TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 4

Transkript

1 TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 4 Martin Enqvist Reglerteknik Institutionen för systemteknik Linköpings universitet

2 Föreläsningar 1 / 16 1 Inledning, grundläggande begrepp. 2 Matematiska modeller. Stabilitet. PID-reglering. 3 Specifikationer. Rotort. 4 Nyquistkriteriet. Frekvensbeskrivning. 5 Tidsdiskreta system. 6 Specifikationer i frekvensplanet. 7 Kompensering i bodediagram. 8 Bodes integralsats. Känslighet. Robusthet. 9 Regulatorstrukturer. Tillståndsbeskrivning. 10 Lösningar. Stabilitet. Styr- och observerbarhet. 11 Återkoppling, polplacering, LQ-optimering. 12 Rekonstruktion av tillstånd, observatörer. 13 Tillståndsåterkoppling (forts). Sammanfattning.

3 Repetition: Rotort 2 / 16 Plotta rötterna till ekvationen som funktion av K, 0 K <. P (s) + KQ(s) = 0 Använd rotorten för att hitta lämpliga värden på K eller för att förstå vilka olika egenskaper man får när man varierar K.

4 Repetition: Rotort Plotta rötterna till ekvationen P (s) + KQ(s) = 0 som funktion av K, 0 K <. Ekvationen innehåller två polynom 3 / 16 P (s) = (s p 1 )(s p 2 )... (s p n ), Q(s) = (s q 1 )(s q 2 )... (s q m ), och n m Resultat: n grenar, med symmetri m.a.p. reella axeln K = 0: nollställena p i till P (s) (n st): startpunkter K = : nollställen q i till Q(s) (m st): ändpunkter n m asymptoter i riktningarna π/(n m), 3π/(n m),... Delar av reella axeln med udda antal reella start- och ändpunkter till höger tillhör rotorten. Stabilitetsgräns: Skärning med imaginäraxeln

5 Repetition: Rotort... 4 / 16 Root Locus 3 2 Imaginary Axis (seconds 1 ) Real Axis (seconds 1 )

6 Vem var Nyquist? 5 / 16 Harry Nyquist ( ) Född i Värmland 1889 Emigrerade till USA 1907 Doktorerade vid Yale 1917 Presenterade sitt stabilitetskriterium 1932 Många andra viktiga resultat: samplingsteorem, termiskt brus, telekommunikation, television Harry Nyquist Foto: Wikipedia

7 Argumentvariationsprincipen 6 / 16 Ett matematiskt verktyg: Argumentvariationsprincipen Antag att f(z) är en analytisk funktion i ett öppet område Ω så när som på ett ändligt antal poler γ är en kurva i Ω som omsluter P poler och N nollställen enkelt Då gäller att n 1 n 5 n 2 p 2 p 1 n 4 n 3 γ N P = 1 2π var arg f(z) γ

8 Nyquistkriteriet 7 / 16 Kurvan γ som används i nyquistkriteriet: Im γ R r Re

9 Nyquistkriteriet... 8 / 16 När s genomlöper γ kommer G o (s) att genomlöpa γ : Im Im γ ϕ Re 1 γ = G o (γ) Re

10 Nyquistkriteriet... 9 / 16 Nyquistkriteriet: Antalet poler i höger halvplan till det återkopplade systemet G o /(1 + G o ) är lika med antalet poler i höger halvplan hos G o plus antalet varv som kurvan γ omsluter punkten 1. OBS: Antalet varv måste räknas med tecken, med moturs som positiv omloppsriktning. Specialfall: Om G o saknar poler i höger halvplan blir stabilitetskriteriet att punkten 1 inte får omslutas av kurvan γ.

11 Exempel: Stabil kretsförstärkning 10 / 16 Nyquist Diagram Imaginary Axis Real Axis

12 Nyquistkriteriet / 16 Nyquistkurvan: Kurvan som ges av G o (iω) när ω går från noll till oändligheten Förenklat nyquistkriterium: Om G o saknar poler i höger halvplan är det återkopplade systemet G o /(1 + G o ) insignal-utsignal-stabilt om och endast om punkten 1 ligger till vänster om nyquistkurvan.

13 Frekvenssvaret 12 / 16 Antag att insignalen till ett insignal-utsignal-stabilt system som beskrivs av G(s) är u(t) = sin(ωt) och att den har varit det oändligt länge (så att alla transienter har klingat ut). Då är utsignalen från systemet y(t) = G(iω) sin(ωt + arg(g(iω))) Ett bodediagram är en plott av frekvenssvaret G(iω).

14 Vem var Bode? 13 / 16 Hendrik Wade Bode ( ) Född i Wisconsin i USA 1905 Doktorerade vid Colombia University 1935 Utvecklade bodediagrammet 1938 Många bidrag inom reglerteknik (bl.a. målföljning) och telekommunikation Hendrik Wade Bode Foto: Wikipedia

15 Exempel: Bodediagram 14 / 16 Bode Diagram Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec)

16 Exempel: Bodediagram / 16 Bode Diagram Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec)

17 Sammanfattning 16 / 16 Nyquistkriteriet: Ett verktyg för att analysera stabilitet för ett slutet system givet kretsförstärkningen G o (s). Nyquistdiagram, nyquistkurva: Plott av G o (iω) som kurva i det komplexa talplanet. Bodediagram: Plott av G o (iω) och arg(g o (iω)) som funktioner av ω i varsitt diagram.

18