(s) = 0! ˆ Kan vi definiera hur väl reglersystemet approximerar detta idealtillstånd. ˆ Studera E(s) för olika val av referenssignal, vilket leder till att vi kan definiera de sk felkoefficienterna till systemet E(s) = 1 R(s) = S(s)R(s) 1 + G o (s)

24 TSIU61 Föreläsning 4 Gustaf Hendeby HT / 22 Felkoefficienter (2/2) För ett insignal-utsignalstabilt återkopplat systemet gäller: r(t) = A = e 0 = lim s G o (s) = S(0) r(t) = At Om e 0 = 0 1 = e 1 = lim s 0 sg o (s) = lim s 0 r(t) = A Om e 0 = e 1 = t2 = e 2 = lim s 0 s 2 G o (s) = lim s 0 S(0) s S(0) s 2 Felkoefficienterna kan alltså ses som koefficienter i en serieutveckling av känslighetsfunktionen S(s) = e 0 + e 1 s + e 2 s

25 Sammanfattning

26 TSIU61 Föreläsning 4 Gustaf Hendeby HT / 22 Några begrepp som får summera föreläsning 4 PID-regulator: ˆ Proportionell (minskar reglerfelet, snabbar upp) ˆ Integrerande (tar bort stationärt fel, oscillerande verkan) ˆ Deriverande (har en stabiliserande verkan) Felkoefficienter: Visar hur det statiska felet blir för olika typer av referenssignaler.

27 Gustaf Hendeby