Specifikationer i frekvensplanet ( )

Transkript

1 Föreläsning 7-8 Specifikationer i frekvensplanet ( ) Återkopplat system: Enligt tidigare gäller att där och Y (s) =G C (s)r(s) G C (s) = G O(s) 1+G O (s) G O (s) =F (s)g(s) är det öppna systemet (kretsförstärkningen). Förutsättning: G(s) given i form av bodediagrammet. Uppgift: Bestäm F såattg O (s) ochdärmed G C (s) får önskade egenskaper. Grundidé: Använd G O (iω) för att bedöma/påverka egenskaperna hos det återkopplade systemet, såsom: Stabilitet Snabbhet Oscillationer/dämpning Stationära fel 36

2 Stabilitet: Pågränsen mellan stabilitet och instabilitet har G C (s)polerpå imaginäraxeln, d v s det finns s = iω 0 såatt dvs och 1+G O (iω 0 )=0 G 0 (iω 0 ) = 1 arg G 0 (iω 0 )= 180 ( π) Antag att G 0 (iω) och arg G 0 (iω) båda avtar monotont. Inför: (Se Fig 5.3) ω c amplitudskärfrekvens, G O (iω c ) = 1. φ m fasmarginal, arg G O (iω c ) ( 180 )=argg 0 (iω C ) ω p fasskärfrekvens, arg G O (iω p )= 180. A m amplitudmarginal, A m =1/ G O (iω p ). Det återkopplade systemet är på gränsen mellan stabilitet och instabilitet då φ m =0ochA m =1,ochdåär även ω C = ω P = ω 0. Hur fås stabilitet? Normalt, minska förstärkningen, d v s sänk G 0 (iω). Detta medför att ω C minskar och φ m ökar. Stabilitetsvillkor: φ m > 0ochA m > 1. Intuitivt resonemang: Följ en sinussignal runt i reglersystemet. (Se Fig 5.5) Om förstärkningen är större än ett för den vinkelfrekvens då fasvridningen är 180 kommer sinusignalens amplitud att öka. 37

3 Snabbhet: Typiskt utseende hos G C (iω) (Fig 5.8): Inför: ω B bandbredd, G C (iω B ) = 1/ 2 Från tidigare: Hög bandbredd (ω B stor) innebär att höga frekvensen släpps igenom d v s snabbt systemet (T r liten) G C (iω) = G O(iω) 1+G O (iω) Låga frekvenser: G O stor G C 1. Höga frekvenser: G O liten G C liten. Övergången hos G O från stor till liten sker vid ω C. Övergången hos G C från 1 till liten sker vid ω B. Alltså: ω B är av samma storleksordning som ω C. Fundamentala egenskaper: ω B stor y(t) kanförändras snabbt, d v s kort stigtid. ω B är ungefär lika stor som ω c. Krav på snabbhet: ω c tillräckligt stor. 38

4 Oscillationer/dämpning: Typiskt utseende hos G C (iω) (Figur 5.8): Inför: ω r resonansfrekvens, G C (iω) maximal M p resonanstopp, G C (iω r ) Fundamentala egenskaper: M p stor y(t) oscillerar. (Den relativa dämpningen ζ är liten). φ m nära noll eller A m nära ett M p stor. (G 0 (iω) passerar nära 1.) Krav på dämpning hos det återkopplade systemet: φ m och A m tillräckligt stora. 39

5 Stationära reglerfel: Från tidigare: och Fundamentala egenskaper: e 0 = e 1 = 1 1+G O (0) 1 lim s 0 sg O (s) G O (0) stor e 0 liten. e 0 =0omG(s) då s 0dvsdå G O (s) innehåller en integration dvsdå G(s) kanskrivas G(s) = lim s 0 sg O (s) stor e 1 liten. (...) (...) s(...) (...) e 1 =0omsG O (s) då s 0dvsdå G O innehåller två integrationer, d v s då G(s) kanskrivas G(s) = (...) (...) s 2 (...) (...) Krav på stationära reglerfel: G 0 (0) resp lim s 0 sg O (s) tillräckligt stora. 40

6 Sammanfattning:: y(t) G C G 0 Snabbhet T r (stigtid) ω B (bandbredd) ω c,ω p (skärfrekvenser) Dämpning M (översläng) M p (resonanstopp) φ m,a m (stab.marg.) Stationära fel e 0,e 1 (felkoefficienter) G C (0) G O (0) 41

7 Kompensering (5.4) Givet: En modell av systemet i form av Bodediagrammet G(iω). Krav på snabbhet, dämpning och reglerfel Hur bestämma F (s) såattg O (s) ochdärmed G C (s) får önskade egenskaper? Notera: och Förslag: G O (iω) = F (iω) G(iω) arg G O (iω) =argf (iω)+argg(iω) F (s) =K τ Ds βτ D s +1 τis +1 τ I s + γ 42

8 Lead-kompensering (fasavancerande): F lead (s) = τ Ds +1 βτ D s +1 Figur Hanterar kraven på φ m och A m,dvskravpåöversläng. Egenskaper: arg F lead (iω) > 0 ω arg F lead (iω) maximal vid ω = 1 τ D β med maxvärde arctan 1 β 2 β F lead (i1/τ D β) = 1 β Arbetsgång: Bestäm önskad skärfrekvens ω c,d. Bestäm nödvändig fasökning Läs av β i diagrammet. Figur Tag τ D = 1 ω c,d β 43

9 Lag-kompensering: F lag (s) = τ Is +1 τ I s + γ Figur Hanterar kraven på stationära reglerfel. Egenskaper: F lag (0) = 1/γ arg F lag (iω) < 0 ω Arbetsgång: Bestäm γ så kraven på reglerfel uppfylls Tag t ex τ I =10/ω c,d. Detta medför att arg F lag (iω c,d ) > 5.7.Valet kan behövs justeras. 44

10 Förstärkning: K Hanterar kravet på ω c (snabbhet), d v s kravet på stigtid. Välj K såatt G(iω c,d ) F (iω c,d ) = 1 G(iω c,d ) 1 β K =1 Jämförelse med PID-reglering Lag-kompensering: F lag (s) = τ Is +1 τ I s + γ Låt γ 0. Det ger F (s) =1+ 1 τ I s d v s en vanlig PI-regulator. Lead-kompensering: Låt β 0 F PD (s) = τ Ds +1 βτ D s +1 F PD (s) =1+τ D s d v s en vanlig PD-regulator. 45